Logaritmo de una matriz

Operación matemática sobre matrices invertibles

En matemáticas , un logaritmo de una matriz es otra matriz tal que la exponencial matricial de la última matriz es igual a la matriz original. Es por tanto una generalización del logaritmo escalar y en cierto sentido una función inversa de la exponencial matricial . No todas las matrices tienen un logaritmo y las matrices que sí lo tienen pueden tener más de un logaritmo. El estudio de los logaritmos de matrices conduce a la teoría de Lie ya que cuando una matriz tiene un logaritmo entonces está en un elemento de un grupo de Lie y el logaritmo es el elemento correspondiente del espacio vectorial del álgebra de Lie .

Definición

La exponencial de una matriz A se define por

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$.

Dada una matriz B , se dice que otra matriz A es una matriz logaritmo de B si e ^A = B.

Como la función exponencial no es biyectiva para números complejos (por ejemplo , ), los números pueden tener múltiples logaritmos complejos y, como consecuencia de esto, algunas matrices pueden tener más de un logaritmo, como se explica a continuación. Si el logaritmo matricial de existe y es único, entonces se escribe como en cuyo caso ${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \log B,}$ ${\displaystyle e^{\log B}=B.}$

Expresión de serie de potencias

Si B está suficientemente cerca de la matriz identidad, entonces se puede calcular un logaritmo de B mediante la serie de potencias

${\displaystyle \log(B)=\log(I+(B-I))=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(B-I)^{k}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-\cdots }$,

que puede reescribirse como

${\displaystyle \log(B)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(I-B)^{k}}{k}}=-(I-B)-{\frac {(I-B)^{2}}{2}}-{\frac {(I-B)^{3}}{3}}-\cdots }$.

En concreto, si , entonces la serie precedente converge y . ^[1] ${\displaystyle \left\|I-B\right\|<1}$ ${\displaystyle e^{\log(B)}=B}$

Ejemplo: Logaritmo de rotaciones en el plano

Las rotaciones en el plano dan un ejemplo sencillo. Una rotación de ángulo α alrededor del origen está representada por la matriz 2×2

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

Para cualquier entero n , la matriz

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

es un logaritmo de A .

Por lo tanto, la matriz A tiene infinitos logaritmos, lo que se corresponde con el hecho de que el ángulo de rotación sólo está determinado hasta múltiplos de 2 π .

En el lenguaje de la teoría de Lie, las matrices de rotación A son elementos del grupo de Lie SO(2) . Los logaritmos correspondientes B son elementos del álgebra de Lie so(2), que consta de todas las matrices antisimétricas . La matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

es un generador del álgebra de Lie por lo que(2).

Existencia

La pregunta de si una matriz tiene un logaritmo tiene la respuesta más fácil cuando se considera en el contexto complejo. Una matriz compleja tiene un logaritmo si y solo si es invertible . ^{[2] El logaritmo no es único, pero si una matriz no tiene} valores propios reales negativos , entonces hay un logaritmo único que tiene valores propios todos en la franja . Este logaritmo se conoce como el logaritmo principal . ^[3] ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}$

La respuesta es más compleja en el contexto real. Una matriz real tiene un logaritmo real si y solo si es invertible y cada bloque de Jordan que pertenece a un valor propio negativo ocurre un número par de veces. ^[4] Si una matriz real invertible no satisface la condición con los bloques de Jordan, entonces solo tiene logaritmos no reales. Esto ya se puede ver en el caso escalar: ninguna rama del logaritmo puede ser real en -1. La existencia de logaritmos matriciales reales de matrices reales 2×2 se considera en una sección posterior.

