teorema de routh

Relación de áreas de un triángulo y el triángulo formado por las intersecciones de tres cevianas

teorema de routh

En geometría , el teorema de Routh determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por las intersecciones por pares de tres cevianas . El teorema establece que si en un triángulo los puntos , , y se encuentran en segmentos , , y , entonces escribiendo , , y , el área con signo del triángulo formado por las cevianas , , y es ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}=x}$ ${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}=y}$ ${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}=z}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle BE}$ ${\displaystyle CF}$

${\displaystyle S_{ABC}{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},}$

¿Dónde está el área del triángulo ? ${\displaystyle S_{ABC}}$ ${\displaystyle ABC}$

Este teorema fue expuesto por Edward John Routh en la página 82 de su Tratado de estática analítica con numerosos ejemplos en 1896. El caso particular se ha popularizado como el triángulo de área de un séptimo . El caso implica que las tres medianas son concurrentes (a través del centroide ). ${\displaystyle x=y=z=2}$ ${\displaystyle x=y=z=1}$

Prueba

teorema de routh

Supongamos que el área del triángulo es 1. Para triángulo y recta usando el teorema de Menelao , podríamos obtener: ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABD}$ ${\displaystyle FRC}$

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}$

Entonces el área del triángulo es: ${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$ ${\displaystyle ARC}$

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$

De manera similar, podríamos saber: y Así, el área del triángulo es: ${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$ ${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$ ${\displaystyle PQR}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}}$

Citas

La cita comúnmente dada para el teorema de Routh es el Tratado de estática analítica de Routh con numerosos ejemplos , volumen 1, cap. IV, en la segunda edición de 1896 p. 82, posiblemente porque esa edición ha sido más fácil de conseguir. Sin embargo, Routh ya dio el teorema en la primera edición de 1891, volumen 1, cap. IV, pág. 89. Aunque hay un cambio en la paginación entre las ediciones, la redacción de la nota a pie de página pertinente sigue siendo la misma.

Routh concluye su extensa nota a pie de página con una advertencia :

"El autor no ha encontrado estas expresiones para las áreas de dos triángulos que aparecen con frecuencia. Por lo tanto, las ha colocado aquí para que el argumento del texto pueda entenderse más fácilmente."

Presumiblemente, Routh sintió que esas circunstancias no habían cambiado en los cinco años transcurridos entre ediciones. Por otra parte, el título del libro de Routh había sido utilizado anteriormente por Isaac Todhunter ; ambos habían sido entrenados por William Hopkins .

Aunque Routh publicó el teorema en su libro, ésta no es la primera afirmación publicada. Está declarado y probado como cláusula (vii) en la página 33 de Soluciones de los problemas y cláusulas del Senado de Cambridge para el año 1878, es decir, los tripos matemáticos de ese año, y el enlace es https://archive.org/ detalles/solucionesscambri00glaigoog. Se afirma que el autor de los problemas con números romanos es Glaisher . Routh era un famoso entrenador de Tripos de Matemáticas cuando se publicó su libro y seguramente estaba familiarizado con el contenido del examen de Tripos de 1878. Así, en su afirmación El autor no se ha encontrado con estas expresiones para las áreas de dos triángulos que suelen aparecer. es desconcertante.

Los problemas con este espíritu tienen una larga historia en las matemáticas recreativas y la pedagogía matemática , siendo quizás uno de los ejemplos más antiguos la determinación de las proporciones de las catorce regiones del tablero Stomachion . Teniendo en mente el Cambridge de Routh , el triángulo de área de un séptimo , asociado en algunos relatos con Richard Feynman , aparece, por ejemplo, en la pregunta 100, p. 80, en Elementos de geometría de Euclides (quinta edición escolar) , de Robert Potts (1805-1885) del Trinity College, publicado en 1859; compárese también sus preguntas 98, 99, en la misma página. Potts fue el vigésimo sexto Wrangler en 1832 y luego, al igual que Hopkins y Routh, entrenó en Cambridge. Los escritos expositivos de Pott en geometría fueron reconocidos con una medalla en la Exposición Internacional de 1862, así como con un Excmo. LL.D. del College of William and Mary , Williamsburg , Virginia .

Referencias

• Murray S. Klamkin y A. Liu (1981) "Tres pruebas más del teorema de Routh", Crux Mathematicorum 7:199–203.
• HSM Coxeter (1969) Introducción a la Geometría , enunciado p. 211, prueba págs. 219–20, 2.ª edición, Wiley, Nueva York.
• JS Kline y D. Velleman (1995) "Otra prueba más del teorema de Routh" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
• Ivan Niven (1976) "Una nueva prueba del teorema de Routh", Revista de Matemáticas 49(1): 25–7, doi :10.2307/2689876
• Jay Warendorff, Teorema de Routh, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Routh". MundoMatemático .
• Teorema de Routh por productos cruzados en MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Revisión del teorema de Routh", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.