Subálgebra de Cartan

Subálgebra nilpotente de un álgebra de Lie

En matemáticas , una subálgebra de Cartan , a menudo abreviada como CSA , es una subálgebra nilpotente de un álgebra de Lie que es autonormalizante (si para todos , entonces ). Fueron introducidas por Élie Cartan en su tesis doctoral. Controla la teoría de la representación de un álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo de característica . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$

En un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero (por ejemplo, ), una subálgebra de Cartan es lo mismo que una subálgebra abeliana maximal que consta de elementos x tales que el endomorfismo adjunto es semisimple (es decir, diagonalizable ). A veces, esta caracterización se toma simplemente como la definición de una subálgebra de Cartan. ^{[1] pág. 231} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

En general, una subálgebra se denomina toral si consta de elementos semisimples. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, una subálgebra toral es automáticamente abeliana. Por lo tanto, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, una subálgebra de Cartan también puede definirse como una subálgebra toral maximal.

Las álgebras de Kac-Moody y las álgebras de Kac-Moody generalizadas también tienen subálgebras que desempeñan el mismo papel que las subálgebras de Cartan de las álgebras de Lie semisimples (sobre un campo de característica cero).

Existencia y singularidad

Existen subálgebras de Cartan para álgebras de Lie de dimensión finita siempre que el cuerpo base sea infinito. Una forma de construir una subálgebra de Cartan es mediante un elemento regular . Sobre un cuerpo finito, la cuestión de su existencia sigue abierta. ^{[ cita requerida ]}

Para un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, existe un enfoque más simple: por definición, una subálgebra toral es una subálgebra de que consta de elementos semisimples (un elemento es semisimple si el endomorfismo adjunto inducido por él es diagonalizable ). Una subálgebra de Cartan de es entonces lo mismo que una subálgebra toral maximal y la existencia de una subálgebra toral maximal es fácil de ver. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, todas las subálgebras de Cartan son conjugadas bajo automorfismos del álgebra y, en particular, son todas isomorfas . La dimensión común de una subálgebra de Cartan se denomina entonces rango del álgebra.

Para un álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita, la existencia de un subálgebra de Cartan es mucho más sencilla de establecer, asumiendo la existencia de una forma real compacta. ^[2] En ese caso, puede tomarse como la complejización del álgebra de Lie de un toro maximal del grupo compacto. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Si es un álgebra de Lie lineal (un subálgebra de Lie del álgebra de Lie de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V ) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces cualquier subálgebra de Cartan de es el centralizador de un subálgebra toral maximal de . ^{[ cita requerida ]} Si es semisimple y el cuerpo tiene característica cero, entonces un subálgebra toral maximal es autonormalizante, y por lo tanto es igual al subálgebra de Cartan asociada. Si además es semisimple, entonces la representación adjunta se presenta como un álgebra de Lie lineal, de modo que un subálgebra de es Cartan si y solo si es un subálgebra toral maximal. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplos

• Cualquier álgebra de Lie nilpotente es su propia subálgebra de Cartan.
• Una subálgebra de Cartan de , el álgebra de Lie de matrices sobre un cuerpo, es el álgebra de todas las matrices diagonales. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Para el álgebra de Lie especial de matrices sin traza , se tiene la subálgebra de Cartan donde Por ejemplo, en la subálgebra de Cartan está la subálgebra de matrices con corchete de Lie dada por el conmutador de matrices. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$$ $${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}}$$
• El álgebra de Lie de matrices de trazas tiene dos subálgebras de Cartan no conjugadas. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 0}$
• La dimensión de una subálgebra de Cartan no es en general la dimensión máxima de una subálgebra abeliana, incluso para álgebras de Lie simples y complejas. Por ejemplo, el álgebra de Lie de matrices de traza por tiene una subálgebra de Cartan de rango pero tiene una subálgebra abeliana máxima de dimensión que consiste en todas las matrices de la forma con cualquier matriz por . Se puede ver directamente que esta subálgebra abeliana no es una subálgebra de Cartan, ya que está contenida en el álgebra nilpotente de matrices triangulares superiores estrictas (o, ya que está normalizada por matrices diagonales). ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Subálgebras de Cartan de álgebras de Lie semisimples

Para un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0, un subálgebra de Cartan tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es abeliano ,
• Para la representación adjunta , la imagen consta de operadores semisimples (es decir, matrices diagonalizables). ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$

(Como se señaló anteriormente, una subálgebra de Cartan puede de hecho caracterizarse como una subálgebra que es máxima entre aquellas que tienen las dos propiedades anteriores).