Propiedades

Si A y B son ambas matrices definidas positivas , entonces

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.}$

Supongamos que A y B viajan conmutadamente, lo que significa que AB = BA . Entonces

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}}$

si y solo si , donde es un valor propio de y es el valor propio correspondiente de . ^[5] En particular, cuando A y B conmutan y son ambos definidos positivos . Al establecer B = A ⁻¹ en esta ecuación se obtiene ${\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \mu _{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu _{j}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}$

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

De manera similar, para los que no viajan diariamente y , se puede demostrar que ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

De manera más general, se puede obtener una expansión en serie de en potencias de utilizando la definición integral del logaritmo. ${\displaystyle \log {(A+tB)}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},}$

aplicado tanto a como en el límite . ${\displaystyle X=A}$ ${\displaystyle X=A+tB}$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$

Otro ejemplo: logaritmo de rotaciones en el espacio 3D

Una rotación R ∈ SO(3) en ³ está dada por una matriz ortogonal 3×3 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El logaritmo de una matriz de rotación de este tipo R se puede calcular fácilmente a partir de la parte antisimétrica de la fórmula de rotación de Rodrigues , explícitamente en Ángulo del eje . Produce el logaritmo de la norma mínima de Frobenius , pero falla cuando R tiene valores propios iguales a −1 donde esto no es único.

Nótese además que, dadas las matrices de rotación A y B ,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\text{T}}B)\|_{F}}$

es la distancia geodésica en la variedad 3D de matrices de rotación.

Cálculo del logaritmo de una matriz diagonalizable

Un método para encontrar el logaritmo A para una matriz diagonalizable A es el siguiente:

Encuentra la matriz V de vectores propios de A (cada columna de V es un vector propio de A ).

Encuentra la inversa V ⁻¹ de V .

Dejar

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.}$

Entonces A ′ será una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son valores propios de A .

Reemplace cada elemento diagonal de A ′ por su logaritmo (natural) para obtener . ${\displaystyle \log A'}$

Entonces

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.}$

Que el logaritmo de A puede ser una matriz compleja incluso si A es real se deduce del hecho de que una matriz con valores reales y positivos puede tener, no obstante, valores propios negativos o incluso complejos (esto es cierto, por ejemplo, para las matrices de rotación ). La no unicidad del logaritmo de una matriz se deduce de la no unicidad del logaritmo de un número complejo.

Logaritmo de una matriz no diagonalizable

El algoritmo ilustrado arriba no funciona para matrices no diagonalizables, como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Para tales matrices es necesario encontrar su descomposición de Jordan y, en lugar de calcular el logaritmo de las entradas diagonales como se indicó anteriormente, se calcularía el logaritmo de los bloques de Jordan .

Esto último se logra notando que uno puede escribir un bloque de Jordan como

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

donde K es una matriz con ceros sobre y debajo de la diagonal principal. (El número λ es distinto de cero suponiendo que la matriz cuyo logaritmo se intenta tomar es invertible).

Luego, por la serie Mercator

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

Uno consigue

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Esta serie tiene un número finito de términos ( K ^m es cero si m es igual o mayor que la dimensión de K ), por lo que su suma está bien definida.

Ejemplo. Con este enfoque se puede encontrar

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$

lo cual se puede verificar introduciendo el lado derecho en la matriz exponencial: $${\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Una perspectiva de análisis funcional

Una matriz cuadrada representa un operador lineal en el espacio euclidiano R ^n, donde n es la dimensión de la matriz. Como dicho espacio es de dimensión finita, este operador está realmente acotado .

Utilizando las herramientas del cálculo funcional holomórfico , dada una función holomórfica f definida en un conjunto abierto en el plano complejo y un operador lineal acotado T , se puede calcular f ( T ) siempre que f esté definida en el espectro de T.

La función f ( z ) = log z se puede definir en cualquier conjunto abierto simplemente conexo en el plano complejo que no contenga el origen, y es holomorfa en dicho dominio. Esto implica que se puede definir ln T siempre que el espectro de T no contenga el origen y exista un camino que vaya desde el origen hasta el infinito que no cruce el espectro de T (por ejemplo, si el espectro de T es un círculo con el origen dentro de él, es imposible definir ln T ).

El espectro de un operador lineal sobre R ⁿ es el conjunto de valores propios de su matriz, y por lo tanto es un conjunto finito. Mientras el origen no esté en el espectro (la matriz es invertible), se cumple la condición de trayectoria del párrafo anterior y ln T está bien definido. La no unicidad del logaritmo matricial se desprende del hecho de que se puede elegir más de una rama del logaritmo que esté definida sobre el conjunto de valores propios de una matriz.

