Red de retardo de celosía

Las redes de retardo de celosía son un subgrupo importante de redes de celosía . Son filtros de paso total , por lo que tienen una respuesta de amplitud plana, pero una respuesta de fase que varía linealmente (o casi linealmente) con la frecuencia. Todos los circuitos reticulares, independientemente de su complejidad, se basan en el esquema que se muestra a continuación, que contiene dos impedancias en serie, Za, y dos impedancias en derivación, Zb. Aunque hay duplicación de impedancias en esta disposición, ofrece gran flexibilidad al diseñador del circuito de modo que, además de su uso como red de retardo (como se muestra aquí) se puede configurar para ser un corrector de fase, ^[1] una red dispersiva , ^[2] un ecualizador de amplitud, ^[3] o un filtro de paso bajo (o paso de banda), ^[4] según la elección de los componentes de los elementos de la red.

Se muestra en redes Lattice que cuando una red se configura como red de retardo, tiene una impedancia característica que es resistiva (= Ro), sus impedancias Za y Zb son impedancias duales , es decir, Za·Zb = Ro ² (o Za/ Ro = Ro/Zb) y Za y Zb constan de inductores y condensadores. Dicha red es una red de resistencia constante y un filtro de paso total , y tiene una respuesta de fase determinada por las propiedades de Za. Esto lo hace ideal como dispositivo de retardo porque puede incluirse en una cascada de otras secciones de filtro sin afectar la respuesta de amplitud general, ni creará problemas de desajuste, pero aumentará la pendiente de fase (es decir, el retardo) del conjunto general. .

Para lograr el retraso deseado, es necesario elegir componentes específicos para Za y Zb, y los métodos de diseño para hacerlo se dan en secciones posteriores. Sin embargo, independientemente del método utilizado, las redes sólo logran un retraso constante en una banda finita de frecuencias, por lo que si se requiere un aumento en el ancho de banda y/o el retraso, se necesitan soluciones más complejas para Za y Zb.
Normalmente, Za y Zb son impedancias de elementos agrupados , adecuadas para redes que funcionan en frecuencias de audio o vídeo, pero también es posible el funcionamiento hasta vhf e incluso uhf. A veces, los procedimientos de diseño pueden dar lugar a que Za y Zb sean redes muy complicadas, pero siempre es posible derivar una cascada de redes más simples con características eléctricas idénticas, ^[4] si así se prefiere.

Una sección de retardo de celosía tiene el doble de retraso que una sección de filtro de escalera comparable, y esto ayuda a mitigar las preocupaciones sobre la duplicación de componentes. En cualquier caso, una configuración reticular se puede convertir en un equivalente no balanceado, lo que reducirá el número de componentes y permitirá cierta relajación de las tolerancias de los componentes. ^[5] En consecuencia, las secciones de retardo de red, o sus equivalentes de circuitos en T puenteados , pueden proporcionar retardos de tiempo sustanciales en una forma física compacta y hacen un uso eficiente de su ancho de banda operativo. Aunque existen otras formas de lograr retrasos en la señal, como mediante una longitud larga de cable coaxial o mediante redes en escalera de elementos agrupados , dichas soluciones tienen un mayor volumen físico, o hacen un uso ineficiente de una banda de frecuencia, o tienen una mala fase. linealidad.

Métodos de diseño para retrasos de celosía.

Inicialmente, los diseños de retardos de red se basaron en la teoría de la imagen ^{[4] [6]} en la que el objetivo era simular una longitud finita de línea de transmisión. Posteriormente, se introdujeron métodos de síntesis de redes .

Una respuesta comúnmente elegida para la red de retardo es la característica de retardo de grupo máximamente plano . ^[7] Esta respuesta de retardo no tiene ondulaciones y es perfectamente suave sobre la banda de paso, desviándose únicamente del valor medio cuando se alcanza el borde de la banda. Inicialmente, se podría pensar que dicha respuesta es ideal para una red de retardo, pero no es necesariamente la más eficiente y, para lograr un ancho de banda más amplio, para un retardo determinado, se requiere una red de orden superior. Sin embargo, también es posible algún aumento en el ancho de banda, sin aumentar la complejidad del circuito, considerando características alternativas, donde se permite que las respuestas de retardo de fase y de grupo fluctúen dentro de la banda de paso ^[8] . ^[9]

Hay varios procedimientos de diseño disponibles mediante los cuales se puede lograr una aproximación de fase lineal deseada, ya sea máximamente plana o con ondulación. Estos métodos incluyen técnicas de la teoría de la imagen, el método del potencial analógico y la expansión de Taylor de un retardo de grupo, todos los cuales se describen en las siguientes secciones.

En situaciones donde una red balanceada no es apropiada, se requiere un circuito de un solo extremo que funcione con un plano de tierra. En tales casos, se lleva a cabo la conversión de una red en un circuito en T puenteado , como se describe en el artículo Red de red . La red desequilibrada resultante tiene las mismas características eléctricas que la red reticular equilibrada en la que se basa. En una sección posterior se ofrece un ejemplo de este procedimiento.

Redes derivadas de la teoría de la imagen.

