ceviano

Línea que corta tanto un vértice como el borde opuesto de un triángulo

En geometría , una ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con un punto en el lado opuesto del triángulo. ^{[1] [2]} Las medianas y las bisectrices de los ángulos son casos especiales de cevianas. El nombre "cevian" proviene del matemático italiano Giovanni Ceva , quien demostró un conocido teorema sobre los cevians que también lleva su nombre. ^[3]

Longitud

Un triángulo con una ceviana de longitud d.

teorema de Stewart

La longitud de una ceviana puede determinarse mediante el teorema de Stewart : en el diagrama, la longitud de una ceviana d viene dada por la fórmula

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Con menos frecuencia, esto también se representa (con cierta reordenación) mediante el siguiente mnemotécnico :

${\displaystyle {\underset {{\text{A }}man{\text{ and his }}dad}{man\ +\ dad}}=\!\!\!\!\!\!{\underset {{\text{put a }}bomb{\text{ in the }}sink.}{bmb\ +\ cnc}}}$^[4]

Mediana

Si la ceviana resulta ser una mediana (por lo tanto, biseca un lado ), su longitud se puede determinar a partir de la fórmula

${\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

o

${\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

desde

${\displaystyle \,a=2m.}$

Por lo tanto en este caso

${\displaystyle d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.}$

Bisectriz

Si la ceviana resulta ser una bisectriz de un ángulo , su longitud obedece a las fórmulas

${\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

y ^[5]

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

y

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$

donde el semiperímetro ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$

El lado de longitud a se divide en la proporción b  : c .

Altitud

Si la ceviana resulta ser una altitud y por tanto perpendicular a un lado, su longitud obedece a las fórmulas

${\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

y

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}$

donde el semiperímetro ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$

Propiedades de proporción

Tres cevianos pasando por un punto común.

Hay varias propiedades de las proporciones de longitudes formadas por tres cevianas que pasan por el mismo punto interior arbitrario: ^{[6] : 177–188} Con referencia al diagrama de la derecha,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}}$

La primera propiedad se conoce como teorema de Ceva . Las dos últimas propiedades son equivalentes porque la suma de las dos ecuaciones da la identidad 1 + 1 + 1 = 3 .

Disidente

Un divisor de un triángulo es una ceviana que biseca el perímetro . Los tres divisores concurren en el punto Nagel del triángulo.

Bisectrices de área

Tres de las bisectrices de un triángulo son sus medianas, que conectan los vértices con los puntos medios de los lados opuestos. Así, un triángulo de densidad uniforme se equilibraría, en principio, sobre una navaja que sostuviera cualquiera de las medianas.

Trisectores de ángulo

Si de cada vértice de un triángulo se dibujan dos cevianas de modo que trisequen el ángulo (dividiéndolo en tres ángulos iguales), entonces las seis cevianas se intersecan en pares para formar un triángulo equilátero , llamado triángulo de Morley .

Área del triángulo interior formado por cevianas

El teorema de Routh determina la relación entre el área de un triángulo dado y la de un triángulo formado por las intersecciones por pares de tres cevianas, una de cada vértice.

Ver también

• Geometría del punto de masa
• Teorema de Menelao

Notas

1. Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). Geometría revisada . Washington, DC: Asociación Matemática de América . pag. 4.ISBN​ 0-883-85619-0.
2. Algunos autores excluyen los otros dos lados del triángulo, ver Eves (1963, p.77)
3. Más ligero, James E. (1975). "Una nueva mirada a los 'centros' de un triángulo". El profesor de matemáticas . 68 (7): 612–615. JSTOR  27960289.
4. "El arte de resolver problemas". artofproblemsolving.com . Consultado el 22 de octubre de 2018 .
5. Johnson, Roger A., ​​Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), pág. 70.
6. Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.

Referencias

• Eves, Howard (1963), Un estudio de geometría (Vol. Uno) , Allyn y Bacon
• Ross Honsberger (1995). Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , páginas 13 y 137. Asociación Matemática de América.
• Vladímir Karapetoff (1929). "Algunas propiedades de las líneas de vértices correlativas en un triángulo plano". Mensual Matemático Estadounidense 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). "Un nuevo teorema sobre cualquier triángulo de Cevia rectángulo". Revista de la Federación Mundial de Competiciones Nacionales de Matemáticas , volumen 24 (02) , págs.