Número poderoso

Números cuyos factores primos dividen al número más de una vez

${\displaystyle {\begin{aligned}144000&=2^{7}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=2^{3}\times 2^{4}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=(2\times 5)^{3}\times (2^{2}\times 3)^{2}\end{aligned}}}$

144000 es un número poderoso.
Todos los exponentes de su factorización prima son mayores que 1.
Es el producto de un cuadrado por un cubo.

Un número potente es un entero positivo m tal que para cada número primo p que divide a m , p ² también divide a m . De manera equivalente, un número potente es el producto de un cuadrado y un cubo , es decir, un número m de la forma m = a ² b ³ , donde a y b son números enteros positivos. Los números potentes también se conocen como cuadrados completos , cuadrados completos o 2 completos . Paul Erdős y George Szekeres estudiaron dichos números y Solomon W. Golomb los denominó poderosos .

La siguiente es una lista de todos los números poderosos entre 1 y 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 0, 961, 968, 972, 1000, ... (secuencia A001694 en la OEIS ).

Números poderosos hasta 100 con factores primos codificados por colores: 1 es un caso especial

Equivalencia de las dos definiciones

Si m = a ² b ³ , entonces todo primo en la factorización prima de a aparece en la factorización prima de m con un exponente de al menos dos, y todo primo en la factorización prima de b aparece en la factorización prima de m con un exponente de al menos tres; por lo tanto, m es poderoso.

En la otra dirección, supongamos que m es potente, con factorización prima

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},}$

donde cada α _i ≥ 2. Defina γ _i como tres si α _i es impar, y cero en caso contrario, y defina β _i = α _i − γ _i . Entonces, todos los valores β _i son enteros pares no negativos, y todos los valores γ _i son cero o tres, por lo que

${\displaystyle m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}}$

proporciona la representación deseada de m como producto de un cuadrado y un cubo.

De manera informal, dada la factorización prima de m , tome b como el producto de los factores primos de m que tienen un exponente impar (si no hay ninguno, entonces tome b como 1). Como m es potente, cada factor primo con un exponente impar tiene un exponente que es al menos 3, por lo que m / b ³ es un entero. Además, cada factor primo de m / b ³ tiene un exponente par, por lo que m / b ³ es un cuadrado perfecto, por lo que lo llamaremos a ² ; entonces m = a ² b ³ . Por ejemplo:

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,}$

${\displaystyle b=2\times 3=6\,,}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.}$

La representación m = a ² b ³ calculada de esta manera tiene la propiedad de que b no tiene cuadrados y está definida únicamente por esta propiedad.

Propiedades matemáticas

La suma de los recíprocos de los números potentes converge. El valor de esta suma puede escribirse de varias maneras, incluso como el producto infinito.

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.9435964368\ldots ,}$

donde p se extiende sobre todos los primos, ζ ( s ) denota la función zeta de Riemann y ζ (3) es la constante de Apéry . ^[1] (secuencia A082695 en la OEIS ) De manera más general, la suma de los recíprocos de las s ésimas potencias de los números potentes (una función generadora de series de Dirichlet ) es igual a

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}}$

siempre que converge.

Sea k ( x ) el número de números potentes en el intervalo [1, x ]. Entonces k ( x ) es proporcional a la raíz cuadrada de x . Más precisamente,

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots }$

(Golomb, 1970).

Los dos números consecutivos más pequeños son 8 y 9. Como la ecuación de Pell x ² − 8 y ² = 1 tiene infinitas soluciones integrales, hay infinitos pares de números consecutivos poderosos (Golomb, 1970); de manera más general, se pueden encontrar números consecutivos poderosos resolviendo una ecuación de Pell similar x ² − ny ² = ±1 para cualquier cubo perfecto n . Sin embargo, uno de los dos números poderosos en un par formado de esta manera debe ser un cuadrado. Según Guy, Erdős ha preguntado si hay infinitos pares de números consecutivos poderosos tales como (23 ³ , 2 ³ 3 ² 13 ² ) en los que ninguno de los números del par es un cuadrado. Walker (1976) demostró que de hecho hay infinitos pares de este tipo al mostrar que 3 ³ c ² + 1 = 7 ³ d ² tiene infinitas soluciones. Las soluciones de Walker a esta ecuación se generan, para cualquier entero impar k , considerando el número

${\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},}$

para los números enteros a divisible por 7 y b divisible por 3, y construyendo a partir de a y b los números consecutivos poderosos 7 a ² y 3 b ² con 7 a ² = 1 + 3 b ² . El par consecutivo más pequeño de esta familia se genera para k = 1 , a = 2637362 y b = 4028637 como

${\displaystyle 7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308}$

y

${\displaystyle 3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.}$

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Pueden tres números consecutivos ser poderosos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Erdős, Mollin y Walsh conjeturan que no existen tres números consecutivos poderosos. Si existe un triplete de números consecutivos poderosos, entonces su término más pequeño debe ser congruente con 7, 27 o 35 módulo 36. [ ^2]

Si la conjetura abc es verdadera, solo hay un número finito de conjuntos de tres números poderosos consecutivos.

