función periódica

Función que repite sus valores a intervalos o períodos regulares.

Una ilustración de una función periódica con período. ${\displaystyle P.}$

Una función periódica o función cíclica , también llamada forma de onda periódica (o simplemente onda periódica ), es una función que repite sus valores a intervalos o períodos regulares . La parte repetible de la función o forma de onda se llama ciclo . ^[1] Por ejemplo, las funciones trigonométricas , que se repiten a intervalos de radianes , son funciones periódicas. Las funciones periódicas se utilizan en toda la ciencia para describir oscilaciones , ondas y otros fenómenos que exhiben periodicidad . Cualquier función que no sea periódica se llama aperiódica . ${\displaystyle 2\pi }$

Definición

Se dice que una función f es periódica si, para alguna constante P distinta de cero , se cumple que

${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$

para todos los valores de x en el dominio. Una constante P distinta de cero para la cual este es el caso se llama período de la función. Si existe una constante P ^{al menos positiva [2]} con esta propiedad, se llama período fundamental (también período primitivo , período básico o período principal ). A menudo, "el" período de una función se utiliza para referirse a su período fundamental. . Una función con período P se repetirá en intervalos de longitud P , y estos intervalos a veces también se denominan períodos de la función.

Geométricamente, una función periódica se puede definir como una función cuya gráfica presenta simetría traslacional , es decir, una función f es periódica con período P si la gráfica de f es invariante bajo traslación en la dirección x por una distancia de P. Esta definición de periodicidad puede extenderse a otras formas y patrones geométricos, así como generalizarse a dimensiones superiores, como las teselaciones periódicas del plano. Una secuencia también puede verse como una función definida sobre los números naturales , y para una secuencia periódica estas nociones se definen en consecuencia.

Ejemplos

Una gráfica de la función seno, que muestra dos períodos completos.

Ejemplos de números reales

La función seno es periódica con periodo , ya que ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}$

para todos los valores de . Esta función se repite en intervalos de longitud (consulte el gráfico de la derecha). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Se ven ejemplos cotidianos cuando la variable es el tiempo ; por ejemplo, las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. El movimiento periódico es un movimiento en el que las posiciones del sistema se pueden expresar como funciones periódicas, todas con el mismo período.

Para una función sobre números reales o enteros , eso significa que todo el gráfico se puede formar a partir de copias de una porción particular, repetidas a intervalos regulares.

Un ejemplo sencillo de función periódica es la función que da la " parte fraccionaria " de su argumento. Su período es 1. En particular, ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5}$

La gráfica de la función es la onda en diente de sierra . ${\displaystyle f}$

Una trama de y ; ambas funciones son periódicas con punto . ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle g(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Las funciones trigonométricas seno y coseno son funciones periódicas comunes, con punto (ver la figura de la derecha). El tema de las series de Fourier investiga la idea de que una función periódica "arbitraria" es una suma de funciones trigonométricas con períodos coincidentes. ${\displaystyle 2\pi }$

Según la definición anterior, algunas funciones exóticas, por ejemplo la función de Dirichlet , también son periódicas; en el caso de la función de Dirichlet, cualquier número racional distinto de cero es un punto.

Ejemplos de números complejos

Usando variables complejas tenemos la función de período común:

${\displaystyle e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx.}$

Dado que las funciones coseno y seno son periódicas con período , la exponencial compleja se compone de ondas coseno y seno. Esto significa que la fórmula de Euler (arriba) tiene la propiedad tal que si es el período de la función, entonces ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L={\frac {2\pi }{k}}.}$

Funciones de doble periodicidad

Una función cuyo dominio son los números complejos puede tener dos periodos inconmensurables sin ser constante. Las funciones elípticas son tales funciones. ("Inconmensurable" en este contexto significa múltiplos no reales entre sí).

Propiedades

Las funciones periódicas pueden tomar valores muchas veces. Más específicamente, si una función es periódica con período , entonces para todos en el dominio de y todos los números enteros positivos , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x+nP)=f(x)}$

Si es una función con punto , entonces , donde es un número real distinto de cero tal que está dentro del dominio de , es periódica con punto . Por ejemplo, tiene punto y, por tanto, tendrá punto . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(ax)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ax}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle {\frac {P}{a}}}$ ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \sin(5x)}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{5}}}$

Algunas funciones periódicas pueden describirse mediante series de Fourier . Por ejemplo, para las funciones L 2 , el teorema de Carleson establece que tienen una serie de Fourier puntual ( Lebesgue ) casi en todas partes convergente . Las series de Fourier solo se pueden utilizar para funciones periódicas o para funciones en un intervalo acotado (compacto). Si es una función periódica con período que puede describirse mediante una serie de Fourier, los coeficientes de la serie se pueden describir mediante una integral en un intervalo de longitud . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Cualquier función que consta únicamente de funciones periódicas con el mismo período también es periódica (con período igual o menor), incluyendo:

