Función de rampa

Función por partes que limita su entrada a no negativa

Gráfica de la función rampa

La función rampa es una función real unaria , cuyo gráfico tiene forma de rampa . Puede expresarse mediante numerosas definiciones, por ejemplo, "0 para entradas negativas, la salida es igual a la entrada para entradas no negativas". El término "rampa" también se puede utilizar para otras funciones obtenidas mediante escalado y desplazamiento , y la función de este artículo es la función rampa unitaria (pendiente 1, comenzando en 0).

En matemáticas, la función rampa también se conoce como parte positiva .

En el aprendizaje automático , se lo conoce comúnmente como función de activación ReLU ^{[1] [2]} o rectificador en analogía con la rectificación de media onda en ingeniería eléctrica . En estadística (cuando se usa como función de verosimilitud ) se lo conoce como modelo Tobit .

Esta función tiene numerosas aplicaciones en matemáticas e ingeniería y recibe distintos nombres según el contexto. Existen variantes diferenciables de la función rampa.

Definiciones

La función rampa ( R ( x ) : R → R ₀ ⁺ ) se puede definir analíticamente de varias maneras. Las posibles definiciones son:

• Una función por partes : $${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• Usando la notación de corchetes de Iverson : o $${\displaystyle R(x):=x\cdot [x\geq 0]}$$ $${\displaystyle R(x):=x\cdot [x>0]}$$
• La función máxima : $${\displaystyle R(x):=\max(x,0)}$$
• La media de una variable independiente y su valor absoluto (una línea recta con gradiente unitario y su módulo): esto se puede derivar observando la siguiente definición de max( a , b ) , para la cual a = x y b = 0 $${\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}$$ $${\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}$$
• La función escalón de Heaviside multiplicada por una línea recta con gradiente unitario: $${\displaystyle R\left(x\right):=xH(x)}$$
• La convolución de la función escalón de Heaviside consigo misma: $${\displaystyle R\left(x\right):=H(x)*H(x)}$$
• La integral de la función escalón de Heaviside: ^[3] $${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi }$$
• Soportes Macaulay : $${\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }$$
• La parte positiva de la función identidad : $${\displaystyle R:=\operatorname {id} ^{+}}$$
• Como función límite: $${\displaystyle R\left(x\right):=\lim _{a\to \infty }{\begin{cases}{\frac {1}{a}},\quad x=0\\{\dfrac {x}{1-e^{-ax}}},\quad x\neq 0\end{cases}}}$$

Se podría aproximar tanto como se desee eligiendo un valor positivo creciente . ${\displaystyle a>0}$

Aplicaciones

La función rampa tiene numerosas aplicaciones en ingeniería, como por ejemplo en la teoría del procesamiento de señales digitales .

Pago y ganancias por la compra de una opción de compra .

En finanzas , el pago de una opción de compra es una rampa (desplazada por el precio de ejercicio ). Al invertir horizontalmente una rampa se obtiene una opción de venta , mientras que al invertirla verticalmente (tomar el valor negativo) se obtiene una opción de venta o una posición "corta". En finanzas, la forma se denomina " palo de hockey ", debido a que es similar a un palo de hockey sobre hielo .

Un par de funciones de bisagra reflejadas con un nudo en x=3,1

En estadística , las funciones bisagra de los splines de regresión adaptativa multivariada (MARS) son rampas y se utilizan para construir modelos de regresión .

Propiedades analíticas

No negatividad

En todo el dominio la función es no negativa, por lo que su valor absoluto es ella misma, es decir y $${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geq 0}$$ $${\displaystyle \left|R(x)\right|=R(x)}$$

Prueba

por la media de la definición 2, es no negativo en el primer cuarto y cero en el segundo; por lo tanto en todas partes es no negativo.

Derivado

Su derivada es la función escalonada de Heaviside : $${\displaystyle R'(x)=H(x)\quad {\mbox{for }}x\neq 0.}$$

Segunda derivada

La función rampa satisface la ecuación diferencial: donde δ ( x ) es el delta de Dirac . Esto significa que R ( x ) es una función de Green para el operador de segunda derivada. Por lo tanto, cualquier función, f ( x ) , con una segunda derivada integrable, f ″( x ) , satisfará la ecuación: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),}$$ $${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\,ds\quad {\mbox{for }}a<x<b.}$$

Transformada de Fourier

$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big \{}R(x){\big \}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}\,dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},}$$donde δ ( x ) es el delta de Dirac (en esta fórmula aparece su derivada ).

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace unilateral de R ( x ) se da de la siguiente manera, ^[4] $${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big \{}R(x){\big \}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$$

Propiedades algebraicas

Invariancia de iteración

Cada función iterada del mapeo de rampa es en sí misma, como $${\displaystyle R{\big (}R(x){\big )}=R(x).}$$

Prueba

$${\displaystyle R{\big (}R(x){\big )}:={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}=R(x).}$$Esto aplica la propiedad no negativa.

Véase también

• Modelo de Tobit
• Rectificador (redes neuronales)

Referencias

1. Brownlee, Jason (8 de enero de 2019). "Una introducción sencilla a la unidad lineal rectificada (ReLU)". Maestría en aprendizaje automático . Consultado el 8 de abril de 2021 .
2. Liu, Danqing (30 de noviembre de 2017). "Una guía práctica para ReLU". Medium . Consultado el 8 de abril de 2021 .
3. Weisstein, Eric W. "Función rampa". MathWorld .
4. "La transformada de Laplace de funciones". lpsa.swarthmore.edu . Consultado el 5 de abril de 2019 .