Filtro de paso total

Filtro de procesamiento de señales

Un filtro de paso total es un filtro de procesamiento de señales que deja pasar todas las frecuencias por igual en ganancia, pero cambia la relación de fase entre las distintas frecuencias. La mayoría de los tipos de filtro reducen la amplitud (es decir, la magnitud) de la señal que se les aplica para algunos valores de frecuencia, mientras que el filtro de paso total permite el paso de todas las frecuencias sin cambios en el nivel.

Aplicaciones comunes

Una aplicación común en la producción de música electrónica es el diseño de una unidad de efectos conocida como " phaser ", donde varios filtros pasa-todo se conectan en secuencia y la salida se mezcla con la señal sin procesar.

Esto se logra variando su desplazamiento de fase en función de la frecuencia. Generalmente, el filtro se describe por la frecuencia en la que el desplazamiento de fase cruza los 90° (es decir, cuando las señales de entrada y salida entran en cuadratura  , cuando hay un cuarto de longitud de onda de retardo entre ellas).

Generalmente se utilizan para compensar otros cambios de fase no deseados que surgen en el sistema, o para mezclar con una versión no desplazada del original para implementar un filtro de peine de muesca .

También pueden utilizarse para convertir un filtro de fase mixta en un filtro de fase mínima con una respuesta de magnitud equivalente o un filtro inestable en un filtro estable con una respuesta de magnitud equivalente.

Implementación analógica activa

^[1]

Implementación utilizando un filtro de paso bajo

Un filtro paso todo base de amplificador operacional que incorpora un filtro paso bajo.

El circuito amplificador operacional que se muestra en la figura adyacente implementa un filtro pasatodo activo unipolar que incluye un filtro pasabajos en la entrada no inversora del amplificador operacional. La función de transferencia del filtro está dada por:

${\displaystyle H(s)=-{\frac {s-{\frac {1}{RC}}}{s+{\frac {1}{RC}}}}={\frac {1-sRC}{1+sRC}},\,}$

que tiene un polo en -1/RC y un cero en 1/RC (es decir, son reflejos entre sí a través del eje imaginario del plano complejo ). La magnitud y la fase de H(iω) para alguna frecuencia angular ω son

${\displaystyle |H(i\omega )|=1\quad {\text{and}}\quad \angle H(i\omega )=-2\arctan(\omega RC).\,}$

El filtro tiene una magnitud de ganancia unitaria para todos los ω. El filtro introduce un retardo diferente en cada frecuencia y alcanza la cuadratura de entrada a salida en ω=1/RC (es decir, el desfase es de 90°). ^[2]

Esta implementación utiliza un filtro de paso bajo en la entrada no inversora para generar el cambio de fase y la retroalimentación negativa .

• A altas frecuencias , el capacitor está en cortocircuito , creando un amplificador inversor (es decir, un desplazamiento de fase de 180°) con ganancia unitaria.
• A bajas frecuencias y CC , el capacitor es un circuito abierto, lo que crea un búfer de voltaje de ganancia unitaria ( es decir, sin cambio de fase).
• En la frecuencia de esquina ω=1/RC del filtro de paso bajo (es decir, cuando la frecuencia de entrada es 1/(2πRC)), el circuito introduce un desplazamiento de 90° (es decir, la salida está en cuadratura con la entrada; la salida parece estar retrasada un cuarto de período con respecto a la entrada).

De hecho, el cambio de fase del filtro pasa todo es el doble del cambio de fase del filtro pasa bajo en su entrada no inversora.

La interpretación como aproximación de Padé a un retardo puro

La transformada de Laplace de un retardo puro viene dada por

${\displaystyle e^{-sT},}$

donde es el retraso (en segundos) y es la frecuencia compleja. Esto se puede aproximar utilizando un aproximador de Padé , de la siguiente manera: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{-sT}={\frac {e^{-sT/2}}{e^{sT/2}}}\approx {\frac {1-sT/2}{1+sT/2}},}$

donde el último paso se logró mediante una expansión en serie de Taylor de primer orden del numerador y el denominador. Al establecer, recuperamos lo anterior. ${\displaystyle RC=T/2}$ ${\displaystyle H(s)}$

Implementación utilizando filtro de paso alto

Un filtro paso todo base de amplificador operacional que incorpora un filtro paso alto.

El circuito amplificador operacional que se muestra en la figura adyacente implementa un filtro pasatodo activo unipolar que incluye un filtro pasaaltos en la entrada no inversora del amplificador operacional. La función de transferencia del filtro está dada por:

${\displaystyle H(s)={\frac {s-{\frac {1}{RC}}}{s+{\frac {1}{RC}}}},\,}$^[3]

que tiene un polo en -1/RC y un cero en 1/RC (es decir, son reflejos entre sí a través del eje imaginario del plano complejo ). La magnitud y la fase de H(iω) para alguna frecuencia angular ω son

${\displaystyle |H(i\omega )|=1\quad {\text{and}}\quad \angle H(i\omega )=\pi -2\arctan(\omega RC).\,}$

El filtro tiene una magnitud de ganancia unitaria para todos los ω. El filtro introduce un retardo diferente en cada frecuencia y alcanza la cuadratura de entrada a salida en ω=1/RC (es decir, el adelanto de fase es de 90°).

Esta implementación utiliza un filtro de paso alto en la entrada no inversora para generar el cambio de fase y la retroalimentación negativa .

• A altas frecuencias , el capacitor está en cortocircuito , creando así un búfer de voltaje de ganancia unitaria ( es decir, sin adelanto de fase).
• A bajas frecuencias y CC , el capacitor es un circuito abierto y el circuito es un amplificador inversor (es decir, con adelanto de fase de 180°) con ganancia unitaria.
• En la frecuencia de esquina ω=1/RC del filtro pasaaltos (es decir, cuando la frecuencia de entrada es 1/(2πRC)), el circuito introduce un adelanto de fase de 90° (es decir, la salida está en cuadratura con la entrada; la salida parece estar adelantada un cuarto de período con respecto a la entrada).

