Plano inclinado

Superficie de apoyo plana inclinada

Rampa para sillas de ruedas , Hotel Montescot, Chartres, Francia

Plano inclinado de demostración utilizado en educación, Museo Galileo , Florencia.

Un plano inclinado , también conocido como rampa , es una superficie de soporte plana inclinada en un ángulo respecto de la dirección vertical , con un extremo más alto que el otro, que se utiliza como ayuda para subir o bajar una carga. ^{[1] [2] [3]} El plano inclinado es una de las seis máquinas simples clásicas definidas por los científicos del Renacimiento. Los planos inclinados se utilizan para mover cargas pesadas sobre obstáculos verticales. Los ejemplos varían desde una rampa utilizada para cargar mercancías en un camión, hasta una persona que camina por una rampa para peatones, o un automóvil o un tren que sube una pendiente. ^[3]

Mover un objeto hacia arriba en un plano inclinado requiere menos fuerza que levantarlo hacia arriba, a costa de un aumento en la distancia recorrida. ^[4] La ventaja mecánica de un plano inclinado, el factor por el cual se reduce la fuerza, es igual a la relación entre la longitud de la superficie inclinada y la altura que abarca. Debido a la conservación de la energía , se requiere la misma cantidad de energía mecánica ( trabajo ) para levantar un objeto dado una distancia vertical determinada , sin tener en cuenta las pérdidas por fricción , pero el plano inclinado permite realizar el mismo trabajo con una fuerza menor ejercida sobre una distancia mayor. ^{[5] [6]}

El ángulo de fricción , ^[7] también llamado a veces ángulo de reposo , ^[8] es el ángulo máximo en el que una carga puede descansar inmóvil sobre un plano inclinado debido a la fricción sin deslizarse hacia abajo. Este ángulo es igual al arcotangente del coeficiente de fricción estática μ _s entre las superficies. ^[8]

A menudo se considera que otras dos máquinas simples se derivan del plano inclinado. ^[9] La cuña puede considerarse un plano inclinado en movimiento o dos planos inclinados conectados en la base. ^[5] El tornillo consiste en un plano inclinado estrecho enrollado alrededor de un cilindro . ^[5]

El término también puede referirse a una implementación específica; una rampa recta cortada en una ladera empinada para transportar mercancías cuesta arriba y cuesta abajo. Esto puede incluir vagones sobre rieles o arrastrados por un sistema de cables; un funicular o teleférico , como el plano inclinado de Johnstown .

Usos

Los planos inclinados se utilizan ampliamente en forma de rampas de carga para cargar y descargar mercancías en camiones, barcos y aviones. ^[3] Las rampas para sillas de ruedas se utilizan para permitir que las personas en sillas de ruedas superen obstáculos verticales sin exceder su fuerza. Las escaleras mecánicas y las cintas transportadoras inclinadas también son formas de un plano inclinado. ^[6] En un funicular o teleférico, un vagón de ferrocarril se eleva mediante cables por un plano inclinado pronunciado. Los aviones inclinados también permiten que objetos pesados ​​y frágiles, incluidos los humanos, bajen de forma segura una distancia vertical utilizando la fuerza normal del avión para reducir la fuerza gravitacional . Los toboganes de evacuación de aviones permiten a las personas llegar al suelo de forma rápida y segura desde la altura de un avión de pasajeros .

Otros planos inclinados se construyen en estructuras permanentes. Las carreteras para vehículos y ferrocarriles tienen planos inclinados en forma de pendientes graduales, rampas y calzadas para permitir que los vehículos superen obstáculos verticales como colinas sin perder tracción en la superficie de la carretera. ^[3] De manera similar, los caminos y aceras para peatones tienen rampas suaves para limitar su pendiente y garantizar que los peatones puedan mantener la tracción. ^{[1] [4]} Los planos inclinados también se utilizan como entretenimiento para que las personas se deslicen hacia abajo de forma controlada, en toboganes de juegos , toboganes de agua , pistas de esquí y parques de skate .

Historia

Los seres humanos han utilizado aviones inclinados desde tiempos prehistóricos para mover objetos pesados. ^{[14] [15]} Los caminos inclinados y las calzadas construidas por civilizaciones antiguas como los romanos son ejemplos de los primeros planos inclinados que han sobrevivido y muestran que entendían el valor de este dispositivo para mover cosas cuesta arriba. Se cree que las pesadas piedras utilizadas en antiguas estructuras de piedra como Stonehenge ^[16] fueron movidas y colocadas en su lugar utilizando planos inclinados hechos de tierra, ^[17] aunque es difícil encontrar evidencia de tales rampas de construcción temporales. Las pirámides egipcias se construyeron utilizando planos inclinados, ^{[18] [19] [20] Las rampas} de asedio permitieron a los antiguos ejércitos superar los muros de las fortalezas. Los antiguos griegos construyeron una rampa pavimentada de 6 km (3,7 millas) de largo, la Diolkos , para arrastrar barcos por tierra a través del istmo de Corinto . ^[4]