Una característica de línea de retardo ideal tiene atenuación constante y variación de fase lineal, con la frecuencia, es decir, puede expresarse como

${\displaystyle T(p)=e^{-p\tau }}$

donde τ es el retraso requerido.

Como se muestra en las redes reticulares , los brazos en serie de la red, za, están dados por

${\displaystyle z_{a}={\frac {1}{z_{b}}}={\frac {1-T(p)}{1+T(p)}}\qquad {\text{so}}\qquad z_{a}={\frac {1-e^{-p\tau }}{1+e^{-p\tau }}}=\tanh \left({\frac {p\tau }{2}}\right)}$

De manera más general, para circuitos reticulares que tienen un retardo τ segundos, con una impedancia característica Zo, las expresiones para Za y Zb vienen dadas por ^[4] ${\displaystyle Z_{a}=Z_{0}\tanh \left({\frac {p\tau }{2}}\right)\quad {\text{and}}\quad Z_{b}=Z_{0}\coth \left({\frac {p\tau }{2}}\right)\quad {\text{ where }}\quad Z_{a}\cdot Z_{b}=Z_{0}^{2}}$

Como e ^{− x} y tanh( x ) no son funciones racionales , no son posibles soluciones exactas para z _a y z _b , por lo que se debe utilizar alguna forma de aproximación.

Aproximación de fracción continua

Una expansión fraccionaria continua de tanh( x ) ^{[1] [4] [10] [11]} es

${\displaystyle \tanh(x)={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\cdots }}}}}}}}}$

Entonces, para una red con un retraso de 1 segundo, se puede escribir z _a

${\displaystyle z_{a}(p)=\tanh \left({\frac {p}{2}}\right)={\cfrac {1}{1\cdot {\cfrac {2}{p}}+{\cfrac {1}{3\cdot {\cfrac {2}{p}}+{\cfrac {1}{5\cdot {\cfrac {2}{p}}+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}$

Una solución exacta requiere un número infinito de términos, pero se obtiene una aproximación de enésimo orden terminando z _a después de n elementos. (Si el último componente retenido es un condensador, el resto de la red se sustituye por un cortocircuito). Así, por ejemplo, terminar esta expresión después de seis términos dará un retraso de sexto orden, que puede sintetizarse directamente mediante los métodos de Cauer ^{[4] [11]} para dar la red mostrada.

Se puede encontrar fácilmente un circuito para z _b a partir de esta solución, ya que es el dual de z _a y es

Aunque este circuito de z _b fue fácil de derivar, no es necesariamente el más ideal. Si finalmente se requiere un circuito equivalente desequilibrado de la red, sería mejor si z _b comenzara con un inductor en serie (consulte Redes de red ). Para hacer esto, primero es necesario multiplicar la expansión fraccionaria continua para z _a , para este ejemplo, dar z _a (y z _b en particular) como una razón de polinomios en p. Esto es

${\displaystyle z_{a}(p)={\frac {24p^{5}+10080p^{3}+332640p}{p^{6}+840p^{4}+75600p^{2}+665280}}={\frac {1}{z_{b}(p)}}}$

y para la expansión alternativa Cauer I se procede de la siguiente manera

${\displaystyle z_{b}={\frac {1}{42}}p+Z_{1}(p)\quad {\text{where}}\quad Y_{1}(p)={\frac {1}{Z_{1}(p)}}={\frac {42p^{5}+10080p^{3}+332640p}{600p^{4}+67680p^{2}+665280}}}$

${\displaystyle Y_{1}(p)={\frac {42}{600}}p+Y_{2}(p)\quad {\text{where}}\quad Z_{2}(p)={\frac {1}{Y_{2}(p)}}={\frac {600p^{4}+67680p^{2}+665280}{5342.4p^{3}+286070.4p}}}$

y así sucesivamente, hasta obtener la red que se muestra a continuación.

Más adelante en la sección de ejemplos se consideran más detalles de los circuitos reticulares que utilizan estas impedancias.

Ahora, como se muestra en Redes de celosía , la función de transferencia de esta celosía está dada por

${\displaystyle T(p)={\frac {1-z_{a}}{1+z_{a}}}}$

entonces

${\displaystyle T(p)={\frac {p^{6}-42p^{5}+840p^{4}-10080p^{3}+75600p^{2}-332640p+665280}{p^{6}+42p^{5}+840p^{4}+10080p^{3}+75600p^{2}+332640p+665280}}}$

A partir de esto, se puede calcular el gráfico de fase para esta función de paso total de sexto orden y se muestra a continuación.

Esta respuesta es la misma que la del retardo máximo plano que se deriva en una sección posterior. (De hecho, las derivaciones de z _a mediante el método de fracción continua dan como resultado una familia de redes, todas las cuales tienen una característica de retardo de grupo máximamente plana). El gráfico de error de fase (es decir, la desviación de la respuesta respecto de lo lineal) de esta respuesta se puede encontrar en la sección sobre redes de retardo máximamente planas , donde se dan las respuestas de redes de varios órdenes.

Redes derivadas mediante el método analógico potencial.