Estas dos propiedades indican que los operadores en son diagonalizables simultáneamente y que existe una descomposición de suma directa de como ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

dónde

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

Sea . Entonces es un sistema raíz y, además, ; es decir, el centralizador de coincide con . La descomposición anterior puede entonces escribirse como: ${\displaystyle \Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)}$

Resulta que, para cada , tiene dimensión uno y por lo tanto: ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$.

Consulte también Álgebra de Lie semisimple#Estructura para obtener más información.

Descomponiendo representaciones con subálgebra dual de Cartan

Dada un álgebra de Lie sobre un cuerpo de característica , ^{[ aclaración necesaria ]} y una representación del álgebra de Lie existe una descomposición relacionada con la descomposición del álgebra de Lie a partir de su subálgebra de Cartan. Si establecemos con , llamado el espacio de pesos para el peso , existe una descomposición de la representación en términos de estos espacios de pesos. Además, siempre que llamamos a un peso de la -representación . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$$ $${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V:(\sigma (h))(v)=\lambda (h)v{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$$ ${\displaystyle V_{\lambda }\neq \{0\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$

Clasificación de representaciones irreducibles mediante pesos

Pero resulta que estos pesos se pueden utilizar para clasificar las representaciones irreducibles del álgebra de Lie . Para una representación irreducible de dimensión finita , existe un peso único con respecto a un ordenamiento parcial en . Además, dado un tal que para cada raíz positiva , existe una representación irreducible única . Esto significa que el sistema de raíces contiene toda la información sobre la teoría de representación de . ^{[1] pág. 240} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle L^{+}(\lambda )}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

División de la subálgebra de Cartan

Sobre cuerpos no algebraicamente cerrados, no todas las subálgebras de Cartan son conjugadas. Una clase importante son las subálgebras de Cartan desdoblantes : si un álgebra de Lie admite una subálgebra de Cartan desdoblante , entonces se dice que es desdoblable, y el par se llama álgebra de Lie desdoblada ; sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, toda álgebra de Lie semisimple es desdoblable. Cualesquiera dos álgebras de Cartan desdoblantes son conjugadas, y cumplen una función similar a las álgebras de Cartan en álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados, por lo que las álgebras de Lie semisimples desdobladas (de hecho, las álgebras de Lie reductivas desdobladas) comparten muchas propiedades con las álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$

Sin embargo, en un cuerpo no algebraicamente cerrado no todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles.

Subgrupo Cartan

Un subgrupo de Cartan de un grupo de Lie es un tipo especial de subgrupo. En concreto, su álgebra de Lie (que captura la estructura algebraica del grupo) es en sí misma un subálgebra de Cartan. Cuando consideramos el componente identidad de un subgrupo, comparte la misma álgebra de Lie. Sin embargo, no existe una definición universalmente aceptada de qué subgrupo con esta propiedad debería llamarse "subgrupo de Cartan", especialmente cuando se trata de grupos desconectados.

En el caso de grupos de Lie compactos y conexos, un subgrupo de Cartan es esencialmente un subgrupo abeliano conexo máximo (a menudo denominado " toro máximo "). El álgebra de Lie asociada a este subgrupo también es un subálgebra de Cartan.

Ahora bien, cuando exploramos los grupos de Lie compactos desconectados, las cosas se ponen interesantes. Existen múltiples definiciones de subgrupo de Cartan. Un enfoque común, propuesto por David Vogan , lo define como el grupo de elementos que normalizan un toro máximo fijo mientras preservan la cámara de Weyl fundamental . Esta versión a veces se denomina "subgrupo grande de Cartan". Además, existe un "subgrupo pequeño de Cartan", definido como el centralizador de un toro máximo. Es importante señalar que estos subgrupos de Cartan pueden no ser siempre abelianos en general.

Ejemplos de subgrupos de Cartan

• El subgrupo en GL ₂ ( R ) que consiste en matrices diagonales.

Referencias

1. Hotta, R. (Ryoshi) (2008). Módulos D, gavillas perversas y teoría de la representación. Takeuchi, Kiyoshi, 1967-, Tanisaki, Toshiyuki, 1955- (edición en inglés). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4363-8.OCLC 316693861  .
2. Hall 2015 Capítulo 7

Notas

• Álgebras de Lie y sus representaciones
• Álgebras de Lie de dimensión infinita

Referencias

• Borel, Armand (1991), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 126 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, Sr.  1102012
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Jacobson, Nathan (1979), Álgebras de Lie , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63832-4, Sr.  0559927
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7
• Popov, VL (2001) [1994], "Subálgebra de Cartan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Anthony William Knapp; David A. Vogan (1995). Inducción cohomológica y representaciones unitarias . ISBN 978-0-691-03756-1.