Sin embargo, el plano inclinado fue la última de las seis máquinas simples clásicas en ser reconocida como máquina. Probablemente esto se deba a que es un dispositivo pasivo e inmóvil (la carga es la parte móvil), ^[21] y también a que se encuentra en la naturaleza en forma de pendientes y colinas. Aunque entendían su uso para levantar objetos pesados, los antiguos filósofos griegos que definieron las otras cinco máquinas simples no incluían el plano inclinado como máquina. ^[22] Esta opinión persistió entre algunos científicos posteriores; Todavía en 1826 Karl von Langsdorf escribió que un plano inclinado " ...no es más una máquina que la pendiente de una montaña ". ^[21] El problema de calcular la fuerza requerida para empujar un peso hacia arriba en un plano inclinado (su ventaja mecánica) fue intentado por los filósofos griegos Herón de Alejandría (c. 10 - 60 EC) y Pappus de Alejandría (c. 290 - 350 EC). ), pero sus soluciones fueron incorrectas. ^{[23] [24] [25]}

No fue hasta el Renacimiento que el plano inclinado se resolvió matemáticamente y se clasificó con las otras máquinas simples. El primer análisis correcto del plano inclinado apareció en la obra del autor del siglo XIII Jordanus de Nemore , ^{[26] [27]} sin embargo, su solución aparentemente no fue comunicada a otros filósofos de la época. ^[24] Girolamo Cardano (1570) propuso la solución incorrecta de que la fuerza de entrada es proporcional al ángulo del plano. ^{[10] Luego, a finales del siglo XVI, Michael Varro (1584),} Simon Stevin (1586) y Galileo Galilei (1592) publicaron tres soluciones correctas en diez años . ^[24] Aunque no fue la primera, la derivación del ingeniero flamenco Simon Stevin ^[25] es la más conocida, por su originalidad y el uso de un collar de cuentas (ver recuadro). ^{[12] [26]} En 1600, el científico italiano Galileo Galilei incluyó el plano inclinado en su análisis de máquinas simples en Le Meccaniche ("Sobre la mecánica"), mostrando su similitud subyacente con las otras máquinas como amplificador de fuerza. ^[28]

Las primeras reglas elementales de fricción por deslizamiento en un plano inclinado fueron descubiertas por Leonardo da Vinci (1452-1519), pero permanecieron inéditas en sus cuadernos. ^[29] Fueron redescubiertos por Guillaume Amontons (1699) y desarrollados por Charles-Augustin de Coulomb (1785). ^[29] Leonhard Euler (1750) demostró que la tangente del ángulo de reposo en un plano inclinado es igual al coeficiente de fricción . ^[30]

Terminología

Pendiente

La ventaja mecánica de un plano inclinado depende de su pendiente , es decir, de su pendiente o pendiente. Cuanto menor sea la pendiente, mayor será la ventaja mecánica y menor será la fuerza necesaria para levantar un peso determinado. La pendiente s de un avión es igual a la diferencia de altura entre sus dos extremos, o " subida ", dividida por su longitud horizontal, o " recorrido ". ^[31] También se puede expresar por el ángulo que forma el plano con la horizontal, θ .

La geometría del plano inclinado se basa en un triángulo rectángulo . ^[31] La longitud horizontal a veces se llama Run , el cambio vertical de altura Rise .

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\bigg (}{\frac {\text{Rise}}{\text{Run}}}{\bigg )}\,}$

Ventaja mecanica

La ventaja mecánica MA de una máquina simple se define como la relación entre la fuerza de salida ejercida sobre la carga y la fuerza de entrada aplicada. Para el plano inclinado, la fuerza de carga de salida es simplemente la fuerza gravitacional del objeto de carga en el plano, su peso F _w . La fuerza de entrada es la fuerza F _i ejercida sobre el objeto, paralela al plano, para moverlo hacia arriba. La ventaja mecánica es

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}\,}$

La MA de un plano inclinado ideal sin fricción a veces se denomina ventaja mecánica ideal (IMA), mientras que la MA cuando se incluye la fricción se llama ventaja mecánica real (AMA). ^[32]

Plano inclinado sin fricción

Plano inclinado instrumentado utilizado para la enseñanza de física, alrededor de 1900. El peso izquierdo proporciona la fuerza de carga F _w . El peso de la derecha proporciona la fuerza de entrada F _i que empuja el rodillo hacia arriba en el plano.

