Conectivo lógico

Símbolo que conecta fórmulas oracionales en lógica.

Diagrama de Hasse de conectivos lógicos.

En lógica , un conectivo lógico (también llamado operador lógico , conectivo oracional u operador oracional ) es una constante lógica . Los conectivos se pueden utilizar para conectar fórmulas lógicas. Por ejemplo, en la sintaxis de la lógica proposicional , el conectivo binario se puede utilizar para unir las dos fórmulas atómicas y , generando la fórmula compleja . ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\lor Q}$

Los conectivos comunes incluyen negación , disyunción , conjunción , implicación y equivalencia . En los sistemas estándar de lógica clásica , estos conectivos se interpretan como funciones de verdad , aunque reciben una variedad de interpretaciones alternativas en lógicas no clásicas . Sus interpretaciones clásicas son similares a los significados de expresiones del lenguaje natural como "not", "or", "and" y "if" en inglés , pero no idénticas. Las discrepancias entre los conectivos del lenguaje natural y los de la lógica clásica han motivado enfoques no clásicos del significado del lenguaje natural, así como enfoques que combinan una semántica compositiva clásica con una pragmática sólida .

Un conectivo lógico es similar, pero no equivalente, a una sintaxis comúnmente utilizada en lenguajes de programación llamada operador condicional . ^{[1] [ se necesita una mejor fuente ]}

Descripción general

En los lenguajes formales , las funciones de verdad se representan mediante símbolos inequívocos. Esto permite que las declaraciones lógicas no se entiendan de forma ambigua. Estos símbolos se denominan conectivos lógicos , operadores lógicos , operadores proposicionales o, en lógica clásica , conectivos veritativos . Para conocer las reglas que permiten construir nuevas fórmulas bien formadas uniendo otras fórmulas bien formadas utilizando conectivos funcionales de verdad, consulte fórmula bien formada .

Los conectivos lógicos se pueden usar para vincular cero o más declaraciones, por lo que se puede hablar de conectivos lógicos n -arios . Las constantes booleanas Verdadero y Falso pueden considerarse operadores ceroarios. La negación es un conectivo 1-ario, y así sucesivamente.

Lista de conectivos lógicos comunes

Los conectivos lógicos de uso común incluyen los siguientes. ^[2]

• Negación (no) : , , (prefijo) en el cual es el más moderno y usado, y es usado por mucha gente también; ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \sim }$
• Conjunción (y) : , , (prefijo) en la que es la más moderna y utilizada; ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \wedge }$
• Disyunción (o) : , (prefijo) en la que es la más moderna y utilizada; ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \vee }$
• Implicación (si...entonces) : , , , (prefijo) en el cual es el más moderno y más utilizado, y también lo utilizan muchas personas; ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$
• Equivalencia (si y solo si) : , , , , (prefijo) en el cual es el más moderno y ampliamente utilizado, y también puede ser una buena opción en comparación con denotar implicación como to . ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \to }$

Por ejemplo, el significado de las afirmaciones está lloviendo (denotado por ) y estoy dentro (denotado por ) se transforma cuando los dos se combinan con conectivos lógicos: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

• No está lloviendo ( ); ${\displaystyle \neg p}$
• Está lloviendo y estoy adentro ( ); ${\displaystyle p\wedge q}$
• Está lloviendo o estoy dentro de casa ( ); ${\displaystyle p\lor q}$
• Si llueve, entonces estoy adentro (); ${\displaystyle p\rightarrow q}$
• Si estoy adentro, entonces está lloviendo (); ${\displaystyle q\rightarrow p}$
• Estoy adentro si y solo si está lloviendo ( ). ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

También es común considerar conectivas la fórmula siempre verdadera y la fórmula siempre falsa .

• Fórmula verdadera : , , (prefijo) o ; ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$
• Fórmula falsa : , , (prefijo) o . ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathrm {F} }$

