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Politopo simple

Asociaedro tridimensional . Cada vértice tiene tres aristas y caras vecinas, por lo que se trata de un poliedro simple.

En geometría , un politopo simple d -dimensional es un politopo d -dimensional cuyos vértices son adyacentes a exactamente d aristas (también d facetas ). La figura de vértice de un politopo simple d -dimensional es un ( d – 1) -símplex . [1 ]

Los politopos simples son topológicamente duales a los politopos simpliciales . La familia de politopos que son a la vez simples y simpliciales son los símplices o polígonos bidimensionales . Un poliedro simple es un poliedro tridimensional cuyos vértices son adyacentes a tres aristas y tres caras. El dual de un poliedro simple es un poliedro simplicial , en el que todas las caras son triángulos. [2]

Ejemplos

Los poliedros tridimensionales simples incluyen los prismas (incluido el cubo ), el tetraedro regular y el dodecaedro y, entre los sólidos de Arquímedes , el tetraedro truncado , el cubo truncado , el octaedro truncado , el cuboctaedro truncado , el dodecaedro truncado , el icosaedro truncado y el icosidodecaedro truncado . También incluyen los poliedros de Goldberg y los fulerenos , incluidos el tetraedro achaflanado , el cubo achaflanado y el dodecaedro achaflanado . En general, cualquier poliedro puede convertirse en uno simple truncando sus vértices de valencia cuatro o superior. Por ejemplo, los trapezoedros truncados se forman truncando solo los vértices de alto grado de un trapezoedro; también son simples.

Los politopos simples de cuatro dimensiones incluyen el politopo regular de 120 celdas y el teseracto . Los politopos uniformes simples de 4 celdas incluyen el politopo truncado de 5 celdas , el politopo truncado de teseracto , el politopo truncado de 24 celdas , el politopo truncado de 120 celdas y los duoprismas . Todos los politopos de cuatro celdas bitruncados, cantitruncados u omnitruncados son simples.

Los politopos simples en dimensiones superiores incluyen el d - símplex , el hipercubo , el asociaedro , el permutoedro y todos los politopos omnitruncados .

Reconstrucción única

Micha Perles conjeturó que un politopo simple está completamente determinado por su 1-esqueleto; su conjetura fue demostrada en 1987 por Roswitha Blind y Peter Mani-Levitska. [3] Gil Kalai poco después proporcionó una prueba más simple de este resultado basada en la teoría de orientaciones únicas de sumideros . [4]

Referencias

  1. ^ Ziegler, Günter M. (2012), Lecciones sobre politopos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 152, Springer, pág. 8, ISBN 9780387943657
  2. ^ Cromwell, Peter R. (1997), Polihedros, Cambridge University Press, pág. 341, ISBN 0-521-66405-5
  3. ^ Ciego, Roswitha ; Mani-Levitska, Peter (1987), "Rompecabezas e isomorfismos de politopos", Aequationes Mathematicae , 34 (2–3): 287–297, doi :10.1007/BF01830678, MR  0921106
  4. ^ Kalai, Gil (1988), "Una forma sencilla de distinguir un politopo simple de su gráfico", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 49 (2): 381–383, doi :10.1016/0097-3165(88)90064-7, MR  0964396