En geometría , el cuboctaedro truncado o gran rombicuboctaedro es un sólido de Arquímedes , denominado por Kepler como truncamiento de un cuboctaedro . Tiene 12 caras cuadradas , 8 caras hexagonales regulares , 6 caras octogonales regulares , 48 vértices y 72 aristas. Dado que cada una de sus caras tiene simetría puntual (equivalentemente, simetría rotacional de 180° ), el cuboctaedro truncado es un 9 - zonoedro . El cuboctaedro truncado puede teselar con el prisma octogonal .
Existe un poliedro uniforme no convexo con un nombre similar: el gran rombicuboctaedro no convexo .
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un cuboctaedro truncado que tiene una longitud de arista 2 y está centrado en el origen son todas las permutaciones de:
El área A y el volumen V del cuboctaedro truncado de longitud de arista a son:
El cuboctaedro truncado es la cáscara convexa de un rombicuboctaedro con cubos encima de sus 12 cuadrados sobre ejes de simetría dobles. El resto de su espacio se puede dividir en 6 cúpulas cuadradas debajo de los octágonos y 8 cúpulas triangulares debajo de los hexágonos.
Un cuboctaedro truncado disecado puede crear un toroide de Stewart de género 5, 7 u 11 quitando el rombicuboctaedro central y las 6 cúpulas cuadradas, las 8 cúpulas triangulares o los 12 cubos, respectivamente. También se pueden construir muchos otros toroides de menor simetría eliminando el rombicuboctaedro central y un subconjunto de los otros componentes de disección. Por ejemplo, eliminar 4 de las cúpulas triangulares crea un toroide de género 3; Si estas cúpulas se eligen adecuadamente, entonces este toroide tiene simetría tetraédrica. [4] [5]
Sólo existe una coloración uniforme de las caras de este poliedro, un color para cada tipo de cara.
Existe una coloración biuniforme, con simetría tetraédrica , con hexágonos de colores alternativamente.
El cuboctaedro truncado tiene dos proyecciones ortogonales especiales en los planos de Coxeter A 2 y B 2 con simetría proyectiva [6] y [8], y se pueden construir numerosas simetrías [2] a partir de varios planos proyectados con respecto a los elementos del poliedro.
El cuboctaedro truncado también se puede representar como un mosaico esférico y proyectarse en el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
Como muchos otros sólidos, el octaedro truncado tiene simetría octaédrica completa , pero su relación con el grupo octaédrico completo es más estrecha: sus 48 vértices corresponden a los elementos del grupo, y cada cara de su dual es un dominio fundamental del grupo.
La imagen de la derecha muestra las 48 permutaciones del grupo aplicadas a un objeto de ejemplo (es decir, el compuesto JF ligero de la izquierda). Los 24 elementos claros son rotaciones y los oscuros son sus reflejos.
Las aristas del sólido corresponden a las 9 reflexiones del grupo:
Los subgrupos corresponden a sólidos que comparten los respectivos vértices del octaedro truncado.
Por ejemplo, los 3 subgrupos con 24 elementos corresponden a un cubo chato no uniforme con simetría octaédrica quiral, un rombicuboctaedro no uniforme con simetría piritoédrica (el octaedro chato cántico ) y un octaedro truncado no uniforme con simetría tetraédrica completa . El único subgrupo con 12 elementos es el grupo alterno A 4 . Corresponde a un icosaedro no uniforme con simetría tetraédrica quiral .
El cuboctaedro truncado pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Este poliedro puede considerarse miembro de una secuencia de patrones uniformes con configuración de vértice (4.6.2 p ) y diagrama de Coxeter-Dynkin. 
. Para p <6, los miembros de la secuencia son poliedros omnitruncados ( zonoedros ), que se muestran a continuación como mosaicos esféricos. Para p < 6, son mosaicos del plano hiperbólico, comenzando con el mosaico triheptagonal truncado .
Es el primero de una serie de hipercubos cantitruncados:
En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico cuboctaédrico truncado (o gran gráfico rombcuboctaédrico ) es la gráfica de vértices y aristas del cuboctaedro truncado, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 48 vértices y 72 aristas, y es un gráfico de Arquímedes cúbico y simétrico cero . [7]