Historia de las notaciones

• Negación: el símbolo apareció en Heyting en 1930 ^{[3] [4]} (compárese con el símbolo ⫟ de Frege en su Begriffsschrift ^[5] ); el símbolo apareció en Russell en 1908; ^[6] una notación alternativa es agregar una línea horizontal encima de la fórmula, como en ; Otra notación alternativa es utilizar un símbolo primo como en . ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\overline {p}}}$ ${\displaystyle p'}$
• Conjunción: el símbolo apareció en Heyting en 1930 ^[3] (compárese con el uso que hace Peano de la notación de intersección teórica de conjuntos ^[7] ); el símbolo apareció al menos en Schönfinkel en 1924; ^[8] el símbolo proviene de la interpretación de Boole de la lógica como un álgebra elemental . ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle \cdot }$
• Disyunción: el símbolo apareció en Russell en 1908 ^[6] (compárese con el uso que hace Peano de la notación de unión teórica de conjuntos ); el símbolo también se utiliza, a pesar de la ambigüedad que surge del hecho de que el del álgebra elemental ordinaria es exclusivo o cuando se interpreta lógicamente en un anillo de dos elementos ; Puntualmente en la historia ha sido utilizado por Peirce un junto con un punto en la esquina inferior derecha . ^[9] ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle +}$
• Implicación: el símbolo apareció en Hilbert en 1918; ^{[10] : 76} fue utilizado por Russell en 1908 ^[6] (compárese con el de Peano Ɔ la C invertida); apareció en Bourbaki en 1954. ^[11] ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$
• Equivalencia: el símbolo en Frege en 1879; ^[12] en Becker en 1933 (no es la primera vez y para ello véase lo siguiente); ^[13] apareció en Bourbaki en 1954; ^[14] otros símbolos aparecieron puntualmente en la historia, como en Gentzen , ^[15] en Schönfinkel ^[8] o en Chazal, ^[16] ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \supset \subset }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \subset \supset }$
• Cierto: el símbolo proviene de la interpretación de Boole de la lógica como un álgebra elemental sobre el álgebra booleana de dos elementos ; otras notaciones incluyen (abreviatura de la palabra latina "verum") que se encuentra en Peano en 1889. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {V} }$
• Falso: el símbolo proviene también de la interpretación que hace Boole de la lógica como un anillo; otras notaciones incluyen (rotado ) que se encuentra en Peano en 1889. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {V} }$

Algunos autores utilizaron letras para conectivos: para conjunción ("und" en alemán para "y") y para disyunción ("oder" en alemán para "o") en las primeras obras de Hilbert (1904); ^[17] por negación, por conjunción, por negación alternativa, por disyunción, por implicación, por bicondicional en Łukasiewicz en 1929. ${\displaystyle \operatorname {u.} }$ ${\displaystyle \operatorname {o.} }$ ${\displaystyle Np}$ ${\displaystyle Kpq}$ ${\displaystyle Dpq}$ ${\displaystyle Apq}$ ${\displaystyle Cpq}$ ${\displaystyle Epq}$

Redundancia

Un conectivo lógico como la implicación inversa " " es en realidad lo mismo que el condicional material con argumentos intercambiados; por tanto, el símbolo de implicación inversa es redundante. En algunos cálculos lógicos (en particular, en la lógica clásica ), ciertos enunciados compuestos esencialmente diferentes son lógicamente equivalentes . Un ejemplo menos trivial de redundancia es la equivalencia clásica entre y . Por lo tanto, un sistema lógico de base clásica no necesita el operador condicional " " si " " (no) y " " (o) ya están en uso, o puede usar " " sólo como azúcar sintáctico para un compuesto que tiene una negación. y una disyunción. ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle \neg p\vee q}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \to }$

Hay dieciséis funciones booleanas que asocian los valores de verdad de entrada y con salidas binarias de cuatro dígitos . ^[18] Estos corresponden a posibles elecciones de conectivos lógicos binarios para la lógica clásica . Diferentes implementaciones de la lógica clásica pueden elegir diferentes subconjuntos de conectivos funcionalmente completos . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Un enfoque es elegir un conjunto mínimo y definir otros conectivos mediante alguna forma lógica, como en el ejemplo del condicional material anterior. Los siguientes son los conjuntos mínimos funcionalmente completos de operadores en lógica clásica cuyas aridades no exceden 2:

un elemento

${\displaystyle \{\uparrow \}}$, . ${\displaystyle \{\downarrow \}}$

Dos elementos

${\displaystyle \{\vee ,\neg \}}$, , , , , , , , , , , , , , , , .​ ${\displaystyle \{\wedge ,\neg \}}$ ${\displaystyle \{\to ,\neg \}}$ ${\displaystyle \{\gets ,\neg \}}$ ${\displaystyle \{\to ,\bot \}}$ ${\displaystyle \{\gets ,\bot \}}$ ${\displaystyle \{\to ,\nleftrightarrow \}}$ ${\displaystyle \{\gets ,\nleftrightarrow \}}$ ${\displaystyle \{\to ,\nrightarrow \}}$ ${\displaystyle \{\to ,\nleftarrow \}}$ ${\displaystyle \{\gets ,\nrightarrow \}}$ ${\displaystyle \{\gets ,\nleftarrow \}}$ ${\displaystyle \{\nrightarrow ,\neg \}}$ ${\displaystyle \{\nleftarrow ,\neg \}}$ ${\displaystyle \{\nrightarrow ,\top \}}$ ${\displaystyle \{\nleftarrow ,\top \}}$ ${\displaystyle \{\nrightarrow ,\leftrightarrow \}}$ ${\displaystyle \{\nleftarrow ,\leftrightarrow \}}$