El método analógico potencial fue propuesto por Darlington ^[12] como una forma sencilla de elegir posiciones de polo cero para redes de retardo. El método permite al diseñador implementar una característica de retardo ubicando los polos y el cero en el plano de frecuencia complejo de manera intuitiva, sin la necesidad de matemáticas complicadas o el recurso a tablas de referencia.

Otros métodos analógicos, que fueron ideados para ayudar al diseñador a elegir las posiciones polares cero para sus redes, incluyen el "modelo de lámina de goma" ^{[13] [14]} y el "tanque electrolítico". ^{[15] [16]} y artículo de Teledeltos ^[17]

El procedimiento de Darlington comienza considerando el campo entre las dos placas de un condensador de placas paralelas. El campo es uniforme dentro de las placas y sólo se desvía de lo lineal más allá de los extremos de las placas. Para aumentar la longitud sobre la cual el campo es uniforme, se aumenta la longitud de las placas según sea necesario. El siguiente paso es reemplazar las placas uniformes por filamentos cargados uniformemente espaciados, que dan el mismo campo, pero pueden dar como resultado un "error de granularidad" (u ondulación). Finalmente, la red eléctrica equivalente se obtiene reemplazando las cargas localizadas del filamento por polos y ceros, donde la característica de retardo de grupo corresponde al campo eléctrico en el potencial análogo.

Una disposición típica de polos y ceros para dar, nominalmente, un circuito eléctrico con retardo de grupo constante sigue el patrón que se muestra en la figura siguiente (ver también Stewart ^[1] ). Los polos y los ceros se encuentran en dos líneas, de longitud finita, paralelas al eje jω a una distancia 'a' de él. Además, están separados a una distancia 'b' entre sí en la dirección jω.

En general, Darlington demostró que el retraso de grupo y el efecto de granularidad están dados por

${\displaystyle {\text{GD}}=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {2\pi }{b}}\pm {\frac {4\pi }{b}}\exp \left(-{\frac {2\pi a}{b}}\right)\cos \left({\frac {2\pi \omega }{b}}\right)}$

Una buena aproximación a una característica de retardo unitario se obtiene poniendo a = b = 2 π (un valor que se recuerda fácilmente). Sin embargo, la ondulación del retardo (granularidad) que resulta, cuando se utilizan estos valores de a y b, es bastante alta, ±8% y una mejor opción para a es 4,4 (= 1,4 π ), lo que le da a una ondulación una ondulación más baja de ±2,5. %. Los gráficos que se muestran a continuación son para redes con un número creciente de polos y ceros, para a = 4,4 y b = 2 π . El orden 'n' corresponde al número de pares polo-cero presentes en la red.

Para frecuencias más allá del final del patrón de polo cero, el retardo de grupo sufre un error de truncamiento, pero el rendimiento del borde de banda de una característica se puede mejorar reposicionando ligeramente los polos y ceros externos, para compensar esta terminación repentina del patrón. Darlington analiza esto en su artículo. ^[12]

Las redes se pueden realizar como una cascada de redes de segundo orden (o sus equivalentes en T puenteada) asignando un cuadrilátero complejo conjugado de polos y ceros a cada sección de la cascada (como se describe en Redes de celosía ). El ejemplo actual no tiene un par polo-cero ubicado en el eje real, por lo que no se requiere una red de primer orden.

Redes con una característica de retardo de grupo máximamente plana

La expresión general para la función de transferencia de una red de filtro de paso bajo viene dada por

${\displaystyle T(p)={\frac {1}{p^{n}+ap^{n-1}+bp^{n-2}+cp^{n-3}+dp^{n-4}+\cdots }}}$

La característica de retardo de grupo para esta expresión se puede derivar como una expansión en serie de potencias en ω alrededor de la frecuencia cero (es decir, una serie de MacLaurin ). Esto se describe como una característica máximamente plana cuando tantos como sea posible de los coeficientes de ω en la serie de potencias equivalen a cero, mediante la elección adecuada de valores para a , b , c , d , etc. ^{[7] [18] [19 ]} Al derivar esta característica, se presta poca atención a la respuesta de amplitud resultante del filtro de paso bajo. (De hecho, se aproxima a una forma gaussiana).

El retardo de tiempo para una red de paso bajo, de orden n , con las características requeridas para ser máximamente plana viene dado por

${\displaystyle t_{d}=-{\frac {d\phi }{d\omega }}=t_{0}{\frac {b_{0}+b_{1}\omega ^{2}+b_{2}\omega ^{4}+\cdots +b_{n-1}\omega ^{2n-1}}{b_{0}+b_{1}\omega ^{2}+b_{2}\omega ^{4}+\cdots +b_{n-1}\omega ^{2n-1}+b_{n}\omega ^{2n}}}}$

donde los primeros (n-1) coeficientes del denominador son iguales a los coeficientes correspondientes del numerador. En este caso, cuando se deriva la serie de MacLaurin para t _d , dividiendo el denominador entre el numerador, el resultado es:

${\displaystyle t_{d}=t_{0}\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{0}}}\omega ^{2n}+{\frac {b_{1}b_{n}}{b_{0}^{2}}}\omega ^{2n+2}-\cdots \right)}$

con las primeras ( n  − 1 ) derivadas de t _d (consideradas como una función de ω ² ) en ω  = 0 todas iguales a cero. En esta expresión particular, la respuesta máximamente plana es de orden  n .

