Poliedro de Steffen , el poliedro flexible no autocruzado más simple posible
En geometría , un poliedro flexible es una superficie poliédrica sin aristas que la rodean, cuya forma puede cambiar continuamente manteniendo inalteradas las formas de todas sus caras. El teorema de rigidez de Cauchy demuestra que en dimensión 3 un poliedro de este tipo no puede ser convexo (esto también es cierto en dimensiones superiores).
Los primeros ejemplos de poliedros flexibles, ahora llamados octaedros de Bricard , fueron descubiertos por Raoul Bricard (1897). Son superficies autointersecantes isométricas a un octaedro . El primer ejemplo de una superficie flexible no autointersecante en , la esfera de Connelly , fue descubierto por Robert Connelly (1977). El poliedro de Steffen es otro poliedro flexible no autointersecante derivado de los octaedros de Bricard. [1]
Conjetura de fuelle
A finales de los años 1970, Connelly y D. Sullivan formularon la conjetura de Bellows, que afirma que el volumen de un poliedro flexible es invariante bajo flexión. Esta conjetura fue probada para poliedros homeomorfos a una esfera por I. Kh. Sabitov (1995) utilizando la teoría de eliminación , y luego fue probada para superficies poliédricas bidimensionales orientables generales por Robert Connelly, I. Sabitov y Anke Walz (1997). La prueba extiende la fórmula de Piero della Francesca para el volumen de un tetraedro a una fórmula para el volumen de cualquier poliedro. La fórmula extendida muestra que el volumen debe ser una raíz de un polinomio cuyos coeficientes dependen solo de las longitudes de las aristas del poliedro. Dado que las longitudes de las aristas no pueden cambiar a medida que el poliedro se flexiona, el volumen debe permanecer en una de las raíces finitas del polinomio, en lugar de cambiar continuamente. [2]
Congruencia de tijera
Connelly conjeturó que el invariante de Dehn de un poliedro flexible es invariante bajo flexión. Esto se conoció como la conjetura de Strong Fuelle o (después de que se demostró en 2018) el teorema de Strong Fuelle . [3] Debido a que todas las configuraciones de un poliedro flexible tienen tanto el mismo volumen como el mismo invariante de Dehn, son tijeras congruentes entre sí, lo que significa que para dos de estas configuraciones es posible diseccionar una de ellas en piezas poliédricas que se pueden volver a ensamblar para formar la otra. La curvatura media total de un poliedro flexible, definida como la suma de los productos de las longitudes de las aristas con los ángulos diedros exteriores, es una función del invariante de Dehn que también se sabe que permanece constante mientras un poliedro se flexiona. [4]
Alexander, Ralph (1985), "Asignaciones de Lipschitz y curvatura media total de superficies poliédricas. I", Transactions of the American Mathematical Society , 288 (2): 661–678, doi : 10.2307/1999957 , JSTOR 1999957, MR 0776397.
Alexandrov, Victor (2010), "Los invariantes de Dehn de los octaedros de Bricard", Journal of Geometry , 99 (1–2): 1–13, arXiv : 0901.2989 , doi :10.1007/s00022-011-0061-7, MR 2823098.
Bricard, R. (1897), "Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé", J. Math. Pures Appl. , 5 (3): 113–148, archivado desde el original el 16 de febrero de 2012 , consultado el 27 de julio de 2008.
Connelly, Robert (1977), "Un contraejemplo a la conjetura de rigidez para poliedros", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 (47): 333–338, doi :10.1007/BF02684342, ISSN 1618-1913, MR 0488071
Connelly, Robert; Sabitov, I.; Walz, Anke (1997), "La conjetura del fuelle", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 38 (1): 1–10, ISSN 0138-4821, SEÑOR 1447981
Gaifullin, Alexander A. (2014), "Politopos cruzados flexibles en espacios de curvatura constante", Actas del Instituto Steklov de Matemáticas , 286 (1): 77–113, arXiv : 1312.7608 , doi :10.1134/S0081543814060066, MR 3482593.
Gaĭfullin, AA; Ignashchenko, LS (2018), "Invariante de Dehn y congruencia en tijera de poliedros flexibles", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, doi :10.1134/S0371968518030068, ISBN 5-7846-0147-4, Sr. 3894642.
Sabitov, I. Kh. [en ruso] (1995), "Sobre el problema de la invariancia del volumen de un poliedro deformable", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 50 (2): 223–224, ISSN 0042-1316, SEÑOR 1339277
Stachel, Hellmuth (2006), "Octaedros flexibles en el espacio hiperbólico", en A. Prékopa; et al. (eds.), Geometrías no euclidianas (volumen conmemorativo de János Bolyai) , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 581, Nueva York: Springer, pp. 209–225, CiteSeerX 10.1.1.5.8283 , doi :10.1007/0-387-29555-0_11, ISBN 978-0-387-29554-1, Sr. 2191249.
Stachel, Hellmuth (2000), "Politopos cruzados flexibles en el espacio 4 euclidiano" (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 4 (2): 159–167, MR 1829540.