Tres elementos

${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}}$, , , , , . ${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$ ${\displaystyle \{\lor ,\nleftrightarrow ,\top \}}$ ${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\bot \}}$ ${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$ ${\displaystyle \{\land ,\nleftrightarrow ,\top \}}$

Otro enfoque es utilizar con igualdad de derechos conectivos de un determinado conjunto conveniente y funcionalmente completo, pero no mínimo . Este enfoque requiere más axiomas proposicionales , y cada equivalencia entre formas lógicas debe ser un axioma o demostrable como un teorema.

La situación, sin embargo, es más complicada en la lógica intuicionista . De sus cinco conectivos, {∧, ∨, →, ¬, ⊥}, sólo la negación "¬" puede reducirse a otros conectivos (ver Falso (lógica) § Falso, negación y contradicción para obtener más información). Ni la conjunción, ni la disyunción ni el condicional material tienen una forma equivalente construida a partir de los otros cuatro conectivos lógicos.

Lenguaje natural

Los conectivos lógicos estándar de la lógica clásica tienen equivalentes aproximados en las gramáticas de los lenguajes naturales. En inglés , como en muchos idiomas, este tipo de expresiones suelen ser conjunciones gramaticales . Sin embargo, también pueden tomar la forma de complementadores , sufijos verbales y partículas . Las denotaciones de los conectivos del lenguaje natural es un tema importante de investigación en semántica formal , campo que estudia la estructura lógica de los lenguajes naturales.

Los significados de los conectivos del lenguaje natural no son exactamente idénticos a sus equivalentes más cercanos en la lógica clásica. En particular, la disyunción puede recibir una interpretación exclusiva en muchos idiomas. Algunos investigadores han tomado este hecho como evidencia de que la semántica del lenguaje natural no es clásica . Sin embargo, otros mantienen la semántica clásica al postular explicaciones pragmáticas de exclusividad que crean la ilusión de no clasicismo. En tales explicaciones, la exclusividad suele tratarse como una implicatura escalar . Los acertijos relacionados que involucran disyunción incluyen inferencias de libre elección , la restricción de Hurford y la contribución de la disyunción en preguntas alternativas .

Otras discrepancias aparentes entre el lenguaje natural y la lógica clásica incluyen las paradojas de la implicación material , la anáfora del burro y el problema de los condicionales contrafactuales . Estos fenómenos se han tomado como motivación para identificar las denotaciones de los condicionales del lenguaje natural con operadores lógicos, incluido el condicional estricto , el condicional variablemente estricto , así como varios operadores dinámicos .

La siguiente tabla muestra las aproximaciones estándar definibles clásicamente para los conectivos ingleses.

Propiedades

Algunos conectivos lógicos poseen propiedades que pueden expresarse en los teoremas que contienen el conectivo. Algunas de esas propiedades que puede tener un conectivo lógico son:

asociatividad

Dentro de una expresión que contiene dos o más conectivos asociativos iguales en una fila, el orden de las operaciones no importa siempre que no se cambie la secuencia de los operandos.

Conmutatividad

Los operandos del conectivo se pueden intercambiar, preservando la equivalencia lógica con la expresión original.

Distributividad

Un conectivo denotado por · se distribuye sobre otro conectivo denotado por +, si a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) para todos los operandos a , b , c .

Idempotencia

Siempre que los operandos de la operación sean iguales, el compuesto es lógicamente equivalente al operando.

Absorción

Un par de conectivos ∧, ∨ satisface la ley de absorción si para todos los operandos a , b . ${\displaystyle a\land (a\lor b)=a}$

monotonicidad

Si f ( a ₁ , ..., an ) ≤ f ( b ₁ , ..., b _{n )} para todo a ₁ , ..., _an , b 1 _, ..., b _n ∈ {0 ,1} tal que a ₁ ≤ b ₁ , a ₂ ≤ b ₂ , ..., a _n ≤ b _n . Por ejemplo, ∨, ∧, ⊤, ⊥.