Sumas y diferencias de números potentes

Cualquier número impar es una diferencia de dos cuadrados consecutivos: ( k + 1) ² = k ² + 2 k + 1, por lo que ( k + 1) ²  −  k ² = 2 k + 1. De manera similar, cualquier múltiplo de cuatro es una diferencia de los cuadrados de dos números que difieren en dos: ( k + 2) ²  −  k ² = 4 k + 4. Sin embargo, un número simplemente par , es decir, un número divisible por dos pero no por cuatro, no puede expresarse como una diferencia de cuadrados. Esto motiva la cuestión de determinar qué números simplemente pares pueden expresarse como diferencias de números potentes. Golomb exhibió algunas representaciones de este tipo:

2 = 3 ³  − 5 ²

10 = 13 ³  − 3 ⁷

18 = 19 ²  - 7 ³ = 3 ⁵  - 15 ² .

Se había conjeturado que el 6 no se puede representar de esa manera, y Golomb conjeturó que hay infinitos números enteros que no se pueden representar como una diferencia entre dos números poderosos. Sin embargo, Narkiewicz demostró que el 6 se puede representar de infinitas maneras, como

6 = 5 ⁴ 7 ³  − 463 ² ,

y McDaniel demostró que cada número entero tiene infinitas representaciones de este tipo (McDaniel, 1982).

Erdős conjeturó que todo número entero suficientemente grande es una suma de como máximo tres números potentes; esto fue demostrado por Roger Heath-Brown (1987).

Generalización

De manera más general, podemos considerar los números enteros cuyos factores primos tienen exponentes al menos k . Un número entero de este tipo se denomina número k -potente, número k -completo o número k -completo.

(2k ^{+ 1}  − 1) ^k , 2k ⁽ 2k ^{+ 1}  − 1) ^k , (2k ^{+ 1}  − 1) ^{k +1}

son números k -potentes en una progresión aritmética . Además, si a ₁ , a ₂ , ..., a _s son k -potentes en una progresión aritmética con diferencia común d , entonces

a ₁ ( a _s + d ) ^k ,  

a ₂ ( a _s  +  d ) ^k , ..., a _s ( a _s  +  d ) ^k , ( a _s  +  d ) ^{k +1}

son s + 1 k -números potentes en una progresión aritmética.

Tenemos una identidad que involucra números k -potentes:

a ^k ( a ^ℓ + ... + 1) ^k + a ^{k + 1} ( a ^ℓ + ... + 1) ^k + ... + a ^{k + ℓ} ( a ^ℓ + ... + 1) ^k = a ^k ( a ^ℓ + ... +1) ^{k +1} .

Esto da una cantidad infinita de l +1-tuplas de números k -potentes cuya suma también es k -potente. Nitaj demuestra que hay una cantidad infinita de soluciones de x  +  y  =  z en números relativamente primos 3-potentes (Nitaj, 1995). Cohn construye una familia infinita de soluciones de x  +  y  =  z en números relativamente primos no cúbicos 3-potentes de la siguiente manera: el triplete

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

es una solución de la ecuación 32 X ³ + 49 Y ³ = 81 Z ³ . Podemos construir otra solución estableciendo X ′ = X (49 Y ³  + 81 Z ³ ), Y ′ = − Y (32 X ³  + 81 Z ³ ), Z ′ = Z (32 X ³  − 49 Y ³ ) y omitiendo el divisor común.

Véase también

• Número de Aquiles
• Número muy poderoso

Notas

1. (Golomb, 1970)
2. Beckon, Edward (2019). "Sobre los triples consecutivos de números poderosos". Revista de Matemáticas de Pregrado Rose-Hulman . 20 (2): 25–27.

Referencias

• Cohn, JHE (1998). "Una conjetura de Erdős sobre números 3-potentes". Matemáticas. Comp . 67 (221): 439–440. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
• Erdős, Paul y Szekeres, George (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta lit. Ciencia. Szeged . 7 : 95-102.
• Golomb, Solomon W. (1970). "Números poderosos". American Mathematical Monthly . 77 (8): 848–852. doi :10.2307/2317020. JSTOR  2317020.
• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.). Springer-Verlag. Sección B16. ISBN 978-0-387-20860-2.
• Heath-Brown, Roger (1988). "Formas cuadráticas ternarias y sumas de tres números cuadrados completos". Séminaire de Théorie des Nombres, París, 1986-7 . Boston: Birkhäuser. págs. 137–163.
• Heath-Brown, Roger (1990). "Sumas de tres números cuadrados". Teoría de números, I (Budapest, 1987) . Colloq. Math. Soc. János Bolyai, núm. 51. págs. 163–171.
• Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Una publicación de Wiley-Interscience. Nueva York, etc.: John Wiley & Sons. pp. 33–34, 407–413. ISBN 978-0-471-80634-9.Zbl 0556.10026  .
• McDaniel, Wayne L. (1982). "Representaciones de cada entero como la diferencia de números poderosos". Fibonacci Quarterly . 20 : 85–87. doi :10.1080/00150517.1982.12430037.
• Nitaj, Abderrahmane (1995). "Sobre una conjetura de Erdős sobre números 3-potentes". Bull. London Math. Soc. 27 (4): 317–318. CiteSeerX  10.1.1.24.563 . doi :10.1112/blms/27.4.317.
• Walker, David T. (1976). "Pares enteros consecutivos de números poderosos y ecuaciones diofánticas relacionadas" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 14 (2): 111–116. doi :10.1080/00150517.1976.12430562. MR  0409348.

Enlaces externos

• Número potente en Enciclopedia de Matemáticas .
• Weisstein, Eric W. "Número poderoso". MathWorld .
• La conjetura abc
• Secuencia OEIS A060355 (Números n tales que n y n+1 son un par de números consecutivos potentes)