Dimensión (espacio vectorial)

Número de vectores en cualquier base del espacio vectorial

Diagrama de dimensiones 1, 2, 3 y 4.

En matemáticas , la dimensión de un espacio vectorial V es la cardinalidad (es decir, el número de vectores) de una base de V sobre su campo base . ^{[1] [2]} A veces se le llama dimensión de Hamel (en honor a Georg Hamel ) o dimensión algebraica para distinguirla de otros tipos de dimensión .

Para cada espacio vectorial existe una base, ^[a] y todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad; ^[b] como resultado, la dimensión de un espacio vectorial está definida de manera única. Decimos que es ${\displaystyle V}$de dimensión finita si la dimensión dees finita, y ${\displaystyle V}$de dimensión infinita si su dimensión esinfinita.

La dimensión del espacio vectorial sobre el campo se puede escribir como o leer como "dimensión de sobre ". Cuando se puede inferir del contexto, normalmente se escribe. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim _{F}(V)}$ ${\displaystyle [V:F],}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim(V)}$

Ejemplos

El espacio vectorial tiene como base estándar , y por lo tanto De manera más general, y aún más general, para cualquier campo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$ ${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$ ${\displaystyle F.}$

Los números complejos son a la vez un espacio vectorial real y complejo; tenemos y Entonces la dimensión depende del campo base. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.}$

El único espacio vectorial con dimensión es el espacio vectorial que consta únicamente de su elemento cero. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\},}$

Propiedades

Si es un subespacio lineal de entonces ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V).}$

Para demostrar que dos espacios vectoriales de dimensión finita son iguales, se puede utilizar el siguiente criterio: si es un espacio vectorial de dimensión finita y es un subespacio lineal de con entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$ ${\displaystyle W=V.}$

El espacio tiene la base estándar donde es la -ésima columna de la matriz identidad correspondiente . Por lo tanto, tiene dimensión ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Dos espacios vectoriales de dimensión finita cualesquiera sobre con la misma dimensión son isomorfos . Cualquier función biyectiva entre sus bases puede extenderse de forma única a una función lineal biyectiva entre los espacios vectoriales. Si es un conjunto, un espacio vectorial con dimensión sobre puede construirse de la siguiente manera: tome el conjunto de todas las funciones tales que para todos excepto un número finito en Estas funciones pueden sumarse y multiplicarse con elementos de para obtener el espacio vectorial deseado. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle f:B\to F}$ ${\displaystyle f(b)=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Un resultado importante acerca de las dimensiones lo proporciona el teorema de rango-nulidad para mapas lineales .

Si es una extensión de campo , entonces es en particular un espacio vectorial sobre Además, cada espacio vectorial - es también un espacio vectorial -. Las dimensiones están relacionadas por la fórmula En particular, cada espacio vectorial complejo de dimensión es un espacio vectorial real de dimensión ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n.}$

Algunas fórmulas relacionan la dimensión de un espacio vectorial con la cardinalidad del cuerpo base y la cardinalidad del espacio mismo. Si es un espacio vectorial sobre un cuerpo y si la dimensión de se denota por entonces: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim V,}$

Si dim es finito entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

Si dim es infinito entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V).}$

Generalizaciones

Un espacio vectorial puede considerarse como un caso particular de un matroide , y en este último existe una noción bien definida de dimensión. La longitud de un módulo y el rango de un grupo abeliano tienen varias propiedades similares a la dimensión de los espacios vectoriales.

La dimensión de Krull de un anillo conmutativo , llamada así en honor a Wolfgang Krull (1899-1971), se define como el número máximo de inclusiones estrictas en una cadena creciente de ideales primos en el anillo.

Rastro

La dimensión de un espacio vectorial puede caracterizarse alternativamente como la traza del operador identidad . Por ejemplo, Esta parece ser una definición circular, pero permite generalizaciones útiles. ${\displaystyle \operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.}$

En primer lugar, permite una definición de una noción de dimensión cuando se tiene una traza pero no un sentido natural de base. Por ejemplo, se puede tener un álgebra con aplicaciones (la inclusión de escalares, llamada unidad ) y una aplicación (que corresponde a la traza, llamada counit ). La composición es un escalar (al ser un operador lineal en un espacio unidimensional) que corresponde a "traza de identidad", y da una noción de dimensión para un álgebra abstracta. En la práctica, en las biálgebras , se requiere que esta aplicación sea la identidad, que se puede obtener normalizando la counit dividiendo por dimensión ( ), por lo que en estos casos la constante normalizadora corresponde a la dimensión. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta :K\to A}$ ${\displaystyle \epsilon :A\to K}$ ${\displaystyle \epsilon \circ \eta :K\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} }$

Alternativamente, puede ser posible tomar la traza de operadores en un espacio de dimensión infinita; en este caso se define una traza (finita), aunque no exista dimensión (finita), y da una noción de "dimensión del operador". Estos caen bajo la rúbrica de " operadores de clase de traza " en un espacio de Hilbert , o más generalmente operadores nucleares en un espacio de Banach .

Una generalización más sutil es considerar la traza de una familia de operadores como una especie de dimensión "retorcida". Esto ocurre significativamente en la teoría de la representación , donde el carácter de una representación es la traza de la representación, por lo tanto, una función de valor escalar en un grupo cuyo valor en la identidad es la dimensión de la representación, ya que una representación envía la identidad en el grupo a la matriz identidad: Los otros valores del carácter pueden verse como dimensiones "retorcidas" y encontrar análogos o generalizaciones de declaraciones sobre dimensiones a declaraciones sobre caracteres o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto ocurre en la teoría de la luz de luna monstruosa : el -invariante es la dimensión graduada de una representación graduada de dimensión infinita del grupo monstruo , y reemplazar la dimensión con el carácter da la serie McKay-Thompson para cada elemento del grupo monstruo. ^[3] ${\displaystyle \chi :G\to K,}$ ${\displaystyle 1\in G}$ ${\displaystyle \chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.}$ ${\displaystyle \chi (g)}$ ${\displaystyle j}$

Véase también

• Dimensión fractal  : proporción que proporciona un índice estadístico de variación de complejidad con escala
• Dimensión de Krull  : En matemáticas, dimensión de un anillo.
• Rango de matroide  : tamaño máximo de un conjunto independiente del matroide
• Rango (álgebra lineal)  : dimensión del espacio columna de una matriz
• Dimensión topológica  : Definición topológicamente invariante de la dimensión de un espacio Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento, también llamada dimensión de cobertura de Lebesgue

Notas

1. si se asume el axioma de elección
2. ver teorema de dimensión para espacios vectoriales

Referencias

1. Itzkov, Mikhail (2009). Álgebra tensorial y análisis tensorial para ingenieros: con aplicaciones a la mecánica del medio continuo. Springer. pág. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.
2. Axler (2015) pág. 44, §2.36
3. Gannon, Terry (2006), Moonshine más allá del monstruo: el puente que conecta el álgebra, las formas modulares y la física , Cambridge University Press, ISBN 0-521-83531-3

Fuentes

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.

Enlaces externos

• Conferencia sobre independencia, base y dimensión en Álgebra lineal del MIT a cargo de Gilbert Strang en MIT OpenCourseWare