Afinidad

Cada variable siempre marca una diferencia en el valor de verdad de la operación o nunca hace una diferencia. Por ejemplo, ¬, ↔, , ⊤, ⊥. ${\displaystyle \nleftrightarrow }$

Dualidad

Leer las asignaciones de valores de verdad para la operación de arriba a abajo en su tabla de verdad es lo mismo que tomar el complemento de leer la tabla del mismo u otro conectivo de abajo hacia arriba. Sin recurrir a tablas de verdad se puede formular como g̃ (¬ a ₁ , ..., ¬ a _n ) = ¬ g ( a ₁ , ..., a _n ) . Por ejemplo, ¬.

Preservar la verdad

El compuesto de todos esos argumentos son tautologías es una tautología en sí misma. Ej., ∨, ∧, ⊤, →, ↔, ⊂ (ver validez ).

Preservación de la falsedad

El compuesto de todos esos argumentos son contradicciones es una contradicción en sí misma. Ej., ∨, ∧, , ⊥, ⊄, ⊅ (ver validez ). ${\displaystyle \nleftrightarrow }$

Involutividad (para conectivos unarios)

f ( f ( a )) = a . Por ejemplo, la negación en la lógica clásica.

Para la lógica clásica e intuicionista, el símbolo "=" significa que las implicaciones correspondientes "...→..." y "...←..." para compuestos lógicos pueden demostrarse como teoremas, y el símbolo "≤" significa que "...→..." para compuestos lógicos es una consecuencia de los correspondientes conectivos "...→..." para variables proposicionales. Algunas lógicas multivaluadas pueden tener definiciones incompatibles de equivalencia y orden (vinculación).

Tanto la conjunción como la disyunción son asociativas, conmutativas e idempotentes en la lógica clásica, la mayoría de las variedades de lógica multivaluada y lógica intuicionista. Lo mismo ocurre con la distributividad de la conjunción sobre la disyunción y la disyunción sobre la conjunción, así como con la ley de absorción.

En la lógica clásica y algunas variedades de lógica multivaluada, la conjunción y la disyunción son duales, y la negación es autodual; esta última también es autodual en la lógica intuicionista.

Orden de precedencia

Como forma de reducir el número de paréntesis necesarios, se pueden introducir reglas de precedencia : ¬ tiene mayor precedencia que ∧, ∧ es mayor que ∨ y ∨ es mayor que →. Así, por ejemplo, es la abreviatura de . ${\displaystyle P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S}$ ${\displaystyle (P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S}$

A continuación se muestra una tabla que muestra la precedencia de operadores lógicos comúnmente utilizada. ^[19]

Sin embargo, no todos los compiladores utilizan el mismo orden; por ejemplo, también se ha utilizado un orden en el que la disyunción tiene menor prioridad que la implicación o la bi-implicación. ^[20] A veces, la precedencia entre conjunción y disyunción no se especifica, lo que requiere proporcionarla explícitamente en una fórmula determinada entre paréntesis. El orden de precedencia determina qué conectivo es el "conectivo principal" al interpretar una fórmula no atómica.

Ciencias de la Computación

Se implementa un enfoque funcional de verdad para los operadores lógicos como puertas lógicas en circuitos digitales . Prácticamente todos los circuitos digitales (la principal excepción es la DRAM ) se construyen a partir de NAND , NOR , NOT y puertas de transmisión ; ver más detalles en Función de verdad en informática . Los operadores lógicos sobre vectores de bits (correspondientes a álgebras booleanas finitas ) son operaciones bit a bit .

Pero no todos los usos de un conectivo lógico en la programación informática tienen una semántica booleana. Por ejemplo, a veces se implementa una evaluación diferida para P  ∧  Q y P  ∨  Q , por lo que estos conectivos no son conmutativos si una o ambas expresiones P , Q tienen efectos secundarios . Además, un condicional , que en cierto sentido corresponde al conectivo condicional material , es esencialmente no booleano porque, para if (P) then Q;, el consecuente Q no se ejecuta si el antecedente  P es falso (aunque un compuesto en su conjunto tiene éxito ≈ "verdadero" en tal caso). Esto está más cerca de los puntos de vista intuicionistas y constructivistas sobre el condicional material, que de los puntos de vista de la lógica clásica.

Tabla y diagrama de Hasse.

