Un perímetro es un camino cerrado que abarca, rodea o delinea una forma bidimensional o una longitud unidimensional . El perímetro de un círculo o de una elipse se llama circunferencia .
Calcular el perímetro tiene varias aplicaciones prácticas. Un perímetro calculado es la longitud de la cerca necesaria para rodear un patio o jardín. El perímetro de una rueda/círculo (su circunferencia) describe qué tan lejos rodará en una revolución . De manera similar, la cantidad de hilo enrollado alrededor de un carrete está relacionada con el perímetro del carrete; si la longitud de la cuerda fuera exacta, sería igual al perímetro.
El perímetro es la distancia alrededor de una forma. Los perímetros para formas más generales se pueden calcular, como cualquier camino , con , donde es la longitud del camino y es un elemento de línea infinitesimal. Ambos deben reemplazarse por formas algebraicas para poder calcularlos de manera práctica. Si el perímetro se da como una curva plana cerrada y suave por tramos con
entonces su longitud se puede calcular de la siguiente manera:
La teoría de los conjuntos de Caccioppoli describe una noción generalizada de perímetro, que incluye hipersuperficies que delimitan volúmenes en espacios euclidianos indimensionales .
Los polígonos son fundamentales para determinar perímetros, no sólo porque son las formas más simples sino también porque los perímetros de muchas formas se calculan aproximandolos con secuencias de polígonos que tienden a esas formas. El primer matemático que utilizó este tipo de razonamiento fue Arquímedes , quien aproximó el perímetro de un círculo rodeándolo con polígonos regulares .
El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados (aristas) . En particular, el perímetro de un rectángulo de ancho y largo es igual
Un polígono equilátero es un polígono que tiene todos los lados de la misma longitud (por ejemplo, un rombo es un polígono equilátero de 4 lados). Para calcular el perímetro de un polígono equilátero se debe multiplicar la longitud común de los lados por el número de lados.
Un polígono regular puede caracterizarse por el número de sus lados y por su circunradio , es decir, la distancia constante entre su centro y cada uno de sus vértices . La longitud de sus lados se puede calcular mediante trigonometría . Si R es el radio de un polígono regular y n es el número de sus lados, entonces su perímetro es
Un divisor de un triángulo es un cevian (un segmento desde un vértice hasta el lado opuesto) que divide el perímetro en dos longitudes iguales, denominándose esta longitud común semiperímetro del triángulo. Los tres divisores de un triángulo se cruzan entre sí en el punto Nagel del triángulo.
Una cuchilla de triángulo es un segmento desde el punto medio de un lado de un triángulo hasta el lado opuesto de modo que el perímetro se divide en dos longitudes iguales. Las tres cuchillas de un triángulo se cruzan entre sí en el centro de Spieker del triángulo .
El perímetro de un círculo , frecuentemente llamado circunferencia, es proporcional a su diámetro y a su radio . Es decir, existe un número constante pi , π (la p griega para perímetro), tal que si P es el perímetro del círculo y D su diámetro entonces,
En términos del radio r del círculo, esta fórmula se convierte en,
Para calcular el perímetro de un círculo basta con conocer su radio o diámetro y el número π . El problema es que π no es racional (no se puede expresar como el cociente de dos números enteros ), ni es algebraico (no es raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales). Por tanto, obtener una aproximación precisa de π es importante en el cálculo. El cálculo de los dígitos de π es relevante para muchos campos, como el análisis matemático , la algorítmica y la informática .
El perímetro y el área son dos medidas principales de figuras geométricas. Confundirlos es un error común, así como creer que cuanto mayor es uno, mayor debe ser el otro. De hecho, una observación común es que una ampliación (o una reducción) de una forma hace que su área crezca (o disminuya), así como su perímetro. Por ejemplo, si un campo se dibuja en un mapa a escala 1/10.000, el perímetro real del campo se puede calcular multiplicando el perímetro del dibujo por 10.000. El área real es 10,000 2 veces el área de la forma en el mapa. Sin embargo, no existe relación entre el área y el perímetro de una forma ordinaria. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo de ancho 0,001 y largo 1000 está ligeramente por encima de 2000, mientras que el perímetro de un rectángulo de ancho 0,5 y largo 2 es 5. Ambas áreas son iguales a 1.
Proclo (siglo V) informó que los campesinos griegos dividían los campos "justamente" basándose en sus perímetros. [1] Sin embargo, la producción de un campo es proporcional a su área, no a su perímetro, por lo que muchos campesinos ingenuos pueden haber obtenido campos con perímetros largos pero áreas pequeñas (por lo tanto, pocos cultivos).
Si se quita una pieza de una figura, su área disminuye pero su perímetro puede no hacerlo. En el caso de formas muy irregulares puede producirse confusión entre el perímetro y el casco convexo . El casco convexo de una figura puede visualizarse como la forma formada por una banda elástica estirada a su alrededor. En la imagen animada de la izquierda, todas las figuras tienen el mismo casco convexo; el primer hexágono grande .
El problema isoperimétrico consiste en determinar una figura con mayor área, entre las que tienen un perímetro determinado. La solución es intuitiva; es el círculo . En particular, esto puede usarse para explicar por qué las gotas de grasa en la superficie de un caldo son circulares.
Este problema puede parecer simple, pero su demostración matemática requiere algunos teoremas sofisticados. El problema isoperimétrico a veces se simplifica restringiendo el tipo de figuras que se utilizarán. En particular, para encontrar el cuadrilátero , o el triángulo, u otra figura particular, con mayor área entre las que tienen la misma forma y tienen un perímetro determinado. La solución al problema isoperimétrico del cuadrilátero es el cuadrado , y la solución al problema del triángulo es el triángulo equilátero . En general, el polígono de n lados que tiene mayor área y un perímetro dado es el polígono regular , que está más cerca de ser un círculo que cualquier polígono irregular con el mismo número de lados.
La palabra proviene del griego περίμετρος perimetros , de περί peri "alrededor" y μέτρον metron "medida".
![{\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9c3de071bb1d54124df8bdd8269abab594263c)
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d326a550ef41246054e0311de07e1375d535f3)