Si no hay fricción entre el objeto que se mueve y el plano, el dispositivo se llama plano inclinado ideal . Esta condición se puede alcanzar si el objeto rueda como un barril o está apoyado sobre ruedas o ruedas . Debido a la conservación de la energía , para un plano inclinado sin fricción, el trabajo realizado sobre la carga que lo levanta, W _out , es igual al trabajo realizado por la fuerza de entrada, W _in ^{[33] [34] [35]}

${\displaystyle W_{\rm {out}}=W_{\rm {in}}\,}$

El trabajo se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento que mueve un objeto. El trabajo realizado sobre la carga es igual a su peso multiplicado por el desplazamiento vertical que asciende, que es el "ascenso" del plano inclinado.

${\displaystyle W_{\rm {out}}=F_{w}\cdot {\text{Rise}}\,}$

El trabajo de entrada es igual a la fuerza F _i sobre el objeto multiplicada por la longitud diagonal del plano inclinado.

${\displaystyle W_{\rm {in}}=F_{i}\cdot {\text{Length}}\,}$

Sustituyendo estos valores en la ecuación de conservación de energía anterior y reordenando

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\text{Length}}{\text{Rise}}}\,}$

Para expresar la ventaja mecánica por el ángulo θ del plano, ^[34] se puede ver en el diagrama (arriba) que

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{Rise}}{\text{Length}}}\,}$

Entonces

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta }}\,}$

Entonces, la ventaja mecánica de un plano inclinado sin fricción es igual al recíproco del seno del ángulo de pendiente. La fuerza de entrada F _i de esta ecuación es la fuerza necesaria para mantener la carga inmóvil en el plano inclinado o empujarla hacia arriba a una velocidad constante. Si la fuerza de entrada es mayor que esto, la carga acelerará hacia arriba en el plano. Si la fuerza es menor, acelerará hacia abajo del avión.

Plano inclinado con fricción.

Cuando hay fricción entre el plano y la carga, como por ejemplo cuando se desliza una caja pesada por una rampa, parte del trabajo aplicado por la fuerza de entrada se disipa en forma de calor por fricción, W _fric , por lo que se realiza menos trabajo sobre la carga. carga. Debido a la conservación de la energía , la suma del trabajo de salida y las pérdidas de energía por fricción es igual al trabajo de entrada.

${\displaystyle W_{\text{in}}=W_{\text{fric}}+W_{\text{out}}\,}$

Por lo tanto, se requiere más fuerza de entrada y la ventaja mecánica es menor que si no hubiera fricción. Con fricción, la carga solo se moverá si la fuerza neta paralela a la superficie es mayor que la fuerza de fricción F _f opuesta a ella. ^{[8] [36] [37]} La ​​fuerza de fricción máxima viene dada por

${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$

donde F _n es la fuerza normal entre la carga y el plano, dirigida normal a la superficie, y μ es el coeficiente de fricción estática entre las dos superficies, que varía con el material. Cuando no se aplica ninguna fuerza de entrada, si el ángulo de inclinación θ del avión es menor que un valor máximo φ, la componente de la fuerza gravitacional paralela al avión será demasiado pequeña para superar la fricción y la carga permanecerá inmóvil. Este ángulo se llama ángulo de reposo y depende de la composición de las superficies, pero es independiente del peso de la carga. A continuación se muestra que la tangente del ángulo de reposo φ es igual a μ

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

Con fricción, siempre hay algún rango de fuerza de entrada _Fi para el cual la carga es estacionaria, sin deslizarse hacia arriba o hacia abajo en el plano, mientras que con un plano inclinado sin fricción solo hay un valor particular de fuerza de entrada para el cual la carga es estacionaria.

Análisis

Clave: F _n = N = Fuerza normal que es perpendicular al plano, F _i = f = fuerza de entrada, F _w = mg = peso de la carga, donde m = masa , g = gravedad

Una carga que descansa sobre un plano inclinado, considerada como un cuerpo libre , tiene tres fuerzas actuando sobre él: ^{[8] [36] [37]}

• La fuerza aplicada, F _i, ejercida sobre la carga para moverla, que actúa paralela al plano inclinado.
• El peso de la carga, F _w , que actúa verticalmente hacia abajo.
• La fuerza del avión sobre la carga. Esto se puede resolver en dos componentes:
  • La fuerza normal F _n del plano inclinado sobre la carga que la soporta. Este se dirige perpendicular ( normal ) a la superficie.
  • La fuerza de fricción, F _f del plano sobre la carga actúa paralela a la superficie y siempre está en dirección opuesta al movimiento del objeto. Es igual a la fuerza normal multiplicada por el coeficiente de fricción estática μ entre las dos superficies.