Con la característica máximamente plana, el retraso permanece constante, igual al valor de frecuencia cero, en un rango finito de frecuencias, pero más allá de este rango el retraso disminuye suavemente al aumentar la frecuencia. Las redes de orden superior tienen un ancho de banda más amplio.

Las redes de paso total se obtienen cuando se introducen ceros en la mitad derecha del plano de frecuencia complejo, en ubicaciones que son imágenes especulares de los polos de la izquierda. Tal procedimiento resuelve el problema de las malas respuestas de banda de paso de los filtros de paso bajo, con la ventaja adicional de que las redes resultantes tienen la propiedad de resistencia constante. La respuesta general para el circuito de paso total con retardo máximo plano está dada por

${\displaystyle T(p)={\frac {p^{n}-ap^{n-1}+bp^{n-2}-cp^{n-3}+dp^{n-4}-ep^{n-5}+\cdots }{p^{n}+ap^{n-1}+bp^{n-2}+cp^{n-3}+dp^{n-4}+ep^{n-5}+\cdots }}}$

La introducción de ceros de esta manera proporciona el doble de retardo que un filtro de paso bajo omnipolar, pero la característica de fase aún conserva la característica máximamente plana deseada. El circuito se puede realizar como una red de celosía única o una cascada de celosías de bajo orden, como se muestra más adelante en algunos ejemplos, como en las redes de celosía .

Como ejemplo de cómo se produce una derivación típica, considere una función de filtro de paso bajo de sexto orden. Su función de transferencia T ( p ) está dada por

${\displaystyle T(p)={\frac {1}{p^{6}+ap^{5}+bp^{4}+cp^{3}+dp^{2}+ep+f}}}$

El objetivo es determinar valores para a , b , c , d , e y f de modo que el retardo de grupo de la función sea máximamente plano.

${\displaystyle {\text{Now }}\quad T(j\omega )={\frac {1}{(f-d\omega ^{2}+b\omega ^{4}-\omega ^{6})+j\omega (e-c\omega ^{2}+a\omega ^{4})}}}$

Y la respuesta de fase de la función es φ , donde

${\displaystyle \phi =\arg(t)=\arctan \left[{\frac {\omega (e-c\omega ^{2}+a\omega ^{4})}{f-d\omega ^{2}+b\omega ^{4}-\omega ^{6}}}\right]}$

dónde

${\displaystyle u=\omega (e-c\omega ^{2}+a\omega ^{4}\qquad {\text{so}}\quad {\frac {du}{d\omega }}=e-3c\omega ^{2}+5a\omega ^{4}}$

y

${\displaystyle v=f-d\omega ^{2}+b\omega ^{4}-\omega ^{6}\qquad {\text{so}}\quad {\frac {dv}{d\omega }}=-2d\omega +4b\omega ^{3}-6\omega ^{6}}$

El retraso del grupo es

${\displaystyle {\text{GD}}=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {1}{u^{2}+v^{2}}}\left(v{\frac {du}{d\omega }}-u{\frac {dv}{d\omega }}\right)}$

Al insertar las expresiones para u y v y reorganizarlas se obtiene la siguiente ecuación para el retardo de grupo. Tenga en cuenta que, en este punto, el retraso del grupo se duplica, de modo que los resultados se aplicarán a una red de paso total de sexto orden, en lugar de a la red de paso bajo. Así tenemos

${\displaystyle GD_{\text{all-pass}}={\frac {2[ef+(de-3cf)\omega ^{2}+(cd+5af-3ad)\omega ^{4}+(5e+bc-3ad)\omega ^{6}+(ab-3c)\omega 8+a\omega ^{10}}{f^{2}+(e^{2}-2df)\omega ^{2}+(d^{2}+2bf-2Ce)\omega ^{4}+(c^{2}+2ae-2f-2bd)\omega ^{6}+(2d+b^{2}-2ac)\omega ^{8}+(a^{2}-2b)}}}$

Al elegir GD = 1 cuando ω  = 0 y equiparar coeficientes en el numerador y denominador, se obtienen seis relaciones para las seis incógnitas a , b , c , d , e y f , que son:

${\displaystyle 2ef=f^{2}\qquad 2(de-3cf)=e^{2}-2df\qquad 2(cd+5af-3be)=d^{2}+2bf-2ce}$

${\displaystyle 2(5e+bc-3ad)=c^{2}+2ae-2f-2bd\qquad 2(ab-3c)=2d+b^{2}-2ac\qquad 2a=a^{2}-2b}$

Resolver estas seis ecuaciones para las incógnitas da

${\displaystyle a=42;\quad b=840;\quad c=10080;\quad d=75600;\quad e=332640;\quad f=665280}$

Entonces, el filtro de paso total de sexto orden con un retardo máximo plano de 1 segundo. es

${\displaystyle T(p)={\frac {p^{6}-42p^{5}+840p^{4}-10080p^{3}+75600p^{2}-33260p+665280}{p^{6}+42p^{5}+840p^{4}+10080p^{3}+75600p^{2}+33260p+665280}}}$

Esta expresión para T ( p ) es idéntica a la derivada anteriormente, para un retraso de sexto orden, mediante el método de fracción continua.