• suma, resta, multiplicación y división de funciones periódicas, y
• tomando una potencia o una raíz de una función periódica (siempre que esté definida para todos ). ${\displaystyle x}$

Generalizaciones

Funciones antiperiódicas

Un subconjunto de funciones periódicas es el de funciones antiperiódicas . ^{[ cita requerida ]} Esta es una función tal que para todos . Por ejemplo, las funciones seno y coseno son antiperiódicas y periódicas. Si bien una función antiperiódica es una función periódica, lo contrario no es necesariamente cierto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+P)=-f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 2P}$

Funciones periódicas de Bloch

Una generalización adicional aparece en el contexto de los teoremas de Bloch y la teoría de Floquet , que gobiernan la solución de varias ecuaciones diferenciales periódicas. En este contexto, la solución (en una dimensión) suele ser una función de la forma

${\displaystyle f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,}$

donde es un número real o complejo (el vector de onda de Bloch o exponente de Floquet ). Las funciones de esta forma a veces se denominan periódicas de Bloch en este contexto. Una función periódica es el caso especial y una función antiperiódica es el caso especial . Siempre que es racional, la función también es periódica. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=\pi /P}$ ${\displaystyle kP/\pi }$

Espacios cocientes como dominio

En el procesamiento de señales se encuentra el problema de que las series de Fourier representan funciones periódicas y que las series de Fourier satisfacen los teoremas de convolución (es decir, la convolución de las series de Fourier corresponde a la multiplicación de la función periódica representada y viceversa), pero las funciones periódicas no pueden convolucionarse con la definición habitual. ya que las integrales involucradas divergen. Una posible salida es definir una función periódica en un dominio acotado pero periódico. Para ello se puede utilizar la noción de espacio cociente :

${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}}$.

Es decir, cada elemento es una clase de equivalencia de números reales que comparten la misma parte fraccionaria . Por tanto, una función como es una representación de una función 1-periódica. ${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R} }$

Periodo de cálculo

Considere una forma de onda real que consta de frecuencias superpuestas, expresadas en un conjunto como relaciones con una frecuencia fundamental, f: F = 1 ⁄ f  [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ] donde todos los elementos distintos de cero ≥1 y en al menos uno de los elementos del conjunto es 1. Para encontrar el período, T, primero encuentre el mínimo común denominador de todos los elementos del conjunto. El período se puede encontrar como T = LCD ⁄ f . Considere que para una sinusoide simple, T = 1 ⁄ f . Por tanto, el LCD puede verse como un multiplicador de periodicidad.

• Para el conjunto que representa todas las notas de la escala mayor occidental: [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ] el MCD es 24, por lo tanto T = 24 ⁄ f .
• Para un conjunto que representa todas las notas de una tríada mayor: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] el MCD es 4, por lo tanto T = 4 ⁄ f .
• Para un conjunto que representa todas las notas de una tríada menor: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] el MCD es 10, por lo tanto T = 10 ⁄ f .

Si no existe un mínimo común denominador, por ejemplo si uno de los elementos anteriores fuera irracional, entonces la onda no sería periódica. ^[3]

Ver también

• Función casi periódica
• Amplitud
• Ola continua
• tono definido
• Método de la doble esfera de Fourier
• Función doblemente periódica
• Transformada de Fourier para calcular la periodicidad en datos espaciados uniformemente
• Frecuencia
• Espectro de frecuencia
• Ecuación diferencial de Hill
• Análisis espectral de mínimos cuadrados para calcular la periodicidad en datos espaciados desigualmente
• secuencia periódica
• Suma periódica
• Onda viajera periódica
• función cuasiperiódica
• Estacionalidad
• variación secular
• Longitud de onda
• Lista de funciones periódicas

Referencias

1. "IEC 60050 - Detalles del IEV número 103-05-08:" ciclo"". Vocabulario Electrotécnico Internacional . Consultado el 20 de noviembre de 2023 .
2. Para algunas funciones, como una función constante o la función de Dirichlet (la función indicadora de los números racionales ), puede no existir un período mínimo positivo (el mínimo de todos los períodos positivos P es cero).
3. Summerson, Samantha R. (5 de octubre de 2009). "Periodicidad, series reales de Fourier y transformadas de Fourier" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 25 de agosto de 2019 . Consultado el 24 de marzo de 2018 .

• Ekeland, Ivar (1990). "Uno". Métodos de convexidad en mecánica hamiltoniana . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)]. vol. 19. Berlín: Springer-Verlag. págs.x+247. ISBN 3-540-50613-6. SEÑOR  1051888.

enlaces externos

• "Función periódica". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Función periódica". MundoMatemático .