En matemáticas , E 6 es el nombre de algunos grupos de Lie estrechamente relacionados , grupos algebraicos lineales o sus álgebras de Lie , todos los cuales tienen dimensión 78; la misma notación E 6 se utiliza para la red de raíces correspondiente , que tiene rango 6. La designación E 6 proviene de la clasificación de Cartan-Killing de las álgebras de Lie simples y complejas (ver Élie Cartan § Trabajo ). Esto clasifica las álgebras de Lie en cuatro series infinitas denominadas A n , B n , C n , D n y cinco casos excepcionales denominados E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . El álgebra E 6 es, por tanto, uno de los cinco casos excepcionales.
El grupo fundamental de la forma compleja, forma real compacta o cualquier versión algebraica de E 6 es el grupo cíclico Z /3 Z , y su grupo de automorfismo externo es el grupo cíclico Z /2 Z. Su representación fundamental es de 27 dimensiones (compleja), y la base está dada por las 27 líneas sobre una superficie cúbica . La representación dual , que no es equivalente, también es de 27 dimensiones.
En física de partículas , el E 6 desempeña un papel en algunas grandes teorías unificadas .
Existe un álgebra de Lie compleja única de tipo E 6 , correspondiente a un grupo complejo de dimensión compleja 78. El grupo de Lie adjunto complejo E 6 de dimensión compleja 78 puede considerarse como un grupo de Lie real simple de dimensión real 156. Esto tiene consecuencias fundamentales. grupo Z /3 Z , tiene un subgrupo compacto máximo , la forma compacta (ver más abajo) de E 6 , y tiene un grupo de automorfismo externo no cíclico de orden 4 generado por conjugación compleja y por el automorfismo externo que ya existe como automorfismo complejo.
Además del complejo grupo de Lie de tipo E 6 , existen cinco formas reales del álgebra de Lie y, correspondientemente, cinco formas reales del grupo con centro trivial (todas ellas con doble cobertura algebraica, y tres de ellas con más no -cubiertas algebraicas, dando más formas reales), todas de dimensión real 78, como sigue:
La forma EIV de E 6 es el grupo de colineaciones (transformaciones que preservan la línea) del plano proyectivo octoniónico OP 2 . [1] También es el grupo de transformaciones lineales que preservan el determinante del álgebra excepcional de Jordan . El excepcional álgebra de Jordan tiene 27 dimensiones, lo que explica por qué la forma real compacta de E 6 tiene una representación compleja de 27 dimensiones. La forma real compacta de E 6 es el grupo de isometría de una variedad de Riemann de 32 dimensiones conocida como "plano proyectivo bioctoniónico"; construcciones similares para E 7 y E 8 se conocen como planos proyectivos de Rosenfeld y forman parte del cuadrado mágico de Freudenthal .
Por medio de una base de Chevalley para el álgebra de Lie, se puede definir E 6 como un grupo algebraico lineal sobre los números enteros y, en consecuencia, sobre cualquier anillo conmutativo y en particular sobre cualquier cuerpo: esto define la llamada división (a veces también conocida como "sin torcer") forma adjunta de E 6 . Sobre un campo algebraicamente cerrado, ésta y su triple cobertura son las únicas formas; sin embargo, sobre otros campos, a menudo hay muchas otras formas, o "giros" de E 6 , que se clasifican en el marco general de la cohomología de Galois (sobre un campo perfecto k ) por el conjunto H 1 ( k , Aut(E 6 )) que, debido a que el diagrama de Dynkin de E 6 (ver más abajo) tiene un grupo de automorfismo Z /2 Z , se asigna a H 1 ( k , Z /2 Z ) = Hom (Gal( k ), Z /2 Z ) con kernel H 1 ( k , E 6,ad ). [2]
En el campo de los números reales, el componente real de la identidad de estas formas algebraicamente retorcidas de E 6 coincide con los tres grupos reales de Lie mencionados anteriormente, pero con una sutileza con respecto al grupo fundamental: todas las formas adjuntas de E 6 tienen el grupo fundamental Z /3 Z en el sentido de la geometría algebraica, con acción de Galois como sobre las raíces terceras de la unidad; esto significa que admiten exactamente una triple cobertura (lo que puede resultar trivial en los puntos reales); las otras formas reales no compactas del grupo de Lie de E 6 no son, por tanto, algebraicas y no admiten representaciones fieles de dimensión finita. Se dice que la forma real compacta de E 6 así como las formas no compactas EI=E 6(6) y EIV=E 6(-26) son internas o de tipo 1 E 6, lo que significa que su clase se encuentra en H 1 ( k , E 6,ad ) o que la conjugación compleja induce el automorfismo trivial en el diagrama de Dynkin, mientras que se dice que las otras dos formas reales son externas o de tipo 2 E 6 .