Se puede utilizar un procedimiento similar para determinar las funciones de transferencia de redes de todos los órdenes, que tienen un retardo de tiempo máximo fijo, aunque el procedimiento resulta tedioso para los órdenes superiores. Una forma más conveniente de derivar los coeficientes de los polinomios es observar que se basan en polinomios de Bessel y que los coeficientes para redes todo paso vienen dados por ^{[20] [21]}

${\displaystyle a_{r}={\frac {(2N-r)!}{2^{N-r}r!(N-r)!}}}$

Alternativamente, los valores se pueden obtener mediante la inspección de tablas publicadas. ^{[7] [18] [19] [22] [23]} Tenga en cuenta, sin embargo, que los resultados en la mayoría de estas tablas son para redes de paso bajo normalizadas (redes de todos los polos) con un retraso de 1 segundo, por lo que se utiliza el coeficiente dado Los valores directamente en una expresión de paso total darán como resultado un circuito con un retraso de 2 segundos.

A continuación se proporciona una selección de resultados, para redes de paso total de orden par con n = 2 a 12. Por motivos de brevedad, los polinomios no se dan completos, sólo se enumeran los coeficientes.

Para estos resultados, considere que T ( p ) tiene la forma ${\displaystyle T(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}.}$

En el polinomio denominador D ( p ), todos los coeficientes son positivos, mientras que en el polinomio numerador N ( p ), se toman los valores negativos para los coeficientes, siempre que se indique.

norte = 2 1; ±6·12n
= 4·1; ±20; 180; ±840; 1680
n = 6 1; ±42; 840; ±10080; 75600; ±332640; 665280n
= 81; ±72; 2520; ±55440; 831600; ±8648640; 60540480; ±259459200; 518918400n
= 101; ±110; 5940; ±20592; 504504; ±90810720; 1210809600; ±11762150400; 79394515200 ±335221286400 670442572800
n = 12 1; ±156; 12012; ±600600; 21621600; ±588107520; 12350257920; ±2001132771840; 2514159648000 ±23465490048000; 154872234316800; ±647647525324800; 1295295050649600

Las ubicaciones del polo y del cero en el plano de frecuencia complejo para estas respuestas, obtenidas mediante factorización de los polinomios, son las siguientes.

n = 2 ±3,0 ±j1,7321
n = 4 ±5,7924 ±j1,7345 ±4,2076 ±j5,2548
n = 6 ±8,4967 ±j1,7350 ±7,4714 ±j5,2525 ±5,0319 ±j8,9854
n = 8 ±11,1758 ±j1.7352 ±10.4097 ±j5.2324 ±8.7366 ±j8.8289 ±5.6780 ±j12.7078
n = 10 ±13.8441 ±j1.7353 ±13.2306 ±j5.2231 ±11.9351 ±j8.770 ±9.77244 ±j12.450 0 ± 6,2178 ±j16,4654
n = 12 ±16,4864 ±j1,8777 ±16,0337 ±j5,1567 ±14,9063 ±j8,7335 ±13,2282 ±j12,3580 ±10,6595 ±j16,1017 ±6,6859 ±j20,2489

En la figura adjunta se muestran los gráficos de error de fase (es decir, la desviación de la respuesta de fase respecto de la lineal) para redes de orden par de n = 2 a 12.

Todas las características de retardo se pueden realizar como una red de celosía única o como una cascada de celosías de segundo orden asignando un grupo simétrico (quad) de dos polos y dos ceros a cada celosía de segundo orden en la red, y usando el Relaciones dadas en la red Lattice . Consulte 'Ejemplos de circuitos reticulares', a continuación, para obtener más información sobre la realización de circuitos.

Redes de retardo con ondulación de fase de banda de paso

La respuesta máximamente plana no es muy eficiente. Tiene una excelente característica de fase lineal dentro de su banda de paso operativa, pero se necesitan redes grandes y complejas para obtener grandes retrasos. Sin embargo, al permitir que la respuesta de fase fluctúe dentro de la banda de paso, una red de un orden específico puede lograr un ancho de banda más amplio (o más retraso para un ancho de banda determinado).

El nivel permitido de ondulación de retardo (o ondulación de fase) introducido por un circuito depende en gran medida de la aplicación en la que se utiliza la red. ^[24] En situaciones en las que la fidelidad de la forma de onda o del pulso es importante, la ondulación permitida es sólo pequeña. En el caso de las formas de onda de la televisión analógica, por ejemplo, el contenido de la imagen también influye en los niveles aceptables de distorsión del sistema. (Con las imágenes de televisión, la ondulación de fase producirá efectos similares a la "imagen fantasma" o la recepción de trayectorias múltiples, donde se superponen múltiples imágenes de bajo nivel a la imagen principal. También el "timbre" después de los bordes transitorios es otro resultado de la fase no lineal. La aceptabilidad de la degradación de la imagen a menudo depende de la escena que se muestra). Wheeler, utilizando el método de "ecos emparejados", sugirió que una ondulación de fase de 0,1 rads, pp (o 6 grados, pp) era tolerable en las señales de televisión. ^[25] Otros escritores sugieren que se permite una fluctuación del retraso grupal de un pequeño porcentaje. ^[26] Al juzgar la distorsión permitida, se pueden establecer límites a la asimetría de la forma de onda, el nivel de sobreimpulsos y predisparos, y la degradación del tiempo de subida, y esto se analiza en la sección sobre 'Pruebas transitorias' más adelante.

