Transporte paralelo

Sistema de vectores móviles en geometría diferencial

Transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle cerrado (de A a N a B y de regreso a A) sobre la esfera. El ángulo con el que gira, , es proporcional al área dentro del bucle. ${\displaystyle \alpha }$

En geometría diferencial , el transporte paralelo (o traslación paralela ^[a] ) es una forma de transportar datos geométricos a lo largo de curvas suaves en una variedad . Si la variedad está equipada con una conexión afín (una derivada covariante o una conexión en el fibrado tangente ), entonces esta conexión permite transportar vectores de la variedad a lo largo de curvas de modo que permanezcan paralelos con respecto a la conexión.

El transporte paralelo para una conexión proporciona, por tanto, una forma de, en cierto sentido, mover la geometría local de una variedad a lo largo de una curva: es decir, de conectar las geometrías de puntos cercanos. Puede haber muchas nociones de transporte paralelo disponibles, pero una especificación de una forma de conectar las geometrías de puntos en una curva equivale a proporcionar una conexión . De hecho, la noción habitual de conexión es el análogo infinitesimal del transporte paralelo. O, viceversa , el transporte paralelo es la realización local de una conexión.

Como el transporte paralelo proporciona una realización local de la conexión, también proporciona una realización local de la curvatura conocida como holonomía . El teorema de Ambrose-Singer hace explícita esta relación entre la curvatura y la holonomía.

Otras nociones de conexión también vienen equipadas con sus propios sistemas de transporte paralelo. Por ejemplo, una conexión de Koszul en un fibrado vectorial también permite el transporte paralelo de vectores de la misma manera que con una derivada covariante. Una conexión de Ehresmann o Cartan proporciona una elevación de curvas desde la variedad hasta el espacio total de un fibrado principal . Tal elevación de curvas a veces puede considerarse como el transporte paralelo de sistemas de referencia .

Transporte paralelo de vectores tangentes

Sea una variedad suave . Para cada punto , hay un espacio vectorial asociado llamado espacio tangente de en . Los vectores en se consideran como los vectores tangentes a en . Una métrica de Riemann en asigna a cada uno un producto interno positivo definido de manera suave. Una variedad suave dotada de una métrica de Riemann es una variedad de Riemann , denotada . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (M,g)}$

Sea que las coordenadas estándar sean la métrica euclidiana, que viene dada por ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle g^{\text{euc}}}$

${\displaystyle g^{\text{euc}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}}$. ^[2]

El espacio euclidiano es la variedad de Riemann . ${\displaystyle (\mathbf {R} ^{n},g^{\text{euc}})}$

En el espacio euclidiano, todos los espacios tangentes se identifican canónicamente entre sí mediante la traslación, por lo que es fácil mover vectores de un espacio tangente a otro. El transporte paralelo de vectores tangentes es una forma de mover vectores de un espacio tangente a otro a lo largo de una curva en el contexto de una variedad general de Riemann. Nótese que, si bien los vectores están en el espacio tangente de la variedad, es posible que no estén en el espacio tangente de la curva a lo largo de la cual se transportan.

Una conexión afín en una variedad de Riemann es una forma de diferenciar campos vectoriales con respecto a otros campos vectoriales. Una variedad de Riemann tiene una elección natural de conexión afín llamada conexión de Levi-Civita . Dada una conexión afín fija en una variedad de Riemann, existe una forma única de realizar transporte paralelo de vectores tangentes. ^[3] Diferentes elecciones de conexiones afines conducirán a diferentes sistemas de transporte paralelo.

Definición precisa

Sea M una variedad con una conexión afín ∇ . Entonces se dice que un campo vectorial X es paralelo si para cualquier campo vectorial Y , ∇ _Y X = 0 . Intuitivamente hablando, los campos vectoriales paralelos tienen todas sus derivadas iguales a cero y, por lo tanto, en cierto sentido son constantes . Al evaluar un campo vectorial paralelo en dos puntos x e y , se obtiene una identificación entre un vector tangente en x y uno en y . Se dice que dichos vectores tangentes son transportes paralelos entre sí.