De hecho, el cambio de fase del filtro pasa todo es el doble del cambio de fase del filtro pasa alto en su entrada no inversora.

Implementación controlada por voltaje

La resistencia se puede reemplazar con un FET en su modo óhmico para implementar un desfasador controlado por voltaje; el voltaje en la compuerta ajusta el desfase. En la música electrónica, un desfasador generalmente consta de dos, cuatro o seis de estas secciones de desfase conectadas en tándem y sumadas con la original. Un oscilador de baja frecuencia ( LFO ) aumenta el voltaje de control para producir el sonido característico de silbido.

Implementación analógica pasiva

La ventaja de implementar filtros de paso total con componentes activos como amplificadores operacionales es que no requieren inductores , que son voluminosos y costosos en los diseños de circuitos integrados . En otras aplicaciones donde los inductores están fácilmente disponibles, los filtros de paso total se pueden implementar completamente sin componentes activos. Hay varias topologías de circuitos que se pueden utilizar para esto. Los siguientes son los circuitos más utilizados.

Filtro de rejilla

Un filtro de paso total que utiliza topología de red

El ecualizador de fase reticular , o filtro , es un filtro compuesto de secciones reticulares o en X. Con ramas de un solo elemento puede producir un cambio de fase de hasta 180°, y con ramas resonantes puede producir cambios de fase de hasta 360°. El filtro es un ejemplo de una red de resistencia constante (es decir, su impedancia de imagen es constante en todas las frecuencias).

Filtro de sección en T

El ecualizador de fase basado en la topología T es el equivalente no balanceado del filtro de red y tiene la misma respuesta de fase. Si bien el diagrama del circuito puede parecer un filtro de paso bajo, es diferente en el sentido de que las dos ramas del inductor están acopladas entre sí. Esto da como resultado una acción de transformador entre los dos inductores y una respuesta de paso total incluso a alta frecuencia.

Filtro de sección en T con puente

La topología en T en puente se utiliza para la ecualización de retardo, en particular el retardo diferencial entre dos líneas terrestres que se utilizan para transmisiones de sonido estereofónico . Esta aplicación requiere que el filtro tenga una respuesta de fase lineal con la frecuencia (es decir, retardo de grupo constante ) en un ancho de banda amplio y es la razón por la que se eligió esta topología.

Implementación digital

Una implementación de transformada Z de un filtro de paso total con un polo complejo en es ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{-1}-{\overline {z_{0}}}}{1-z_{0}z^{-1}}}\ }$

que tiene un cero en , donde denota el conjugado complejo . El polo y el cero se encuentran en el mismo ángulo pero tienen magnitudes recíprocas (es decir, son reflejos entre sí a través del límite del círculo unitario complejo ). La ubicación de este par polo-cero para un determinado se puede rotar en el plano complejo en cualquier ángulo y conservar su característica de magnitud de paso total. Los pares polo-cero complejos en los filtros de paso total ayudan a controlar la frecuencia en la que se producen los cambios de fase. ${\displaystyle 1/{\overline {z_{0}}}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

Para crear una implementación de paso total con coeficientes reales, el filtro de paso total complejo se puede conectar en cascada con un filtro de paso total que sustituye a , lo que conduce a la implementación de la transformada Z ${\displaystyle {\overline {z_{0}}}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{-1}-{\overline {z_{0}}}}{1-z_{0}z^{-1}}}\times {\frac {z^{-1}-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z^{-1}}}={\frac {z^{-2}-2\Re (z_{0})z^{-1}+\left|{z_{0}}\right|^{2}}{1-2\Re (z_{0})z^{-1}+\left|z_{0}\right|^{2}z^{-2}}},\ }$

que es equivalente a la ecuación diferencial

${\displaystyle y[k]-2\Re (z_{0})y[k-1]+\left|z_{0}\right|^{2}y[k-2]=x[k-2]-2\Re (z_{0})x[k-1]+\left|z_{0}\right|^{2}x[k],\,}$

donde es la salida y es la entrada en un paso de tiempo discreto . ${\displaystyle y[k]}$ ${\displaystyle x[k]}$ ${\displaystyle k}$

Los filtros como el anterior se pueden combinar con filtros inestables o de fase mixta para crear un filtro estable o de fase mínima sin cambiar la respuesta de magnitud del sistema. Por ejemplo, mediante la elección adecuada de , un polo de un sistema inestable que se encuentra fuera del círculo unitario se puede cancelar y reflejar dentro del círculo unitario. ${\displaystyle z_{0}}$

Véase también

• Ecualizador de retardo T en puente
• Ecualizador de fase de red
• Fase mínima
• Transformada de Hilbert
• Filtro de paso alto
• Filtro de paso bajo
• Filtro de eliminación de banda
• Filtro de paso de banda
• Red de retardo de celosía

Referencias

1. Amplificadores operacionales para todos, Ron Mancini, Newnes 780750677011
2. Maheswari, LK; Anand, MMS, Electrónica analógica , págs. 213-214, PHI Learning, 2009 ISBN  9788120327221 .
3. Williams, AB; Taylor, FJ, Manual de diseño de filtros electrónicos , McGraw-Hill, 1995 ISBN 0070704414 , pág. 10.7. 

Enlaces externos

• JOS@Stanford sobre los filtros de paso total
• Circuito cambiador de fase ECE 209, pasos de análisis para un circuito cambiador de fase analógico común.
• filter-solutions.com: filtros de paso total