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Pfaffian

En matemáticas , el determinante de una matriz antisimétrica de m por m siempre se puede escribir como el cuadrado de un polinomio en las entradas de la matriz , un polinomio con coeficientes enteros que solo depende de m . Cuando m es impar , el polinomio es cero, y cuando m es par , es un polinomio distinto de cero de grado m /2, y es único hasta la multiplicación por ±1. La convención sobre matrices tridiagonales antisimétricas, que se muestra a continuación en los ejemplos, determina un polinomio específico, llamado polinomio de Pfaff . El valor de este polinomio, cuando se aplica a las entradas de una matriz antisimétrica, se llama el Pfaffiano de esa matriz. El término Pfaffiano fue introducido por Cayley  (1852), quien indirectamente los nombró en honor a Johann Friedrich Pfaff .

Explícitamente, para una matriz antisimétrica ,

que fue probada por primera vez por Cayley  (1849), quien cita a Jacobi por introducir estos polinomios en el trabajo sobre sistemas Pfaffianos de ecuaciones diferenciales . Cayley obtiene esta relación especializando un resultado más general en matrices que se desvían de la simetría oblicua solo en la primera fila y la primera columna. El determinante de dicha matriz es el producto de los Pfaffianos de las dos matrices obtenidas al establecer primero en la matriz original la entrada superior izquierda a cero y luego copiar, respectivamente, la transpuesta negativa de la primera fila a la primera columna y la transpuesta negativa de la primera columna a la primera fila. Esto se demuestra por inducción expandiendo el determinante en menores y empleando la fórmula de recursión a continuación.

Ejemplos

(3 es impar, por lo que el Pfaffian de B es 0)

El Pfaffian de una matriz tridiagonal antisimétrica de 2 n × 2 n se da como

(Tenga en cuenta que cualquier matriz antisimétrica puede reducirse a esta forma; consulte Teoría espectral de una matriz antisimétrica ).

Definición formal

Sea A = ( a ij ) una matriz antisimétrica de 2 n × 2 n . El pfaffiano de A se define explícitamente mediante la fórmula

donde S 2 n es el grupo simétrico de grado 2 n y sgn(σ) es la firma de σ.

Se puede hacer uso de la simetría oblicua de A para evitar sumar todas las permutaciones posibles . Sea Π el conjunto de todas las particiones de {1, 2, ..., 2 n } en pares sin tener en cuenta el orden. Hay (2 n )!/(2 n n !) = (2 n − 1) !! particiones de este tipo. Un elemento α ∈ Π se puede escribir como

con i k < j k y . Sea

sea ​​la permutación correspondiente. Dada una partición α como la anterior, defina

El Pfaffian de A viene dado entonces por

El Pfaffian de una matriz antisimétrica n × n para n impar se define como cero, ya que el determinante de una matriz antisimétrica impar es cero, ya que para una matriz antisimétrica y para n impar, esto implica .

Definición recursiva

Por convención, el Pfaffian de la matriz 0 × 0 es igual a uno. El Pfaffian de una matriz A 2 n × 2 n antisimétrica con n > 0 se puede calcular recursivamente como

donde el índice i puede seleccionarse arbitrariamente, es la función escalonada de Heaviside , y denota la matriz A con las filas y columnas i -ésimas y j -ésimas eliminadas. [1] Nótese cómo para la elección especial esto se reduce a la expresión más simple:

Definiciones alternativas

A cualquier matriz antisimétrica 2 n × 2 n A = ( a ij ) se le puede asociar un bivector

donde { e 1 , e 2 , ..., e 2 n } es la base estándar de R 2 n . El Pfaffian se define entonces por la ecuación

Aquí ω n denota el producto de cuña de n copias de ω .

De manera equivalente, podemos considerar el bivector (que es más conveniente cuando no queremos imponer la restricción de suma ): que da

Una generalización no nula del Pfaffian a matrices de dimensión impar se da en el trabajo de de Bruijn sobre integrales múltiples que involucran determinantes. [2] En particular, para cualquier matriz m  ×  m A , usamos la definición formal anterior pero establecemos . Para m impar, uno puede entonces demostrar que esto es igual al Pfaffian usual de una matriz simétrica antidesviada de dimensión ( m +1) × ( m +1) donde hemos agregado una ( m +1)ésima columna que consiste en m elementos 1, una ( m +1)ésima fila que consiste en m elementos −1, y el elemento de esquina es cero. Las propiedades usuales de los Pfaffians, por ejemplo la relación con el determinante, entonces se aplican a esta matriz extendida.