Usando la segunda ley del movimiento de Newton, la carga estará estacionaria o en movimiento constante si la suma de las fuerzas sobre ella es cero. Dado que la dirección de la fuerza de fricción es opuesta en el caso de movimiento cuesta arriba y cuesta abajo, estos dos casos deben considerarse por separado:

• Movimiento cuesta arriba: la fuerza total sobre la carga está hacia el lado cuesta arriba, por lo que la fuerza de fricción se dirige hacia abajo en el plano, oponiéndose a la fuerza de entrada.

La ventaja mecánica es

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta +\phi )}}\,}$

dónde . Ésta es la condición para el movimiento inminente hacia arriba en el plano inclinado. Si la fuerza aplicada F _i es mayor que la dada por esta ecuación, la carga ascenderá en el plano. ${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

• Movimiento cuesta abajo: la fuerza total sobre la carga está hacia el lado cuesta abajo, por lo que la fuerza de fricción se dirige hacia arriba en el plano.

La ventaja mecánica es

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta -\phi )}}\,}$

Ésta es la condición para el movimiento inminente hacia abajo en el avión; Si la fuerza aplicada F _i es menor que la dada en esta ecuación, la carga se deslizará hacia abajo por el plano. Hay tres casos:

1. ${\displaystyle \theta <\phi \,}$: La ventaja mecánica es negativa. En ausencia de fuerza aplicada, la carga permanecerá inmóvil y requiere cierta fuerza negativa (cuesta abajo) aplicada para deslizarse hacia abajo.
2. ${\displaystyle \theta =\phi \,}$: El ' ángulo de reposo '. La ventaja mecánica es infinita. Sin fuerza aplicada, la carga no se deslizará, pero la más mínima fuerza negativa (cuesta abajo) hará que se deslice.
3. ${\displaystyle \theta >\phi \,}$: La ventaja mecánica es positiva. En ausencia de fuerza aplicada, la carga se deslizará hacia abajo por el plano y requiere algo de fuerza positiva (cuesta arriba) para mantenerla inmóvil.

Ventaja mecánica usando potencia.

Clave: N = Fuerza normal que es perpendicular al plano, W=mg, donde m = masa , g = gravedad y θ ( theta ) = Ángulo de inclinación del avión

La ventaja mecánica de un plano inclinado es la relación entre el peso de la carga en la rampa y la fuerza requerida para subirla por la rampa. Si la energía no se disipa ni se almacena en el movimiento de la carga, entonces esta ventaja mecánica se puede calcular a partir de las dimensiones de la rampa.

Para mostrar esto, supongamos que la posición r de un vagón a lo largo de la rampa con un ángulo, θ , por encima de la horizontal esté dada por

${\displaystyle \mathbf {r} =R(\cos \theta ,\sin \theta ),}$

donde R es la distancia a lo largo de la rampa. La velocidad del auto por la rampa ahora es

${\displaystyle \mathbf {v} =V(\cos \theta ,\sin \theta ).}$

Como no hay pérdidas, la potencia utilizada por la fuerza F para mover la carga hacia arriba por la rampa es igual a la potencia de salida, que es la elevación vertical del peso W de la carga.

La potencia de entrada que empuja el automóvil hacia la rampa está dada por

${\displaystyle P_{\mathrm {in} }=FV,\!}$

y el corte de energía es

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=\mathbf {W} \cdot \mathbf {v} =(0,W)\cdot V(\cos \theta ,\sin \theta )=WV\sin \theta .}$

Iguale la potencia entrante con la potencia saliente para obtener la ventaja mecánica como

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

La ventaja mecánica de un plano inclinado también se puede calcular a partir de la relación entre la longitud de la rampa L y su altura H, porque el seno del ángulo de la rampa está dado por

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {H}{L}},}$

por lo tanto,

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {L}{H}}.}$

Disposición del sistema de accionamiento de cables para el plano inclinado de Liverpool Minard.

Ejemplo: Si la altura de una rampa es H = 1 metro y su longitud es L = 5 metros, entonces la ventaja mecánica es

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=5,}$

lo que significa que una fuerza de 20 lb levantará una carga de 100 lb.

El plano inclinado Liverpool Minard tiene unas dimensiones de 1804 metros por 37,50 metros, lo que proporciona una ventaja mecánica de

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=1804/37.50=48.1,}$

por lo que una fuerza de tensión de 100 lb sobre el cable levantará una carga de 4810 lb. La pendiente de esta inclinación es del 2%, lo que significa que el ángulo θ es lo suficientemente pequeño como para que sen θ≈tan θ.

Ver también

• Plano inclinado del canal
• Grado (pendiente)
• Ferrocarril de plano inclinado
• Función de rampa
• Schiefe Ebene
• Escaleras

Referencias

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enlaces externos

• Una simulación interactiva del plano inclinado de Física.