Más precisamente, si γ  : I → M es una curva suave parametrizada por un intervalo [ a , b ] y ξ ∈ T _x M , donde x = γ ( a ) , entonces un campo vectorial X a lo largo de γ (y en particular, el valor de este campo vectorial en y = γ ( b ) ) se denomina transporte paralelo de ξ a lo largo de γ si

1. ∇ _{γ′ ( t )} X = 0 , para todo t ∈ [ a , b ]
2. X _{γ ( a )} = ξ .

Formalmente, la primera condición significa que X es paralela con respecto a la conexión de pullback en el fibrado de pullback γ ^∗ T M . Sin embargo, en una trivialización local es un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales , que tiene una solución única para cualquier condición inicial dada por la segunda condición (por ejemplo, por el teorema de Picard–Lindelöf ).

El transporte paralelo de al espacio tangente a lo largo de la curva se denota por . El mapa ${\displaystyle X\in T_{\gamma (s)}M}$ ${\displaystyle T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:T_{\gamma (s)}M\to T_{\gamma (t)}M}$

es lineal. De hecho, es un isomorfismo. Sea la curva inversa . Entonces es la inversa de . ${\displaystyle {\overline {\gamma }}:[0,1]\to M}$ ${\displaystyle {\overline {\gamma }}(t)=\gamma (1-t)}$ ${\displaystyle \Gamma ({\overline {\gamma }})_{t}^{s}}$ ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}}$

En resumen, el transporte paralelo proporciona una forma de mover vectores tangentes a lo largo de una curva utilizando la conexión afín para mantenerlos "apuntando en la misma dirección" en un sentido intuitivo, y esto proporciona un isomorfismo lineal entre los espacios tangentes en los dos extremos de la curva. El isomorfismo obtenido de esta manera dependerá en general de la elección de la curva. Si no es así, entonces el transporte paralelo a lo largo de cada curva se puede utilizar para definir campos vectoriales paralelos en M , lo que solo puede suceder si la curvatura de ∇ es cero.

Un isomorfismo lineal está determinado por su acción sobre una base o marco ordenado . Por lo tanto, el transporte paralelo también puede caracterizarse como una forma de transportar elementos del fibrado de marco (tangente) GL( M ) a lo largo de una curva. En otras palabras, la conexión afín proporciona una elevación de cualquier curva γ en M a una curva γ̃ en GL( M ) .

Ejemplos

Las imágenes a continuación muestran el transporte paralelo inducido por la conexión de Levi-Civita asociada a dos métricas de Riemann diferentes en el plano perforado . La curva a lo largo de la cual se realiza el transporte paralelo es el círculo unitario. En coordenadas polares , la métrica de la izquierda es la métrica euclidiana estándar , mientras que la métrica de la derecha es . Esta segunda métrica tiene una singularidad en el origen, por lo que no se extiende más allá de la perforación, pero la primera métrica se extiende a todo el plano. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ ${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}}$

Transportes paralelos en el plano perforado bajo conexiones Levi-Civita

Advertencia: Se trata de un transporte paralelo en el plano perforado a lo largo del círculo unitario, no de un transporte paralelo en el círculo unitario. De hecho, en la primera imagen, los vectores quedan fuera del espacio tangente al círculo unitario.

Conexión métrica

Una conexión métrica es cualquier conexión cuyos mapeos de transporte paralelos preservan la métrica de Riemann, es decir, para cualquier curva y cualesquiera dos vectores , ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X,Y\in T_{\gamma (s)}M}$

${\displaystyle \langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.}$

Tomando la derivada en t = 0, el operador ∇ satisface una regla de producto con respecto a la métrica, a saber:

${\displaystyle Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .}$

Relación con las geodésicas

Una conexión afín distingue una clase de curvas llamadas geodésicas (afines) . ^[4] Una curva suave γ : I → M es una geodésica afín si se transporta en paralelo a lo largo de , es decir ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).\,}$