Sobre campos finitos, el teorema de Lang-Steinberg implica que H 1 ( k , E 6 ) = 0, lo que significa que E 6 tiene exactamente una forma retorcida, conocida como 2 E 6 : ver más abajo.
De manera similar a cómo el grupo algebraico G 2 es el grupo de automorfismos de los octoniones y el grupo algebraico F 4 es el grupo de automorfismos de un álgebra de Albert , un álgebra de Jordan excepcional , el grupo algebraico E 6 es el grupo de automorfismos lineales de un álgebra de Albert que conservan una determinada forma cúbica, llamada "determinante". [3]
El diagrama de Dynkin para E 6 viene dado por
, que también se puede dibujar como
.
Aunque abarcan un espacio de seis dimensiones, es mucho más simétrico considerarlos como vectores en un subespacio de seis dimensiones de un espacio de nueve dimensiones. Entonces uno puede tomar las raíces como
más las 27 combinaciones de dónde es uno de más las 27 combinaciones de dónde es uno de
raíces simples
Una posible selección para las raíces simples de E 6 es:
E 6 es el subconjunto de E 8 donde un conjunto consistente de tres coordenadas son iguales (por ejemplo, la primera o la última). Esto facilita definiciones explícitas de E 7 y E 6 como:
Las siguientes 72 raíces E 6 se derivan de esta manera a partir de las raíces pares reales E 8 divididas . Observe que las últimas 3 dimensiones son las mismas que las requeridas:
Una descripción alternativa (6 dimensiones) del sistema de raíces, que es útil al considerar E 6 × SU(3) como un subgrupo de E 8 , es la siguiente:
Todas las permutaciones de
y todas las siguientes raíces con un número impar de signos más
Así, los 78 generadores constan de las siguientes subálgebras:
Una elección de raíces simples para E 6 viene dada por las filas de la siguiente matriz, indexadas en el orden
:
El grupo Weyl de E 6 es de orden 51840: es el grupo de automorfismo del único grupo simple de orden 25920 (que puede describirse como cualquiera de: PSU 4 (2), PSΩ 6 − (2), PSp 4 (3 ) o PSΩ 5 (3)). [4]
El álgebra de Lie E 6 tiene una subálgebra F 4 , que es la subálgebra fija de un automorfismo externo, y una subálgebra SU(3) × SU(3) × SU(3). Otras subálgebras máximas que tienen importancia en física (ver más abajo) y que se pueden leer en el diagrama de Dynkin son las álgebras de SO(10) × U(1) y SU(6) × SU(2).
Además de la representación adjunta de 78 dimensiones, hay dos representaciones "vectoriales" duales de 27 dimensiones .
Los caracteres de las representaciones de dimensión finita de las álgebras y grupos de Lie reales y complejos vienen dados por la fórmula de caracteres de Weyl . Las dimensiones de las representaciones irreducibles más pequeñas son (secuencia A121737 en la OEIS ):
Los términos subrayados en la secuencia anterior son las dimensiones de aquellas representaciones irreducibles que posee la forma adjunta de E 6 (de manera equivalente, aquellos cuyos pesos pertenecen a la red raíz de E 6 ), mientras que la secuencia completa da las dimensiones de las representaciones irreducibles de la forma simplemente conexa de E 6 .
