teorema de ceva

Relación geométrica entre segmentos de recta de los vértices de un triángulo y su intersección

Teorema de Ceva, caso 1: las tres rectas son concurrentes en un punto O dentro de △ ABC

Teorema de Ceva, caso 2: las tres rectas son concurrentes en un punto O fuera de △ ABC

En geometría euclidiana , el teorema de Ceva es un teorema sobre triángulos . Dado un triángulo △ ABC , tracemos las rectas AO, BO, CO desde los vértices hasta un punto común O (no en uno de los lados de △ ABC ), para encontrarse con lados opuestos en D, E, F respectivamente. (Los segmentos AD , BE , CF se conocen como cevianos ). Luego, usando longitudes de segmentos con signo ,

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1.}$

En otras palabras, la longitud XY se considera positiva o negativa según si X está a la izquierda o a la derecha de Y en alguna orientación fija de la línea. Por ejemplo, AF / FB se define como un valor positivo cuando F está entre A y B y negativo en caso contrario.

El teorema de Ceva es un teorema de geometría afín , en el sentido de que puede enunciarse y demostrarse sin utilizar los conceptos de ángulos, áreas y longitudes (excepto la relación de las longitudes de dos segmentos de recta que son colineales ). Por tanto, es válido para triángulos en cualquier plano afín sobre cualquier campo .

También es cierto lo contrario ligeramente adaptado : si los puntos D, E, F se eligen en BC, AC, AB respectivamente de modo que

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1,}$

entonces AD, BE, CF son concurrentes o los tres paralelos . Lo contrario a menudo se incluye como parte del teorema.

El teorema se atribuye a menudo a Giovanni Ceva , quien lo publicó en su obra De lineis rectis de 1678 . Pero así lo demostró mucho antes Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd , rey de Zaragoza del siglo XI . ^[1]

Asociados con las figuras hay varios términos derivados del nombre de Ceva: cevian (las líneas AD, BE, CF son las cevianas de O ), triángulo ceviana (el triángulo △ DEF es el triángulo ceviana de O ); nido de ceviano, triángulo anticviano, conjugado de Ceva. ( Ceva se pronuncia Chay'va; cevian se pronuncia chev'ian).

El teorema es muy similar al teorema de Menelao en que sus ecuaciones difieren sólo en el signo. Al reescribir cada uno en términos de razones cruzadas , los dos teoremas pueden verse como duales proyectivos . ^[2]

Pruebas

Se han dado varias demostraciones del teorema. ^{[3] [4]} A continuación se dan dos pruebas.

El primero es muy elemental y utiliza sólo propiedades básicas de las áreas de los triángulos. ^[3] Sin embargo, hay que considerar varios casos, dependiendo de la posición del punto O.

La segunda prueba utiliza coordenadas y vectores baricéntricos , pero de alguna manera es más natural y no depende de casos. Además, funciona en cualquier plano afín sobre cualquier campo .

Usando áreas triangulares

Primero, el signo del lado izquierdo es positivo ya que o las tres razones son positivas, el caso en el que O está dentro del triángulo (diagrama superior), o una es positiva y las otras dos son negativas, el caso O es fuera del triángulo (el diagrama inferior muestra un caso).

Para comprobar la magnitud, observe que el área de un triángulo de una altura determinada es proporcional a su base. Entonces

${\displaystyle {\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.}$

(Reemplace el menos con un más si A y O están en lados opuestos de BC ). De manera similar,

${\displaystyle {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},}$

y

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.}$

Al multiplicar estas tres ecuaciones se obtiene

${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$

según sea necesario.

El teorema también se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema de Menelao. ^[5] Del BOE transversal del triángulo △ ACF ,

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {BF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1}$

y de la AOD transversal del triángulo △ BCF ,

${\displaystyle {\frac {\overline {BA}}{\overline {AF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {DB}}}=-1.}$

El teorema se sigue dividiendo estas dos ecuaciones.

Lo contrario sigue como corolario. ^[3] Sean D, E, F en las rectas BC, AC, AB para que se cumpla la ecuación. Sean AD, BE se encuentran en O y sea F' el punto donde CO cruza AB . Entonces, según el teorema, la ecuación también es válida para D, E, F' . Comparando los dos,

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}}$

Pero como máximo un punto puede cortar un segmento en una proporción determinada, por lo que F = F' .

Usando coordenadas baricéntricas

Dados tres puntos A, B, C que no son colineales , y un punto O , que pertenece al mismo plano , las coordenadas baricéntricas de O con respecto a A, B, C son los tres únicos números tales que ${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C}}$

${\displaystyle \lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,}$

y

${\displaystyle {\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}{\overrightarrow {XC}},}$

para cada punto X (para conocer la definición de esta notación de flecha y más detalles, consulte Espacio afín ).

Según el teorema de Ceva, se supone que el punto O no pertenece a ninguna recta que pase por dos vértices del triángulo. Esto implica que ${\displaystyle \lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.}$

Si se toma por X la intersección F de las líneas AB y OC (ver figuras), la última ecuación se puede reorganizar en

${\displaystyle {\overrightarrow {FO}}-\lambda _{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}.}$

El lado izquierdo de esta ecuación es un vector que tiene la misma dirección que la línea CF y el lado derecho tiene la misma dirección que la línea AB . Estas rectas tienen diferentes direcciones ya que A, B, C no son colineales. De ello se deduce que los dos miembros de la ecuación son iguales al vector cero, y

${\displaystyle \lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}=0.}$

Resulta que

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}},}$

donde la fracción del lado izquierdo es la relación con signo de las longitudes de los segmentos colineales AF y FB .