Redes de retardo derivadas de una onda de Chebyshev

Ulbrich et al. han calculado y publicado detalles de las posiciones polares para redes de paso bajo que tienen retardo de grupo con una característica de "ondulación de Chebyshev" a través de la banda de paso, para varios órdenes de filtro y varios niveles de ondulación. ^[8] y por MacNee. ^[27] Las tablas siguientes, basadas en estos datos, corresponden a redes de paso total. Un filtro de un orden determinado puede lograr más retardo y/o ancho de banda si se permite una mayor ondulación de fase de banda de paso.

Posición de polo cero para redes de paso total con retardo medio unitario y ondulación de retardo de grupo del 1%:

n = 2 ±2,759 ±j1,959
n = 4 ±3,902 ±j2,300 ±3,118 ±j6,698
n = 6 ±4,424 ±j2,539 ±4,176 ±j7,500 ±3,260 ±j12,092
n = 8 ±4,690 ±j2.681 ±4.588 ±j7.985 ±4.285 ±j13.089 ±3.324 ±j17.772
n = 10 ±4.667 ±j2.693 ±4.618 ±j8.049 ±4.493 ±j13.303 ±4.185 ±j18.432 ± 3,245 ±j22,931

Posición de polo cero para redes de paso total con retardo medio unitario y ondulación de retardo de grupo del 2 %:

n = 2 ±2,619 ±j1,958
n = 4 ±3,635 ±j2,380 ±2,958 ±j6,909
n = 6 ±3,965 ±j2,620 ±3,778 ±j7,741 ±3,029 ±j12,466
n = 8 ±4,204 ±j2.739 ±4.127 ±j8.164 ±3.895 ±j13.398 ±3.099 ±j18.189
n = 10 ±4.213 ±j2.829 ±4.178 ±j8.459 ±4.086 ±j13.997 ±3.854 ±j19.319 ± 3,078 ±j24,176

Posición de polo cero para redes de paso total con retardo medio unitario y ondulación de retardo de grupo del 5 %:

n = 2 ±2,427 ±j2,087
n = 4 ±3,090 ±j2,525 ±2,615 ±j7,308
n = 6 ±3,248 ±j2,731 ±3,141 ±j8,095 ±2,640 ±j13,042
n = 8 ±4,690 ±j2,681 ±4,588 ±j7,985 ±4,285 ±j13,089 ±3,324 ±j17,772

Posición de polo cero para redes de paso total con retardo medio unitario y ondulación de retardo de grupo del 10 %:

n = 2 ±2,187 ±j2,222
n = 4 ±2,459 ±j2,739 ±2,195 ±j7,730

Una red de retardo puede estar compuesta convenientemente por una cascada de redes reticulares de segundo orden, asignando un cuadrete de polos y ceros, de las tablas anteriores, a cada sección. Más adelante se considerará un ejemplo de una red de cuarto orden, con una fluctuación del retardo de grupo del 10%.

Retrasar la fluctuación mediante el uso de infinitas aproximaciones de productos

Una forma alternativa de ondulación de retardo de grupo, preferible a la ondulación de Chebyshev de igual amplitud, tiene ondulaciones de baja amplitud a bajas frecuencias pero ondulaciones de amplitud creciente a medida que aumenta la frecuencia. Esta característica es más deseable que la de Chebyshev porque los errores de fase son pequeños en frecuencias bajas (donde el espectro de una forma de onda típica tiene un alto contenido de energía) pero pueden ser altos en frecuencias más altas (donde el contenido de energía del espectro es menor). .

Se obtiene una característica de ondulación adecuada tomando aproximaciones en series de potencias de sinh(x) y cosh(x), ^{[1] [10]} en lugar de derivar la expansión fraccionaria continua de tanh(x), como se hizo anteriormente. Normalmente, con este procedimiento, la ondulación de la característica de fase se desvía ±5% del valor medio (lineal).

Estos resultados son similares a los obtenidos por el 'Método de Ondulación Forzada', ^{[9] [28]} donde se emplea una técnica de ajuste de curvas, en un número finito de frecuencias de la respuesta de fase.