La simetría del diagrama de Dynkin de E 6 explica por qué muchas dimensiones ocurren dos veces, estando relacionadas las representaciones correspondientes por el automorfismo externo no trivial; sin embargo, a veces hay incluso más representaciones que esta, como cuatro de dimensión 351, dos de las cuales son fundamentales y dos no lo son.
Las representaciones fundamentales tienen dimensiones 27, 351, 2925, 351, 27 y 78 (correspondientes a los seis nodos en el diagrama de Dynkin en el orden elegido para la matriz de Cartan anterior, es decir, los nodos se leen primero en la cadena de cinco nodos, con el último nodo conectado al del medio).
Las incrustaciones de los subgrupos máximos de E 6 hasta la dimensión 78 se muestran a la derecha.
El politopo E 6 es la cáscara convexa de las raíces de E 6 . Por tanto existe en 6 dimensiones; su grupo de simetría contiene el grupo Coxeter para E 6 como subgrupo de índice 2.
Dickson (1901, 1908) introdujo los grupos de tipo E 6 sobre campos arbitrarios (en particular campos finitos).
Los puntos sobre un campo finito con q elementos del grupo algebraico (dividido) E 6 (ver arriba), ya sea de la forma adjunta (sin centros) o simplemente conexa (su cobertura algebraica universal), dan un grupo de Chevalley finito . Esto está estrechamente relacionado con el grupo escrito E 6 ( q ), sin embargo, hay ambigüedad en esta notación, que puede representar varias cosas:
Desde la perspectiva de los grupos finitos, la relación entre estos tres grupos, que es bastante análoga a la que existe entre SL( n,q ), PGL( n,q ) y PSL( n,q ), se puede resumir de la siguiente manera: E 6 ( q ) es simple para cualquier q , E 6,sc ( q ) es su cubierta de Schur , y E 6,ad ( q ) se encuentra en su grupo de automorfismos; además, cuando q −1 no es divisible por 3, los tres coinciden, y en caso contrario (cuando q es congruente con 1 mod 3), el multiplicador de Schur de E 6 ( q ) es 3 y E 6 ( q ) es de índice 3. en E 6,ad ( q ), lo que explica por qué E 6,sc ( q ) y E 6,ad ( q ) a menudo se escriben como 3·E 6 ( q ) y E 6 ( q )·3. Desde la perspectiva del grupo algebraico, es menos común que E 6 ( q ) se refiera al grupo finito simple, porque este último no es de manera natural el conjunto de puntos de un grupo algebraico sobre F q a diferencia de E 6,sc ( q ) y E 6,ad ( q ).
Más allá de esta forma "dividida" (o "sin torcer") de E 6 , también existe otra forma de E 6 sobre el campo finito F q , conocida como 2 E 6 , que se obtiene torciendo mediante el automorfismo no trivial de el diagrama de Dynkin de E 6 . Concretamente, 2 E 6 ( q ), que se conoce como grupo de Steinberg, puede verse como el subgrupo de E 6 ( q 2 ) fijado por la composición del automorfismo de diagrama no trivial y el automorfismo de campo no trivial de F. q 2 . Torcer no cambia el hecho de que el grupo algebraico fundamental de 2 E 6,ad es Z /3 Z , pero sí cambia aquellos q para los cuales la cobertura de 2 E 6,ad por 2 E 6,sc no es trivial en los puntos F q . Precisamente: 2 E 6,sc ( q ) es una cobertura de 2 E 6 ( q ), y 2 E 6,ad ( q ) se encuentra en su grupo de automorfismos; cuando q +1 no es divisible por 3, los tres coinciden, y en caso contrario (cuando q es congruente con 2 mod 3), el grado de 2 E 6,sc ( q ) sobre 2 E 6 ( q ) es 3 y 2 E 6 ( q ) es de índice 3 en 2 E 6,ad ( q ), lo que explica por qué 2 E 6,sc ( q ) y 2 E 6,ad ( q ) a menudo se escriben como 3· 2 E 6 ( q ) y 2E6 ( q ) · 3.