El mismo razonamiento muestra

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}.}$

El teorema de Ceva resulta inmediatamente tomando el producto de las tres últimas ecuaciones.

Generalizaciones

El teorema se puede generalizar a símplex de dimensiones superiores utilizando coordenadas baricéntricas . Defina una ceviana de un n -símplex como un rayo desde cada vértice hasta un punto en la cara opuesta ( n – 1 ) ( faceta ). Entonces las cevianas son concurrentes si y sólo si se puede asignar una distribución de masa a los vértices de manera que cada ceviana corte la faceta opuesta en su centro de masa . Además, el punto de intersección de las cevianas es el centro de masa del simplex. ^{[6] [7]}

Otra generalización a símplex de dimensiones superiores extiende la conclusión del teorema de Ceva de que el producto de ciertas razones es 1. A partir de un punto en un símplex, se define inductivamente un punto en cada k -cara. Este punto es el pie de una ceviana que va desde el vértice opuesto a la cara k , en una cara ( k + 1 ) que lo contiene, hasta el punto ya definido en esta cara ( k + 1 ). Cada uno de estos puntos divide en lóbulos la cara sobre la que se encuentra. Dado un ciclo de pares de lóbulos, el producto de las proporciones de los volúmenes de los lóbulos en cada par es 1. ^[8]

El teorema de Routh da el área del triángulo formado por tres cevianas en el caso de que no sean concurrentes. El teorema de Ceva se puede obtener a partir de él igualando el área a cero y resolviendo.

El análogo del teorema de los polígonos generales en el plano se conoce desde principios del siglo XIX. ^[9] El teorema también se ha generalizado a triángulos sobre otras superficies de curvatura constante . ^[10]

El teorema también tiene una generalización bien conocida a la geometría esférica e hiperbólica, reemplazando las longitudes en las proporciones con sus senos y senos hiperbólicos, respectivamente.

Ver también

• Geometría proyectiva
• Mediana (geometría) : una aplicación
• Triángulo circunceviano

Referencias

1. Holme, Audun (2010). Geometría: Nuestro Patrimonio Cultural . Saltador. pag. 210.ISBN​ 978-3-642-14440-0.
2. Benítez, Julio (2007). "Una prueba unificada de los teoremas de Ceva y Menelao utilizando geometría proyectiva" (PDF) . Revista de Geometría y Gráfica . 11 (1): 39–44.
3. Russell, John Wellesley (1905). "Cap. 1 §7 Teorema de Ceva". Geometría pura. Prensa de Clarendon.
4. Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind (1996), Problemas desafiantes en geometría , páginas 177–180, Dover Publishing Co., segunda edición revisada.
5. Sigue a Hopkins, George Irving (1902). "Artículo 986". Geometría plana inductiva. DC Heath & Co.
6. Landy, Steven (diciembre de 1988). "Una generalización del teorema de Ceva a dimensiones superiores". El Mensual Matemático Estadounidense . 95 (10): 936–939. doi :10.2307/2322390. JSTOR  2322390.
7. Wernicke, Paul (noviembre de 1927). "Los teoremas de Ceva y Menelao y su extensión". El Mensual Matemático Estadounidense . 34 (9): 468–472. doi :10.2307/2300222. JSTOR  2300222.
8. Samet, Dov (mayo de 2021). "Una extensión del teorema de Ceva a n -símplices". El Mensual Matemático Estadounidense . 128 (5): 435–445. doi :10.1080/00029890.2021.1896292. S2CID  233413469.
9. Grünbaum, Branko; Shephard, GC (1995). "Ceva, Menelao y el principio del área". Revista Matemáticas . 68 (4): 254–268. doi :10.2307/2690569. JSTOR  2690569.
10. Masal'tsev, LA (1994). "Teoremas de incidencia en espacios de curvatura constante". Revista de Ciencias Matemáticas . 72 (4): 3201–3206. doi :10.1007/BF01249519. S2CID  123870381.

Otras lecturas

• Hogendijk, JB (1995). "Al-Mutaman ibn Hűd, rey de Zaragoza del siglo XI y brillante matemático". Historia Matemática . 22 : 1–18. doi : 10.1006/hmat.1995.1001 .

enlaces externos

• Menelao y Ceva en MathPages
• Derivaciones y aplicaciones del teorema de Ceva al cortar el nudo
• Forma trigonométrica del teorema de Ceva al cortar el nudo
• El glosario de la Enciclopedia de centros de triángulos incluye definiciones de triángulo ceviano, nido de ceviano, triángulo anticviano, conjugado de Ceva y punto ceva.
• Cónicas asociadas a un nido de Cevian, por Clark Kimberling
• Teorema de Ceva por Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Ceva". MundoMatemático .
• Encontrar experimentalmente el centroide de un triángulo con diferentes pesos en los vértices: una aplicación práctica del teorema de Ceva en Dynamic Geometry Sketches, un boceto interactivo de geometría dinámica utilizando el simulador de gravedad de Cenicienta.
• "Teorema de Ceva", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]