Para redes normalizadas (Zo = 1) con retardo de tiempo unitario, las ecuaciones para za y zb se pueden escribir

${\displaystyle z_{a}=\tanh \left({\frac {p}{2}}\right)={\frac {\sinh(p/2)}{cosh(p/2)}}\qquad {\text{and}}\qquad z_{b}=\coth \left({\frac {p}{2}}\right)={\frac {\cosh(p/2)}{sinh(p/2)}}}$

sinh( x ) y cosh( x ) se pueden representar mediante productos infinitos, ^{[1] [10]} y estos son

${\displaystyle \sinh(x)=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)\qquad {\text{and}}\qquad \cosh(x)=\prod _{k=1}^{\infty }\left[1+{\frac {4.x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right]}$

Entonces, para una red de retardo unitario

${\displaystyle z_{a}={\frac {p}{2}}{\frac {\left(1+{\frac {p^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{16.\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{36\pi ^{2}}}\right)\cdots }{\left(1+{\frac {p^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{25\pi ^{2}}}\right)\cdots }}}$

Terminar la serie después de un número finito de términos proporciona una aproximación de ancho de banda limitado para un retraso de 1 segundo. Entonces, por ejemplo, una expresión que incluya términos hasta p ⁴ dará una red de retardo de cuarto orden. En este caso, z _a es

${\displaystyle z_{a}=K_{4}{\frac {4\pi ^{2}p+p^{3}}{9\pi ^{4}+10.\pi ^{2}p^{2}+p^{4}}}\qquad {\text{where}}\qquad K_{4}={\frac {1\times 9\times \pi ^{2}}{2\times 4}}={\frac {9.\pi ^{2}}{8}}}$

que se puede realizar como una red en escalera utilizando el procedimiento de Cauer, ^[4] para dar el siguiente circuito para z _a . Como antes, la red dual, zb _, se obtiene fácilmente mediante inspección.

Como ya se indicó, la función de transferencia de una red de celosía todo paso normalizada está dada por

${\displaystyle T(p)={\frac {1-z_{a}}{1+z_{a}}}}$

entonces, para la red de cuarto orden que contiene la impedancia za, derivada de las expansiones en serie de potencias, es

${\displaystyle T(p)={\frac {p^{4}-K_{4}p^{3}+80\pi ^{2}p^{2}-K_{4}.4\pi ^{2}p+9\pi ^{4}}{p^{4}+K_{4}p^{3}+80.\pi ^{2}p^{2}+K_{4}\cdot 4\pi ^{2}p+9\pi ^{4}}}\qquad {\text{where}}\qquad K_{4}={\frac {9\pi ^{2}}{8}}}$

Tiene una característica de magnitud de paso total, con la respuesta de fase que se muestra en la figura siguiente.

A continuación se proporciona una colección de resultados para redes de orden par con n = 2 a 10. (Al igual que con los resultados dados anteriormente, los polinomios no se presentan completos, solo se enumeran los coeficientes).

En estos resultados, se enumeran los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador. Para el denominador, D(p), todos los coeficientes son positivos, mientras que para el numerador, N(p), los valores negativos se toman donde se indica. ${\displaystyle T(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}}$

norte = 2 1; ± _K2 ; π ²      donde K ₂ = π ² /2
n = 4 1; ± _K4 ; 80π2 ;^​ ±4π ² .K ₄ ; 9π ⁴      donde K ₄ = 1×9π ² /2×4 = 9π ² /8
n = 6 1; ± _K6 ; 35π2 ;^​ ± ^20π2.K6 ;​_​ 259π4 ;^​ ± ^64π2.K6 ;​_​ 225π ⁶      donde K ₆ = 1×9×25×π ² /2×4×16 = 225π ² /128
n = 8 1; ± _K8 ; 84π2 ;^​ ± _56π2.K8 ; 1974π4 ;^​ ± ^784π4.K8 ;​_​ 12916π6 ;^​ ± ^2304π6.K8 ;​_​ 11025π ⁸      donde K ₈ = 1×9×25×49π ² /2×4×16×36 = 11025π ² /4608
n = 10 1; ± _K10 ; 165π2 ;^​ ± ^120π2.K10 ;​_​ 8778π4 ;^​ ± ^4368π4.K10 ;​_​ 172810π6  ;^​ ± ^52480π6.K10 ;​^​ 1057221π8 ;^​ ± ^{147456π8.K10} ;​_​ 893025π ¹⁰      donde K ₁₀ = 1×9×25×49×81π ² /2×4×16×36×64 = 893025π ² /294912

Las ubicaciones del polo y del cero en el plano de frecuencia complejo para estas respuestas son las siguientes.

n = 2 ±2.4674 ±j1.9446
n = 4 ±2.08573 ±j6.999720 ±3.46592 ±j2.10266
n = 6 ±1.65372 ±j12.92985 ±2.95253 ±j7.141180 ±4.06821 ±j2.18380
n = 8 ± 1.39164 ±j19.08424 ±2.39805 ±j13.00016 ±3.51463 ±j7.234452 ±4.50223 ±j2.23670
n = 10 ±1.22048 ±j25.3044 ±2.03964 ±j19.12346 ±2.90618 ±j13.05263 ±3 .93447 ±j7.30403 ± 4,84234 ±j2,27510

En la figura adjunta se representan las respuestas de error de fase para las redes de orden par de n = 2 a n = 10.

Comparando los anchos de banda de las redes con ondulación de banda de paso con aquellas con una respuesta máximamente plana, se logra un aumento de aproximadamente el 50%.

