En matemáticas , un número entero par , es decir, un número que es divisible por 2, se llama par o doblemente par si es múltiplo de 4, y par o simplemente par si no lo es. Los primeros nombres son tradicionales, derivados de las matemáticas de la antigua Grecia ; los segundos se han vuelto comunes en las últimas décadas.
Estos nombres reflejan un concepto básico de la teoría de números , el orden 2 de un entero: cuántas veces se puede dividir el entero por 2. En concreto, el orden 2 de un entero distinto de cero n es el valor entero máximo k tal que n /2 k es un entero. Esto es equivalente a la multiplicidad de 2 en la factorización prima .
La consideración por separado de números pares e impares es útil en muchas partes de las matemáticas, especialmente en teoría de números, combinatoria , teoría de codificación (ver códigos pares ), entre otras.
Los términos griegos antiguos «par-veces-par» ( griego antiguo : ἀρτιάκις ἄρτιος ) y «par-veces-impar» ( griego antiguo : ἀρτιάκις περισσός o ἀρτιοπέριττος ) recibieron varias definiciones no equivalentes por parte de Euclides y escritores posteriores como Nicómaco . [1] Hoy en día, existe un desarrollo estándar de los conceptos. El orden 2 u orden 2-ádico es simplemente un caso especial del orden p -ádico en un número primo general p ; consulte número p -ádico para obtener más información sobre esta amplia área de las matemáticas. Muchas de las siguientes definiciones se generalizan directamente a otros primos.
Para un entero n , el 2-orden de n (también llamado valuación ) es el número natural más grande ν tal que 2 ν divide a n . Esta definición se aplica a números positivos y negativos n , aunque algunos autores la restringen a n positivo ; y se puede definir el 2-orden de 0 como infinito (véase también paridad de cero ). [2] El 2-orden de n se escribe ν 2 ( n ) u ord 2 ( n ). No debe confundirse con el orden multiplicativo módulo 2 .
El orden 2 proporciona una descripción unificada de varias clases de números enteros definidos por su paridad:
También se puede extender el orden 2 a los números racionales definiendo ν 2 ( q ) como el único entero ν donde
y a y b son impares. Por ejemplo, los semienteros tienen un orden 2 negativo, es decir, −1. Finalmente, al definir el valor absoluto 2-ádico
Uno está en camino de construir los números 2-ádicos .
El objetivo del juego de dardos es alcanzar una puntuación de 0, de modo que el jugador con la puntuación más baja esté en una mejor posición para ganar. Al comienzo de una etapa, "más pequeño" tiene el significado habitual de valor absoluto , y la estrategia básica es apuntar a áreas de alto valor en el tablero de dardos y sumar tantos puntos como sea posible. Al final de una etapa, dado que uno necesita duplicar para ganar, el valor absoluto 2-ádico se convierte en la medida relevante. Con cualquier puntuación impar, sin importar cuán pequeño sea en valor absoluto, se necesitan al menos dos dardos para ganar. Cualquier puntuación par entre 2 y 40 se puede satisfacer con un solo dardo, y 40 es una puntuación mucho más deseable que 2, debido a los efectos de fallar.
Un error común al apuntar al doble aro es acertar en su lugar a un simple dardo y reducir accidentalmente a la mitad la puntuación. Dado un puntaje de 22 (un número par), uno tiene un tiro de juego para el doble 11. Si uno acierta un simple 11, el nuevo puntaje es 11, que es impar, y se necesitarán al menos dos dardos más para recuperarlo. Por el contrario, al disparar al doble 12, uno puede cometer el mismo error pero aún tener 3 tiros de juego seguidos: D12, D6 y D3. Generalmente, con un puntaje de n < 42 , uno tiene ν 2 ( n ) de esos tiros de juego. Es por eso que 32 = 2 5 es un puntaje tan deseable: se divide 5 veces. [4] [5]
La prueba clásica de que la raíz cuadrada de 2 es irracional se realiza mediante un descenso infinito . Por lo general, la parte descendente de la prueba se abstrae suponiendo (o demostrando) la existencia de representaciones irreducibles de números racionales . Un enfoque alternativo es explotar la existencia del operador ν 2 .
Supongamos por contradicción que
donde a y b son números naturales distintos de cero. Eleva al cuadrado ambos lados de la igualdad y aplica el operador de valoración de orden 2 ν 2 a 2 b 2 = a 2 :
Dado que las valoraciones de orden 2 son números enteros, la diferencia no puede ser igual al racional . Por contradicción, por lo tanto, √ 2 no es un racional.
Más concretamente, dado que la valoración de 2 b 2 es impar, mientras que la valoración de a 2 es par, deben ser números enteros distintos, de modo que . Un cálculo sencillo produce entonces un límite inferior de para la diferencia , lo que produce una prueba directa de irracionalidad que no se basa en la ley del tercio excluido . [6]
En topología geométrica , muchas propiedades de las variedades dependen sólo de su dimensión módulo 4 o módulo 8; por lo tanto, a menudo se estudian variedades de dimensión simplemente par y doblemente par (4 k +2 y 4 k ) como clases. Por ejemplo, las variedades de dimensión doblemente par tienen una forma bilineal no degenerada simétrica en su grupo de cohomología de dimensión media , que por lo tanto tiene una firma de valor entero . Por el contrario, las variedades de dimensión simplemente par tienen una forma bilineal no degenerada antisimétrica en su dimensión media; si se define un refinamiento cuadrático de esto a una forma cuadrática (como en una variedad enmarcada ), se obtiene el invariante Arf como un invariante módulo 2. Las variedades de dimensión impar, por el contrario, no tienen estos invariantes, aunque en la teoría de la cirugía algebraica se pueden definir invariantes más complicados. Esta periodicidad cuádruple y óctuple en la estructura de las variedades está relacionada con la periodicidad cuádruple de la teoría L y la periodicidad óctuple de la teoría K topológica real , que se conoce como periodicidad de Bott .
Si una variedad de espín suave y orientada compacta tiene dimensión n ≡ 4 mod 8 , o ν 2 ( n ) = 2 exactamente, entonces su firma es un múltiplo entero de 16. [7]
Un número par simple no puede ser un número exponencial . No puede representarse como la diferencia de dos cuadrados . Sin embargo, un número par simple puede representarse como la diferencia de dos números pronicos o de dos números exponenciales. [8]
En teoría de grupos , es relativamente sencillo [9] demostrar que el orden de un grupo finito simple no abeliano no puede ser un número par. De hecho, por el teorema de Feit-Thompson , tampoco puede ser impar, por lo que cada uno de esos grupos tiene un orden doblemente par.
La fracción continua de Lambert para la función tangente da la siguiente fracción continua que involucra los números pares positivos simples: [10]
Esta expresión conduce a representaciones similares de e . [11]
En química orgánica , la regla de Hückel , también conocida como regla 4n + 2, predice que un sistema de enlace π cíclico que contiene un número par de electrones p será aromático . [12]
Aunque el orden 2 puede detectar cuándo un número entero es congruente con 0 (mod 4) o 2 (mod 4), no puede distinguir entre 1 (mod 4) o 3 (mod 4). Esta distinción tiene algunas consecuencias interesantes, como el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados .
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