Onda sinusoidal

Onda con forma de función seno

Si se traza el componente y de un círculo mientras se recorre el círculo, se obtiene una onda sinusoidal (roja). Si se traza el componente x, se obtiene una onda coseno (azul). Ambas ondas son sinusoides de la misma frecuencia pero con diferentes fases.

Una onda sinusoidal , onda sinusoidal o senoide (símbolo: ∿ ) es una onda periódica cuya forma de onda es la función trigonométrica seno . En mecánica , como movimiento lineal en el tiempo, se trata de un movimiento armónico simple ; como rotación , corresponde a un movimiento circular uniforme . Las ondas sinusoidales se producen a menudo en física , incluidas las ondas de viento , las ondas sonoras y las ondas de luz , como la radiación monocromática . En ingeniería , procesamiento de señales y matemáticas , el análisis de Fourier descompone las funciones generales en una suma de ondas sinusoidales de varias frecuencias, fases relativas y magnitudes.

Cuando se combinan linealmente dos ondas sinusoidales cualesquiera de la misma frecuencia (pero con una fase arbitraria ) , el resultado es otra onda sinusoidal de la misma frecuencia; esta propiedad es única entre las ondas periódicas. Por el contrario, si se elige una fase como referencia cero, una onda sinusoidal de fase arbitraria se puede escribir como la combinación lineal de dos ondas sinusoidales con fases de cero y un cuarto de ciclo, los componentes seno y coseno , respectivamente.

Ejemplo de audio

Onda sinusoidal

Cinco segundos de una onda sinusoidal de 220 Hz. Esta es la onda sonora descrita por una función seno con f = 220 oscilaciones por segundo.

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Una onda sinusoidal representa una frecuencia única sin armónicos y se considera un tono acústico puro . La suma de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias da como resultado una forma de onda diferente. La presencia de armónicos más altos además de los fundamentales provoca una variación en el timbre , que es la razón por la que el mismo tono musical tocado en diferentes instrumentos suena diferente.

Forma sinusoide

Las ondas sinusoidales de fase y amplitud arbitrarias se denominan sinusoides y tienen la forma general: ^[1] donde: $${\displaystyle y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )}$$

• ${\displaystyle A}$, amplitud , la desviación máxima de la función con respecto a cero.
• ${\displaystyle t}$, la variable independiente real , que generalmente representa el tiempo en segundos .
• ${\displaystyle \omega }$, frecuencia angular , la tasa de cambio del argumento de la función en unidades de radianes por segundo .
• ${\displaystyle f}$, frecuencia ordinaria , el número de oscilaciones ( ciclos ) que ocurren cada segundo de tiempo.
• ${\displaystyle \varphi }$, fase , especifica (en radianes ) dónde en su ciclo está la oscilación en t = 0.
  • Cuando no es cero, toda la forma de onda parece desplazarse hacia atrás en el tiempo en la cantidad de segundos. Un valor negativo representa un retraso y un valor positivo representa un avance. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\tfrac {\varphi }{\omega }}}$
  • Sumando o restando (un ciclo) a la fase se obtiene una onda equivalente. ${\displaystyle 2\pi }$

En función tanto de la posición como del tiempo

El desplazamiento de un sistema masa-resorte no amortiguado que oscila alrededor del equilibrio a lo largo del tiempo es una onda sinusoidal.

Los senos que existen tanto en posición como en tiempo también tienen:

• una variable espacial que representa la posición en la dimensión en la que se propaga la onda. ${\displaystyle x}$
• un número de onda (o número de onda angular) , que representa la proporcionalidad entre la frecuencia angular y la velocidad lineal ( velocidad de propagación ) : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v}$
  • El número de onda está relacionado con la frecuencia angular por donde ( lambda ) es la longitud de onda . ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Dependiendo de su dirección de viaje, pueden tomar la forma:

• ${\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )}$, si la onda se mueve hacia la derecha, o
• ${\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )}$, si la onda se mueve hacia la izquierda.

Dado que las ondas sinusoidales se propagan sin cambiar de forma en sistemas lineales distribuidos , ^{[ definición necesaria ]} a menudo se utilizan para analizar la propagación de ondas .

Ondas estacionarias

Cuando dos ondas con la misma amplitud y frecuencia que viajan en direcciones opuestas se superponen , se crea un patrón de onda estacionaria .