Propiedades e identidades

Los pfaffianos tienen las siguientes propiedades, que son similares a las de los determinantes.

Utilizando estas propiedades, los Pfaffians se pueden calcular rápidamente, de forma similar al cálculo de determinantes.

Misceláneas

Para una matriz antisimétrica A de 2 n × 2 n

Para una matriz arbitraria B de 2 n × 2 n ,

Sustituyendo en esta ecuación B = A m , se obtiene para todo entero m

Prueba de :

Como dijimos anteriormente, lo mismo con : donde definimos .

Ya que la prueba está terminada.

Prueba de :

Como es una ecuación de polinomios, basta con demostrarla para matrices reales, y se aplicaría automáticamente también para matrices complejas .

Por la teoría espectral de matrices reales antisimétricas , , donde es ortogonal y para números reales . Ahora apliquemos el teorema anterior, tenemos .

Identidades derivadas

Si A depende de alguna variable x i , entonces el gradiente de un Pfaffian está dado por

y el hessiano de un pfaffiano está dado por

Rastrear identidades

El producto de las Pfaffianas de las matrices antisimétricas A y B se puede representar en forma de exponencial.

Supongamos que A y B son matrices antisimétricas de 2 n × 2 n , entonces

y B n ( s 1 , s 2 ,..., s n ) son polinomios de Bell .

Matrices de bloques

Para una matriz diagonal por bloques

Para una matriz arbitraria n × n M :

A menudo se requiere calcular el Pfaffian de una matriz antisimétrica con la estructura de bloques

donde y son matrices antisimétricas y es una matriz rectangular general.

Cuando es invertible , se tiene

Esto se puede ver en la fórmula de diagonalización de bloques de Aitken, [3] [4] [5]

Esta descomposición implica una transformación de congruencia que permite utilizar la propiedad Pfaffiana .

De manera similar, cuando es invertible, se tiene

como se puede ver empleando la descomposición

Calcular numéricamente el Pfaffian

Supongamos que A es una matriz antisimétrica de 2n × 2n , entonces

donde es la segunda matriz de Pauli , es una matriz identidad de dimensión n y tomamos la traza sobre una matriz logarítmica .

Esta igualdad se basa en la identidad de traza.

y en la observación de que .

Dado que calcular el logaritmo de una matriz es una tarea que requiere mucho esfuerzo computacional, se pueden calcular todos los valores propios de , tomar el logaritmo de todos ellos y sumarlos. Este procedimiento simplemente aprovecha la propiedad . Esto se puede implementar en Mathematica con una sola declaración:

Pf[x_] := Module[{n = Dimensions[x][[1]] / 2}, I^(n^2) Exp[ 1/2 Total[ Log[Eigenvalues[ Dot[Transpose[KroneckerProduct[PauliMatrix[2], IdentityMatrix[n]]], x] ]]]]]

Sin embargo, este algoritmo es inestable cuando el Pfaffian es grande. Los valores propios de generalmente serán complejos, y el logaritmo de estos valores propios complejos generalmente se toma como . Bajo la suma, para un Pfaffian de valor real, el argumento del exponencial se dará en la forma para algún entero . Cuando es muy grande, los errores de redondeo al calcular el signo resultante de la fase compleja pueden conducir a un componente imaginario distinto de cero.

Para otros algoritmos (más) eficientes, consulte Wimmer 2012.

Aplicaciones

Véase también

Notas

  1. ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 5 de marzo de 2016. Consultado el 31 de marzo de 2015 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
  2. ^ Bruijn, de, NG (1955). "Sobre algunas integrales múltiples que involucran determinantes". Revista de la Sociedad Matemática de la India . Nueva serie. 19 : 133–151. ISSN  0019-5839.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  3. ^ AC Aitken. Determinantes y matrices. Oliver y Boyd, Edimburgo, cuarta edición, 1939.
  4. ^ Zhang, Fuzhen, ed. El complemento de Schur y sus aplicaciones. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.
  5. ^ Bunch, James R. "Una nota sobre la descomposición estable de matrices antisimétricas". Matemáticas de la computación 38.158 (1982): 475-479.

Referencias

Enlaces externos