Condiciones de integrabilidad para sistemas diferenciales

En matemáticas , ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales parciales se formulan de manera útil, desde el punto de vista de su estructura geométrica y algebraica subyacente, en términos de un sistema de formas diferenciales . La idea es aprovechar la forma en que una forma diferencial se restringe a una subvariedad y el hecho de que esta restricción es compatible con la derivada exterior . Este es un enfoque posible para ciertos sistemas sobredeterminados , por ejemplo, incluidos los pares Lax de sistemas integrables . Un sistema pfaffiano se especifica solo por 1-formas , pero la teoría incluye otros tipos de ejemplo de sistema diferencial . Para elaborar, un sistema pfaffiano es un conjunto de 1-formas en una variedad suave (que se establece igual a 0 para encontrar soluciones al sistema).

Dada una colección de 1-formas diferenciales en una variedad -dimensional , una variedad integral es una subvariedad inmersa (no necesariamente incrustada) cuyo espacio tangente en cada punto es aniquilado por (el retroceso de) cada . ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i},i=1,2,\dots ,k}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \textstyle p\in N}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$

Una variedad integral máxima es una subvariedad sumergida (no necesariamente incrustada)

${\displaystyle i:N\subset M}$

de tal manera que el núcleo del mapa de restricción en formas

${\displaystyle i^{*}:\Omega _{p}^{1}(M)\rightarrow \Omega _{p}^{1}(N)}$

está abarcado por el en cada punto de . Si además son linealmente independientes, entonces es ( )-dimensional. ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n-k}$

Se dice que un sistema pfaffiano es completamente integrable si admite una foliación mediante variedades integrales máximas. (Nótese que la foliación no necesita ser regular ; es decir, las hojas de la foliación podrían no ser subvariedades incrustadas). ${\displaystyle M}$

Una condición de integrabilidad es una condición para garantizar que habrá subvariedades integrales de dimensión suficientemente alta. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Condiciones necesarias y suficientes

Las condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad completa de un sistema pfaffiano están dadas por el teorema de Frobenius . Una versión establece que si el ideal generado algebraicamente por la colección de α _i dentro del anillo Ω( M ) es diferencialmente cerrado, en otras palabras ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle d{\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}},}$

entonces el sistema admite una foliación por variedades integrales máximas. (Lo inverso es obvio a partir de las definiciones.)

Ejemplo de un sistema no integrable

No todos los sistemas pfaffianos son completamente integrables en el sentido de Frobenius. Por ejemplo, considere la siguiente forma unitaria en R ³ − (0,0,0) :

${\displaystyle \theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

Si dθ estuviera en el ideal generado por θ tendríamos, por la asimetría del producto de cuña

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0.}$

Pero un cálculo directo da

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz}$

que es un múltiplo distinto de cero de la forma de volumen estándar en R ³ . Por lo tanto, no hay hojas bidimensionales y el sistema no es completamente integrable.

Por otra parte, para la curva definida por

${\displaystyle x=t,\quad y=c,\qquad z=e^{-t/c},\quad t>0}$

entonces θ definido como arriba es 0, y por lo tanto se verifica fácilmente que la curva es una solución (es decir, una curva integral ) para el sistema Pfaffian anterior para cualquier constante c distinta de cero .

Ejemplos de aplicaciones

En geometría de Riemann , podemos considerar el problema de encontrar un comarco ortogonal θ ⁱ , es decir, una colección de 1-formas que forman una base del espacio cotangente en cada punto con el que son cerradas (dθ ⁱ = 0, i  = 1, 2, ...,  n ). Por el lema de Poincaré , θ ⁱ tendrá localmente la forma d x ⁱ para algunas funciones x ⁱ en la variedad, y por lo tanto proporcionará una isometría de un subconjunto abierto de M con un subconjunto abierto de R ⁿ . Tal variedad se llama localmente plana. ${\displaystyle \langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}}$

Este problema se reduce a una pregunta sobre el fibrado de coframe de M. Supongamos que tuviéramos un coframe cerrado de este tipo.

${\displaystyle \Theta =(\theta ^{1},\dots ,\theta ^{n}).}$

Si tuviéramos otro coframe , entonces los dos coframes estarían relacionados por una transformación ortogonal ${\displaystyle \Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n})}$

${\displaystyle \Phi =M\Theta }$

Si la conexión 1-forma es ω , entonces tenemos

${\displaystyle d\Phi =\omega \wedge \Phi }$

Por otro lado,

${\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi &=(dM)\wedge \Theta +M\wedge d\Theta \\&=(dM)\wedge \Theta \\&=(dM)M^{-1}\wedge \Phi .\end{aligned}}}$

Pero es la forma de Maurer-Cartan para el grupo ortogonal . Por lo tanto, obedece a la ecuación estructural y esta es simplemente la curvatura de M: Después de una aplicación del teorema de Frobenius, se concluye que una variedad M es localmente plana si y solo si su curvatura se anula. ${\displaystyle \omega =(dM)M^{-1}}$ ${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0,}$ ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0.}$

Generalizaciones

Existen muchas generalizaciones de las condiciones de integrabilidad de los sistemas diferenciales que no necesariamente son generadas por uniformas. Las más famosas son el teorema de Cartan-Kähler , que solo funciona para sistemas diferenciales analíticos reales , y el teorema de prolongación de Cartan-Kuranishi . Véase Lectura adicional para más detalles. El teorema de Newlander-Nirenberg proporciona condiciones de integrabilidad para una estructura casi compleja.

Lectura adicional

• Bryant, Chern, Gardner, Goldschmidt, Griffiths, Sistemas diferenciales exteriores , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97411-3
• Olver, P., Equivalencia, invariantes y simetría , Cambridge, ISBN 0-521-47811-1 
• Ivey, T., Landsberg, JM, Cartan para principiantes: geometría diferencial a través de marcos móviles y sistemas diferenciales exteriores , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3375-8 
• Dunajski, M., Solitones, instantones y twistores , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-857063-9