Los 16 conectivos lógicos se pueden ordenar parcialmente para producir el siguiente diagrama de Hasse . El orden parcial se define declarando que si y sólo si siempre se cumple entonces también se cumple ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Ver también

• Portal de filosofía
• Portal de psicología

• dominio booleano
• función booleana
• lógica booleana
• Función con valor booleano
• Lógica de cuatro valores
• Lista de temas de álgebra booleana
• Constante lógica
• operador modal
• Cálculo proposicional
• función de verdad
• Mesa de la verdad
• Valores de verdad

Referencias

1. Rueda dentada. "¿Cuál es la diferencia entre /operador/ lógico y condicional?". Desbordamiento de pila . Consultado el 9 de abril de 2015 .
2. Chao, C. (2023).数理逻辑：形式化方法的应用[ Lógica matemática: aplicaciones del método de formalización ] (en chino). Beijing: preimpresión. págs. 15-28.
3. Heyting, A. (1930). "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (en alemán): 42–56.
4. Denis Roegel (2002), Un breve estudio de las notaciones lógicas del siglo XX (consulte el cuadro en la página 2).
5. Frege, G. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle a/S.: Verlag von Louis Nebert. pag. 10.
6. Russell (1908) Lógica matemática basada en la teoría de tipos (American Journal of Mathematics 30, p222-262, también en De Frege a Gödel editado por van Heijenoort).
7. Peano (1889) Arithmetices principia, nova método exposita .
8. Schönfinkel (1924) Über die Bausteine ​​der mathematischen Logik , traducido como Sobre los componentes básicos de la lógica matemática en De Frege a Gödel editado por van Heijenoort.
9. Peirce (1867) Sobre una mejora en el cálculo lógico de Boole.
10. Hilbert, D. (1918). Bernays, P. (ed.). Prinzipien der Mathematik . Apuntes de conferencias en la Universität Göttingen, semestre de invierno, 1917-1918; Reimpreso como Hilbert, D. (2013). "Principios de Matemáticas". En Ewald, W.; Sieg, W. (eds.). Conferencias de David Hilbert sobre los fundamentos de la aritmética y la lógica 1917-1933 . Heidelberg, Nueva York, Dordrecht y Londres: Springer. págs. 59-221.
11. Bourbaki, N. (1954). Teoría de los conjuntos . París: Hermann & Cie, Éditeurs. pag. 14.
12. Frege, G. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (en alemán). Halle a/S.: Verlag von Louis Nebert. pag. 15.
13. Becker, A. (1933). Die Aristotelische Theorie der Möglichkeitsschlösse: Eine logisch-philologische Untersuchung der Kapitel 13-22 von Analytica priora I de Aristóteles (en alemán). Berlín: Junker und Dünnhaupt Verlag. pag. 4.
14. Bourbaki, N. (1954). Théorie des ensembles (en francés). París: Hermann & Cie, Éditeurs. pag. 32.
15. Gentzen (1934) Untersuchungen über das logische Schließen .
16. Chazal (1996): Elementos de lógica formal.
17. Hilbert, D. (1905) [1904]. "Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik". En Krazer, K. (ed.). Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker Kongresses en Heidelberg del 8 al 13 de agosto de 1904 . págs. 174-185.
18. Bocheński (1959), Resumen de lógica matemática , passim.
19. O'Donnell, John; Salón, Cordelia; Page, Rex (2007), Matemáticas discretas utilizando una computadora, Springer, p. 120, ISBN 9781846285981.
20. Jackson, Daniel (2012), Abstracciones de software: lógica, lenguaje y análisis, MIT Press, p. 263, ISBN 9780262017152.

Fuentes

• Bocheński, Józef Maria (1959), A Précis of Mathematical Logic , traducido de las ediciones francesa y alemana por Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, Holanda Meridional.
• Chao, C. (2023).数理逻辑：形式化方法的应用[ Lógica matemática: aplicaciones del método de formalización ] (en chino). Beijing: preimpresión. págs. 15-28.
• Enderton, Herbert (2001), Introducción matemática a la lógica (2ª ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3
• Gamut, LTF (1991), "Capítulo 2", Lógica, lenguaje y significado , vol. 1, University of Chicago Press, págs. 54–64, OCLC  21372380
• Rautenberg, W. (2010), Una introducción concisa a la lógica matemática (3.ª ed.), Nueva York : Springer Science+Business Media , doi :10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN 978-1-4419-1220-6.
• Humberstone, Lloyd (2011). Los Conectivos . Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-01654-4.

enlaces externos

• "Conectivo proposicional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Lloyd Humberstone (2010), "Conectivos de oraciones en lógica formal", Enciclopedia de Filosofía de Stanford (Un enfoque de lógica algebraica abstracta para los conectivos).
• John MacFarlane (2005), "Constantes lógicas", Enciclopedia de Filosofía de Stanford .