Tomando la derivada con respecto al tiempo, esto toma la forma más familiar

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.\,}$

Si ∇ es una conexión métrica, entonces las geodésicas afines son las geodésicas usuales de la geometría de Riemann y son las curvas que minimizan la distancia localmente. Más precisamente, primero note que si γ : I → M , donde I es un intervalo abierto, es una geodésica, entonces la norma de es constante en I . De hecho, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.}$

De una aplicación del lema de Gauss se deduce que si A es la norma de entonces la distancia, inducida por la métrica, entre dos puntos suficientemente cercanos en la curva γ , digamos γ ( t ₁ ) y γ ( t ₂ ), está dada por ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.}$

La fórmula anterior podría no ser cierta para puntos que no están lo suficientemente cerca, ya que la geodésica podría, por ejemplo, envolver la variedad (por ejemplo, en una esfera).

Transporte paralelo en un haz vectorial

El transporte paralelo de vectores tangentes es un caso especial de una construcción más general que implica un fibrado vectorial arbitrario . Específicamente, el transporte paralelo de vectores tangentes es el caso donde es el fibrado tangente . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM}$

Sea M una variedad suave. Sea E  →  M un fibrado vectorial con conexión ∇ y γ : I  →  M una curva suave parametrizada por un intervalo abierto I . Una sección de a lo largo de γ se llama paralela si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.\,}$

En el caso en que es el fibrado tangente donde es un campo de vectores tangentes, esta expresión significa que, para cada en el intervalo, los vectores tangentes en son "constantes" (la derivada se desvanece) cuando se realiza un desplazamiento infinitesimal desde en la dirección del vector tangente . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

Supongamos que se nos da un elemento e ₀ ∈ E _P en P = γ (0) ∈ M , en lugar de una sección. El transporte paralelo de e ₀ a lo largo de γ es la extensión de e _{0 a una} sección paralela X en γ . Más precisamente, X es la única parte de E a lo largo de γ tal que

1. ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}X=0}$
2. ${\displaystyle X_{\gamma (0)}=e_{0}.}$

Obsérvese que en cualquier zona de coordenadas dada, (1) define una ecuación diferencial ordinaria , con la condición inicial dada por (2). Por lo tanto, el teorema de Picard-Lindelöf garantiza la existencia y unicidad de la solución.

Así, la conexión ∇ define una forma de mover elementos de las fibras a lo largo de una curva, y esto proporciona isomorfismos lineales entre las fibras en puntos a lo largo de la curva:

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

del espacio vectorial que se extiende sobre γ( s ) al que se extiende sobre γ( t ). Este isomorfismo se conoce como mapa de transporte paralelo asociado a la curva. Los isomorfismos entre fibras obtenidos de esta manera dependerán, en general, de la elección de la curva: si no es así, entonces el transporte paralelo a lo largo de cada curva se puede utilizar para definir secciones paralelas de E sobre todo M . Esto solo es posible si la curvatura de ∇ es cero.

En particular, el transporte paralelo alrededor de una curva cerrada que comienza en un punto x define un automorfismo del espacio tangente en x que no es necesariamente trivial. Los automorfismos de transporte paralelo definidos por todas las curvas cerradas basadas en x forman un grupo de transformación llamado grupo de holonomía de ∇ en x . Existe una estrecha relación entre este grupo y el valor de la curvatura de ∇ en x ; este es el contenido del teorema de holonomía de Ambrose-Singer .

Recuperando la conexión desde el transporte paralelo

Dada una derivada covariante ∇, el transporte paralelo a lo largo de una curva γ se obtiene integrando la condición . Por el contrario, si se dispone de una noción adecuada de transporte paralelo, se puede obtener una conexión correspondiente mediante diferenciación. Este enfoque se debe, esencialmente, a Knebelman (1951); véase Guggenheimer (1977). Lumiste (2001) también adopta este enfoque. ${\displaystyle \scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}}$

Considérese una asignación a cada curva γ en la variedad de una colección de aplicaciones

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

de tal manera que

1. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id}$, la transformación identidad de E _γ(s) .
2. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.}$
3. La dependencia de Γ respecto de γ, s y t es "suave".