Una perspectiva de la teoría de grupos de Lie

En la teoría de grupos de Lie , existe una función exponencial de un álgebra de Lie al grupo de Lie correspondiente G ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.}$

Para los grupos de Lie matriciales, los elementos de y G son matrices cuadradas y la función exponencial está dada por la función exponencial matricial . La función inversa es multivaluada y coincide con el logaritmo matricial discutido aquí. La función logarítmica se aplica desde el grupo de Lie G al álgebra de Lie . Nótese que la función exponencial es un difeomorfismo local entre una vecindad U de la matriz cero y una vecindad V de la matriz identidad . ^[7] Por lo tanto, el logaritmo (matriz) está bien definido como una función, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$

${\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.}$

Un corolario importante de la fórmula de Jacobi es entonces

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

Restricciones en el caso 2 × 2

Si una matriz real 2 × 2 tiene un determinante negativo , no tiene logaritmo real. Nótese primero que cualquier matriz real 2 × 2 puede considerarse uno de los tres tipos del número complejo z = x + y ε , donde ε ² ∈ { −1, 0, +1 }. Este z es un punto en un subplano complejo del anillo de matrices. ^[8]

El caso en que el determinante es negativo sólo se da en un plano con ε ² = +1, es decir, un plano de números complejos desdoblados . Sólo un cuarto de este plano es la imagen de la función exponencial, por lo que el logaritmo sólo está definido en ese cuarto (cuadrante). Los otros tres cuadrantes son imágenes de éste bajo el cuatrigrupo de Klein generado por ε y −1.

Por ejemplo, sea a = log 2 ; entonces cosh a = 5/4 y senh a = 3/4. Para matrices, esto significa que

${\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&0.75\\0.75&1.25\end{pmatrix}}}$.

Entonces esta última matriz tiene logaritmo.

${\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}$.

Sin embargo, estas matrices no tienen logaritmo:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}$.

Representan los otros tres conjugados mediante el grupo de cuatro de la matriz anterior que sí tiene logaritmo.

Una matriz 2 × 2 no singular no necesariamente tiene un logaritmo, pero es conjugada por el grupo de cuatro a una matriz que sí tiene un logaritmo.

También se deduce que, por ejemplo, una raíz cuadrada de esta matriz A se puede obtener directamente al exponenciar (log A )/2,

${\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&0.35\\0.35&1.06\end{pmatrix}}~.}$

Para un ejemplo más rico, comience con una terna pitagórica ( p,q,r ) y sea a = log( p + r ) − log q . Entonces

${\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}$.

Ahora

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}$.

De este modo

${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}$

tiene la matriz logaritmo

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}}$ ,

donde a = log( p + r ) − log q .

Véase también

• Función matricial
• Raíz cuadrada de una matriz
• Matriz exponencial
• Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
• Derivada del mapa exponencial

Notas

1. Hall 2015 Teorema 2.8
2. Higham (2008), Teorema 1.27
3. Higham (2008), Teorema 1.31
4. Culver (1966)
5. APRAHAMIAN, MARY; HIGHAM, NICHOLAS J. (2014). "La función de desenrollado de matrices, con una aplicación para calcular la exponencial de matrices". Revista SIAM sobre análisis de matrices y aplicaciones . 35 (1): 97. doi : 10.1137/130920137 . Consultado el 13 de diciembre de 2022 .
6. Nota inédita de S. Adler (IAS)
7. Hall 2015 Teorema 3.42
8. Álgebra abstracta/Matrices reales 2x2 en Wikilibros

Referencias

• Gantmacher, Felix R. (1959), La teoría de matrices , vol. 1, Nueva York: Chelsea, págs. 239–241.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Culver, Walter J. (1966), "Sobre la existencia y unicidad del logaritmo real de una matriz", Actas de la American Mathematical Society , 17 (5): 1146–1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6 , ISSN  0002-9939.
• Higham, Nicholas (2008), Funciones de matrices. Teoría y computación , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
• Engø, Kenth (junio de 2001), "Sobre la fórmula BCH en so(3)", BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi :10.1023/A:1021979515229, ISSN  0006-3835, S2CID  126053191