El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto se llama lápiz , y su intersección común se llama vértice del lápiz. En cualquier espacio afín (incluido un espacio euclidiano ) el conjunto de líneas paralelas a una línea dada (que comparten la misma orientación ) también se llama lápiz , y el vértice de cada lápiz de líneas paralelas es un punto distinto en el infinito ; incluir estos puntos da como resultado un espacio proyectivo en el que cada par de líneas tiene una intersección.
Las altitudes de un triángulo parten de cada vértice y se encuentran con el lado opuesto en ángulo recto . El punto donde se encuentran las tres altitudes es el ortocentro .
Las bisectrices de un ángulo son rayos que parten de cada vértice del triángulo y bisecan el ángulo asociado . Todos se encuentran en el incentro .
Las medianas conectan cada vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se encuentran en el centroide .
Las bisectrices perpendiculares son líneas que salen de los puntos medios de cada lado de un triángulo en ángulos de 90 grados. Las tres mediatrices se encuentran en el circuncentro .
Otros conjuntos de líneas asociadas con un triángulo también son concurrentes. Por ejemplo:
Cualquier mediana (que es necesariamente una bisectriz del área del triángulo ) es concurrente con otras dos bisectrices del área, cada una de las cuales es paralela a un lado. [1]
Un divisor de un triángulo es un segmento de línea que tiene un extremo en uno de los tres vértices del triángulo y biseca el perímetro. Los tres divisores concurren en el punto Nagel del triángulo.
Cualquier línea que pase por un triángulo y que divida el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo , y cada triángulo tiene una, dos o tres de estas líneas. [2] Así, si son tres, concurren en el incentro.
El punto Tarry de un triángulo es el punto de concurrencia de las líneas que pasan por los vértices del triángulo perpendiculares a los lados correspondientes del primer triángulo de Brocard del triángulo .
El punto de Schiffler de un triángulo es el punto de concurrencia de las líneas de Euler de cuatro triángulos: el triángulo en cuestión y los tres triángulos que comparten cada uno dos vértices con él y tienen su incentro como el otro vértice.
Los puntos de Napoleón y sus generalizaciones son puntos de concurrencia. Por ejemplo, el primer punto de Napoleón es el punto de concurrencia de las tres líneas, cada una desde un vértice hasta el centroide del triángulo equilátero dibujado en el exterior del lado opuesto al vértice. Una generalización de esta noción es el punto de Jacobi .
Tres líneas, cada una formada dibujando un triángulo equilátero externo en uno de los lados de un triángulo dado y conectando el nuevo vértice al vértice opuesto del triángulo original, son concurrentes en un punto llamado primer centro isogonal . En el caso en que el triángulo original no tenga ningún ángulo mayor a 120°, este punto también es el punto de Fermat .
El punto de Apolonio es el punto de concurrencia de tres líneas, cada una de las cuales conecta un punto de tangencia del círculo al cual los círculos excírculos del triángulo son internamente tangentes, al vértice opuesto del triángulo.
Cuadriláteros
Las dos bimedianas de un cuadrilátero (segmentos que unen puntos medios de lados opuestos) y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes y todos están bisecados por su punto de intersección. [3] : pág.125
Aquí se dan otras concurrencias de un cuadrilátero tangencial .
En un cuadrilátero cíclico , son concurrentes cuatro segmentos de recta, cada uno de ellos perpendicular a un lado y que pasa por el punto medio del lado opuesto . [3] : p.131, [5] Estos segmentos de línea se llaman maltitudes , [6] que es una abreviatura de altitud del punto medio. Su punto común se llama anticentro .
Un cuadrilátero convexo es extangencial si y sólo si hay seis bisectrices de ángulos concurrentes: las bisectrices de ángulo interno en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de ángulo externo en los otros dos ángulos de vértice y las bisectrices de ángulo externo en los ángulos formados donde el las extensiones de lados opuestos se cruzan.
Hexágonos
Si los lados sucesivos de un hexágono cíclico son a , b , c , d , e , f , entonces las tres diagonales principales concurren en un solo punto si y sólo si ace = bdf . [7]
Para cada lado de un hexágono cíclico, extienda los lados adyacentes hasta su intersección, formando un triángulo exterior al lado dado. Entonces los segmentos que conectan los circuncentros de triángulos opuestos son concurrentes. [8]
Polígonos regulares
Si un polígono regular tiene un número par de lados, las diagonales que conectan los vértices opuestos son concurrentes en el centro del polígono.
Todas las bisectrices de área y de perímetro de una elipse son concurrentes en el centro de la elipse.
hipérbolas
En una hipérbola son concurrentes los siguientes: (1) un círculo que pasa por los focos de la hipérbola y tiene su centro en el centro de la hipérbola; (2) cualquiera de las rectas que son tangentes a la hipérbola en los vértices; y (3) cualquiera de las asíntotas de la hipérbola.
También son concurrentes: (1) el círculo que tiene su centro en el centro de la hipérbola y que pasa por los vértices de la hipérbola; (2) cualquier directriz; y (3) cualquiera de las asíntotas.
Tetraedros
En un tetraedro , las cuatro medianas y las tres bimedianas son concurrentes en un punto llamado centroide del tetraedro. [9]
Un tetraedro isodinámico es aquel en el que las cevianas que unen los vértices a los incentros de las caras opuestas son concurrentes, y un tetraedro isogónico tiene cevianas concurrentes que unen los vértices a los puntos de contacto de las caras opuestas con la esfera inscrita del tetraedro .
Según el teorema de Rouché-Capelli , un sistema de ecuaciones es consistente si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz aumentada (la matriz de coeficientes aumentada con una columna de términos de intercepción), y el sistema tiene una solución única si y sólo si ese rango común es igual al número de variables. Así, con dos variables, las k líneas en el plano, asociadas con un conjunto de k ecuaciones, son concurrentes si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes k × 2 y el rango de la matriz aumentada k × 3 son ambos 2. En ese En este caso sólo dos de las k ecuaciones son independientes , y el punto de concurrencia se puede encontrar resolviendo dos ecuaciones cualesquiera mutuamente independientes simultáneamente para las dos variables.
^ Dunn, JA y Pretty, JE, "Reducir a la mitad un triángulo", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, 105-108.
^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers", Mathematics Magazine 83, abril de 2010, págs. 141-146.
^ ab Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2ª ed.), Courier Dover, págs. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045
^ Andreescu, Titu y Enescu, Bogdan, Tesoros de la Olimpíada de Matemáticas , Birkhäuser, 2006, págs.
^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 cuadriláteros cíclicos", Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, págs. 35-39, ISBN978-0-88385-639-0
^ Cartensen, Jens, "Acerca de los hexágonos", Mathematical Spectrum 33(2) (2000-2001), 37-40.
^ Nikolaos Dergiades, "Teorema de Dao sobre seis circuncentros asociados con un hexágono cíclico", Forum Geometriorum 14, 2014, 243--246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
^ Leung, Kam-tim; y Suen, Suk-nam; "Vectores, matrices y geometría", Hong Kong University Press, 1994, págs. 53-54