La noción de suavidad en la condición 3 es algo difícil de precisar (véase el análisis que se hace más adelante sobre el transporte paralelo en haces de fibras). En particular, autores modernos como Kobayashi y Nomizu generalmente consideran que el transporte paralelo de la conexión proviene de una conexión en algún otro sentido, donde la suavidad se expresa más fácilmente.

Sin embargo, dada una regla de este tipo para el transporte paralelo, es posible recuperar la conexión infinitesimal asociada en E de la siguiente manera. Sea γ una curva diferenciable en M con punto inicial γ(0) y vector tangente inicial X = γ′(0). Si V es una sección de E sobre γ, entonces sea

${\displaystyle \nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.}$

Esto define la conexión infinitesimal asociada ∇ en E . Se recupera el mismo transporte paralelo Γ a partir de esta conexión infinitesimal.

Generalizaciones

El transporte paralelo se puede definir con mayor generalidad para otros tipos de conexiones, no sólo las definidas en un fibrado vectorial. Una generalización es para conexiones principales (Kobayashi y Nomizu 1996, Volumen 1, Capítulo II). Sea P → M un fibrado principal sobre una variedad M con estructura grupo de Lie G y una conexión principal ω. Como en el caso de los fibrados vectoriales, una conexión principal ω sobre P define, para cada curva γ en M , una aplicación

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}}$

de la fibra sobre γ( s ) a la de γ( t ), que es un isomorfismo de espacios homogéneos : es decir para cada g ∈ G . ${\displaystyle \Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}}$

También son posibles otras generalizaciones del transporte paralelo. En el contexto de las conexiones de Ehresmann , donde la conexión depende de una noción especial de " elevación horizontal " de espacios tangentes, se puede definir el transporte paralelo mediante elevaciones horizontales . Las conexiones de Cartan son conexiones de Ehresmann con una estructura adicional que permite pensar en el transporte paralelo como una función que "rueda" un determinado espacio modelo a lo largo de una curva en la variedad. Este movimiento se denomina desarrollo .

Aproximación: La escalera de Schild

Dos peldaños de la escalera de Schild . Los segmentos A ₁ X ₁ y A ₂ X ₂ son una aproximación de primer orden del transporte paralelo de A ₀ X ₀ a lo largo de la curva.

El transporte paralelo se puede aproximar discretamente mediante la escalera de Schild , que toma pasos finitos a lo largo de una curva, y aproxima los paralelogramoides de Levi-Civita mediante paralelogramos aproximados .

Véase también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Conexión (matemáticas)
• Desarrollo (geometría diferencial)
• Conexión afín
• Derivada covariante
• Geodésica (relatividad general)
• Fase geométrica
• Derivada de Lie
• La escalera de Schild
• Paralelogramoide de Levi-Civita
• Curva paralela , de nombre similar, pero con un concepto diferente

Notas

1. En algunas fuentes como Spivak ^[1]

Citas

1. Spivak 1999, pág. 234, vol. 2, cap. 6.
2. Lee 2018, pág. 12-13.
3. Lee 2018, págs. 105-110.
4. (Kobayashi y Nomizu 1996, Volumen 1, Capítulo III)

Referencias

• Guggenheimer, Heinrich (1977), Geometría diferencial , Dover, ISBN 0-486-63433-7
• Knebelman (1951), "Espacios de paralelismo relativo", Anales de Matemáticas , 2, 53 (3), Anales de Matemáticas, vol. 53, núm. 3: 387–399, doi :10.2307/1969562, JSTOR  1969562
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial, Volumen 1 , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3; Volumen 2, ISBN 0-471-15732-5 . 
• Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Conexiones en una variedad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Spivak, Michael (1999). Introducción completa a la geometría diferencial, vol. II. Publish-or-Perish Press . ISBN 0914098713.
• Lee, John M. (2018). Introducción a las variedades de Riemann . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2.

Enlaces externos

• Demostración de geometría esférica. Una aplicación que muestra el transporte paralelo de vectores tangentes en una esfera.