Comparando tres redes

Como ejemplo, considere el rendimiento de una red de retardo máximo plano de sexto orden con dos redes de cuarto orden, una con ondulación de Chebyshev y otra que utiliza la aproximación de series de potencias. La siguiente figura compara los gráficos de error de fase de estas tres redes (la línea completa es para la respuesta plana máxima, la línea de puntos y rayas para la respuesta de Chebyshev y la línea discontinua para la aproximación de la serie de potencias).

Como puede verse, las tres redes de retardo normalizado tienen un ancho de banda de fase lineal nominal de 1,6 Hz (10 rads/s).

Para comparar el rendimiento de las redes de cuarto orden con el circuito máximamente plano, es necesario utilizar formas de onda de prueba apropiadas. Por ejemplo, en el caso de señales de televisión, se pueden utilizar pulsos de seno cuadrado para este fin ^{[29] [30]}

Algunos ejemplos de circuitos de retardo de celosía.

Todas las redes que se indican a continuación están normalizadas para retardo unitario y terminaciones de un ohmio. Para escalar un retraso de τ segundos, multiplique todos los valores de C y L por τ. Para escalar para un nivel de impedancia diferente Ro, multiplique todos los valores de L por Ro y divida todos los valores de C por Ro.

Circuitos para una respuesta máximamente plana de sexto orden.

Circuitos que tienen una sola red.

El primer ejemplo muestra el circuito para un retardo máximo plano de sexto orden. Los valores de circuito para z _a y z _b para una red normalizada (con z _b el dual de z _a ) se dieron anteriormente. Sin embargo, en este ejemplo se utiliza la versión alternativa de z _b , de modo que se puede producir fácilmente una alternativa desequilibrada. El circuito es

donde los valores de los componentes para una red normalizada de 1 ohmio, con un retraso de 1 segundo en bajas frecuencias, son:

L1 = ½ = 0,5 C1 = 1/6 = 0,16667 L2 = 1/10 = 0,1
C2 = 1/14 = 0,07143 L3 = 1/19 = 0,05556 C3 = 1/22 = 0,04545
y
L4' = 0,02381 C4' = 0,070 L5 ' = 0,11231
C5' = 0,15027 L6' = 0,19104 C6' = 0,2797

Utilizando los procedimientos de las redes Lattice , esto se puede convertir a una forma desequilibrada, para dar

Circuitos con cascada de celosías de bajo orden.

A menudo es deseable descomponer una red en una cascada de redes de orden inferior, porque las tolerancias de los componentes se pueden relajar.

Para llevar a cabo el procedimiento, tome los tres conjuntos de datos de polo cero de la tabla para funciones máximamente planas, para n = 6, y utilice los métodos en Redes de celosía.

xA = 8,4967 yA = 1,7350 xB = 7,4714 yB = 5,2525 xC = 5,0319 yC = 8,9854

Entonces, para la red A
C1A = 1/2.xA = 0.05885 = L2A y L1A = 2.xA/(xA ² + yA ² ) = 0.2260 = C2A
Para la red B
C1B = 1/2.xB = 0.06692 = L2B y L1B = 2.xB/(xB ² + yB ² ) = 0.1791 = C2B
Para red C
C1C = 1/2.xC = 0.09937 = L2C y L1C = 2.xC/(xC ² + yC ² ) = 0.09489 = C2C

Estos valores de componentes se utilizan en el circuito que se muestra a continuación.

La característica de fase de esta cascada de tres secciones es, por supuesto, idéntica a la de la red compleja única, dada anteriormente.

Esta cascada de redes de segundo orden se puede convertir a una configuración desequilibrada mediante los métodos de redes Lattice , y se muestra el circuito resultante.

Circuitos con ondulación de fase.

Chebyshev, cuarto orden con un 10% de ondulación GD

A partir de las tablas de datos de Chebyshev, proporcionadas anteriormente, encuentre las posiciones del polo cero:

xA = 2,459 yA = 2,739 xB = 2,195 yB = 7,730

Entonces, para la red A
C1A = 1/2.xA = 0.2033 = L2A y L1A = 2.xA/(xA ² + yA ² ) = 0.3630 = C2A
Para la red B
C1B = 1/2.xB = 0.2280 = L2B y L1B = 2.xB/(xB ² + yB ² ) = 0,06799 = C2

Entonces use estos valores en el circuito a continuación.

Circuito para la aproximación de ondulación forzada de cuarto orden

A partir de las tablas de aproximación del producto de potencia proporcionadas anteriormente, encuentre las posiciones del polo cero:

xA = 3,4659 yA = 2,1027 xB = 2,0857 yB = 6,9997

Entonces, para la red A
C1A = 1/2.xA = 0.1443 = L2A y L1A = 2.xA/(xA ² + yA ² ) = 0.4218 = C2A
Para la red B
C1B = 1/2.xB = 0.2397 = L2B y L1B = 2.xB/(xB ² + yB ² ) = 0,07820 = C2B

Utilice estos valores en el circuito que se muestra arriba.

Ambas redes de cuarto orden se pueden convertir a forma desequilibrada utilizando los procedimientos de redes Lattice.

Ver también

• Ecualizador de retardo T puenteado
• Ecualizador de fase reticular

Referencias

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