Deben plantearse dos cuestiones de notación con respecto a los grupos 2 E 6 ( q ). Una es que esto a veces se escribe 2 E 6 ( q 2 ), una notación que tiene la ventaja de transponerse más fácilmente a los grupos Suzuki y Ree, pero la desventaja de desviarse de la notación para los puntos F q de un grupo algebraico. . Otra es que mientras 2 E 6,sc ( q ) y 2 E 6,ad ( q ) son los puntos F q de un grupo algebraico, el grupo en cuestión también depende de q (por ejemplo, los puntos sobre F q 2 de del mismo grupo son los sin torcer E 6,sc ( q 2 ) y E 6,ad ( q 2 )).
Los grupos E 6 ( q ) y 2 E 6 ( q ) son simples para cualquier q , [5] [6] y constituyen dos de las infinitas familias en la clasificación de grupos finitos simples . Su orden viene dado por la siguiente fórmula (secuencia A008872 en la OEIS ):
(secuencia A008916 en la OEIS ). El orden de E 6,sc ( q ) o E 6,ad ( q ) (ambos son iguales) se puede obtener eliminando el factor divisor mcd(3, q −1) de la primera fórmula (secuencia A008871 en el OEIS ) , y el orden de 2 E 6,sc ( q ) o 2 E 6,ad ( q ) (ambos son iguales) se puede obtener eliminando el factor divisor mcd(3, q +1) de la segunda (secuencia A008915 en la OEIS ).
El multiplicador de Schur de E 6 ( q ) siempre es mcd(3, q −1) (es decir, E 6,sc ( q ) es su cobertura de Schur). El multiplicador de Schur de 2 E 6 ( q ) es mcd(3, q +1) (es decir, 2 E 6,sc ( q ) es su cobertura de Schur) fuera del caso excepcional q =2 donde es 2 2 ·3 (es decir, hay una cubierta adicional de 2 pliegues ). El grupo de automorfismo externo de E 6 ( q ) es el producto del grupo de automorfismo diagonal Z /gcd(3, q −1) Z (dado por la acción de E 6,ad ( q )), el grupo Z /2 Z de automorfismos de diagrama y el grupo de automorfismos de campo (es decir, cíclicos de orden f si q = p f donde p es primo). El grupo de automorfismo externo de 2 E 6 ( q ) es el producto del grupo de automorfismo diagonal Z /gcd(3, q +1) Z (dado por la acción de 2 E 6,ad ( q )) y el grupo de campo automorfismos (es decir, cíclicos de orden f si q = p f donde p es primo).
La supergravedad N = 8 en cinco dimensiones, que es unareducción dimensionaldela supergravedad de once dimensiones, admite unaE 6 y unasimetría localbosónicaSp (8). Los fermiones están en representaciones deSp(8), los campos de calibre están en una representación deE 6 y los escalares están en una representación de ambos (los gravitones sonsingletescon respecto a ambos). Los estados físicos están en representaciones de la clase lateralE 6 /Sp(8).
En las teorías de la gran unificación , E 6 aparece como un posible grupo de calibre que, tras su ruptura , da lugar al grupo de calibre SU(3) × SU(2) × U(1) del modelo estándar . Una forma de lograr esto es rompiendo a SO(10) × U(1) . La representación adjunta 78 se divide, como se explicó anteriormente, en un adjunto 45 , un espinor 16 y 16 , así como un singlete de la subálgebra SO(10) . Incluyendo el cargo U(1) tenemos
Donde el subíndice denota la carga U(1) .
Asimismo, la representación fundamental 27 y su conjugado 27 se rompen en un escalar 1 , un vector 10 y un espinor, ya sea 16 o 16 :
Por lo tanto, se pueden obtener los fermiones elementales y el bosón de Higgs del modelo estándar.
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&-1&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{ 2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}} {2}}\\0&0&0&1&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ca15b317e05e668131f2521f4a79304063f36c)
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{ matriz pequeña}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2922073ae30e5eb26a32b5b1b0b90a890ff0a540)