En una cuerda pulsada, las ondas superpuestas son las ondas reflejadas desde los extremos fijos de la cuerda. Las frecuencias resonantes de la cuerda son las únicas ondas estacionarias posibles, que solo se producen para longitudes de onda que son el doble de la longitud de la cuerda (que corresponde a la frecuencia fundamental ) y divisiones enteras de esta (que corresponden a armónicos superiores).

Múltiples dimensiones espaciales

La ecuación anterior proporciona el desplazamiento de la onda en una posición y en un momento a lo largo de una sola línea. Esto podría considerarse, por ejemplo, el valor de una onda a lo largo de un cable. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

En dos o tres dimensiones espaciales, la misma ecuación describe una onda plana que se propaga si la posición y el número de onda se interpretan como vectores y su producto como un producto escalar . Para ondas más complejas, como la altura de una ola de agua en un estanque después de que se haya dejado caer una piedra, se necesitan ecuaciones más complejas. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$

Onda plana sinusoidal

En física , una onda plana sinusoidal es un caso especial de onda plana : un campo cuyo valor varía en función sinusoidal del tiempo y de la distancia a un plano fijo. También se denomina onda plana monocromática, con frecuencia constante (como en la radiación monocromática ).

Análisis de Fourier

El matemático francés Joseph Fourier descubrió que las ondas sinusoidales se pueden sumar como bloques de construcción simples para aproximarse a cualquier forma de onda periódica, incluidas las ondas cuadradas . Estas series de Fourier se utilizan con frecuencia en el procesamiento de señales y el análisis estadístico de series temporales . La transformada de Fourier luego extendió las series de Fourier para manejar funciones generales y dio origen al campo del análisis de Fourier .

Diferenciación e integración

Diferenciación

La diferenciación de cualquier sinusoide con respecto al tiempo puede verse como multiplicar su amplitud por su frecuencia angular y avanzarla un cuarto de ciclo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}}$

Un diferenciador tiene un cero en el origen del plano de frecuencia complejo . La ganancia de su respuesta de frecuencia aumenta a una tasa de +20  dB por década de frecuencia (para cantidades de potencia raíz ), la misma pendiente positiva que la banda de rechazo de un filtro de paso alto de ^primer orden , aunque un diferenciador no tiene una frecuencia de corte o una banda de paso plana . Un filtro de paso alto de ^orden n aplica aproximadamente la derivada temporal n de ^las señales cuya banda de frecuencia es significativamente menor que la frecuencia de corte del filtro.

Integración

La integración de cualquier sinusoide con respecto al tiempo puede verse como dividir su amplitud por su frecuencia angular y retrasarla un cuarto de ciclo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}}$

La constante de integración será cero si los límites de integración son un múltiplo entero del período de la senoide. ${\displaystyle C}$

Un integrador tiene un polo en el origen del plano de frecuencia complejo. La ganancia de su respuesta de frecuencia cae a una tasa de -20 dB por década de frecuencia (para cantidades de potencia raíz), la misma pendiente negativa que la banda de rechazo de un filtro de paso bajo ^{de primer} orden , aunque un integrador no tiene una frecuencia de corte o una banda de paso plana. Un filtro de paso bajo ^{de orden} n realiza aproximadamente la integral temporal n ^de señales cuya banda de frecuencia es significativamente más alta que la frecuencia de corte del filtro.

Véase también

• Cresta (física)
• exponencial complejo
• Onda sinusoidal amortiguada
• Fórmula de Euler
• Transformada de Fourier
• Análisis armónico
• Serie armónica (matemáticas)
• Serie armónica (música)
• Ecuación de Helmholtz
• Fase instantánea
• Componentes en fase y en cuadratura
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Osciloscopio
• Fasor
• Tono puro
• Movimiento armónico simple
• Modelo sinusoidal
• Onda (física)
• Ecuación de onda
• ∿ el símbolo de onda sinusoidal (U+223F)

Referencias

1. Smith, Julius Orion. "Sinusoides". ccrma.stanford.edu . Consultado el 5 de enero de 2024 .

Enlaces externos

• "Onda sinusoidal". Misterios matemáticos . 2021-11-17 . Consultado el 2022-09-30 .