Integracion numerica

Métodos de cálculo de integrales definidas.

La integración numérica se utiliza para calcular una aproximación numérica del valor , el área bajo la curva definida por . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(x)}$

En análisis , la integración numérica comprende una amplia familia de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida . El término cuadratura numérica (a menudo abreviado como cuadratura ) es más o menos sinónimo de "integración numérica", especialmente cuando se aplica a integrales unidimensionales. Algunos autores se refieren a la integración numérica en más de una dimensión como cubatura ; ^[1] otros toman "cuadratura" para incluir la integración de dimensiones superiores.

El problema básico de la integración numérica es calcular una solución aproximada a una integral definida.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

hasta un determinado grado de precisión. Si f ( x ) es una función uniforme integrada en un pequeño número de dimensiones y el dominio de integración está acotado, existen muchos métodos para aproximar la integral a la precisión deseada.

La integración numérica tiene sus raíces en el problema geométrico de encontrar un cuadrado con la misma área que una figura plana dada ( cuadratura o cuadratura ), como en la cuadratura del círculo . El término también se utiliza a veces para describir la solución numérica de ecuaciones diferenciales .

Motivación y necesidad.

Existen varias razones para realizar una integración numérica, a diferencia de la integración analítica encontrando la primitiva :

1. El integrando f ( x ) puede conocerse solo en ciertos puntos, como el que se obtiene mediante muestreo . Algunos sistemas integrados y otras aplicaciones informáticas pueden necesitar integración numérica por este motivo.
2. Es posible que se conozca una fórmula para el integrando, pero puede resultar difícil o imposible encontrar una antiderivada que sea una función elemental . Un ejemplo de tal integrando es f ( x ) = exp(− x ² ) , cuya antiderivada (la función de error , multiplicada por una constante) no se puede escribir en forma elemental .
3. Puede ser posible encontrar una primitiva simbólicamente, pero puede ser más fácil calcular una aproximación numérica que calcular la primitiva. Ese puede ser el caso si la antiderivada se da como una serie o producto infinito, o si su evaluación requiere una función especial que no está disponible.

Historia

El término "integración numérica" ​​aparece por primera vez en 1915 en la publicación Un curso de interpolación e integración numérica para el laboratorio de matemáticas de David Gibb . ^[2]

"Cuadratura" es un término matemático histórico que significa calcular el área. Los problemas de cuadratura han servido como una de las principales fuentes del análisis matemático . Los matemáticos de la Antigua Grecia , según la doctrina pitagórica , entendían el cálculo de área como el proceso de construir geométricamente un cuadrado que tuviera la misma área ( cuadrar ). Por eso el proceso se denominó "cuadratura". Por ejemplo, una cuadratura del círculo , Luna de Hipócrates , La Cuadratura de la Parábola . Esta construcción debe realizarse únicamente mediante compás y regla .

Los antiguos babilonios utilizaron la regla trapezoidal para integrar el movimiento de Júpiter a lo largo de la eclíptica . ^[3]

Método antiguo para encontrar la media geométrica.

Para una cuadratura de un rectángulo con los lados a y b es necesario construir un cuadrado con el lado (la media geométrica de a y b ). Para ello se puede utilizar el siguiente hecho: si dibujamos el círculo con la suma de a y b como diámetro, entonces la altura BH (desde el punto de su conexión hasta el cruce con el círculo) es igual a su media geométrica. La construcción geométrica similar resuelve un problema de cuadratura para un paralelogramo y un triángulo. ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$

El área de un segmento de una parábola.

Los problemas de cuadratura de figuras curvilíneas son mucho más difíciles. En el siglo XIX se demostró que la cuadratura del círculo con compás y regla era imposible. Sin embargo, para algunas figuras (por ejemplo la Luna de Hipócrates ) se puede realizar una cuadratura. Las cuadraturas de la superficie de una esfera y un segmento de parábola realizadas por Arquímedes se convirtieron en el mayor logro del análisis antiguo.

• El área de la superficie de una esfera es igual al cuádruple del área de un círculo máximo de esta esfera.
• El área de un segmento de la parábola cortado por una línea recta es 4/3 del área del triángulo inscrito en este segmento.

Para la prueba de los resultados Arquímedes utilizó el método de agotamiento de Eudoxo .

En la Europa medieval, la cuadratura significaba el cálculo del área por cualquier método. Más a menudo se utilizaba el Método de los indivisibles ; era menos riguroso, pero más simple y poderoso. Con su ayuda, Galileo Galilei y Gilles de Roberval encontraron el área de un arco cicloide , Grégoire de Saint-Vincent investigó el área bajo una hipérbola ( Opus Geometricum , 1647), y Alphonse Antonio de Sarasa , alumno y comentarista de Saint-Vincent, anotó la relación de esta área con los logaritmos .

John Wallis algebrisó este método: escribió en su serie Arithmetica Infinitorum (1656) lo que ahora llamamos integral definida , y calculó sus valores. Isaac Barrow y James Gregory lograron mayores avances: cuadraturas para algunas curvas y espirales algebraicas . Christiaan Huygens realizó con éxito una cuadratura de unos sólidos de revolución .

La cuadratura de la hipérbola de Saint-Vincent y de Sarasa proporcionó una nueva función , el logaritmo natural , de importancia crítica.

Con la invención del cálculo integral surgió un método universal para el cálculo de áreas. En respuesta, el término "cuadratura" se ha vuelto tradicional y, en cambio, la frase moderna " cálculo de una integral definida univariante " es más común.

Métodos para integrales unidimensionales.

Una regla de cuadratura es una aproximación de la integral definida de una función , generalmente expresada como una suma ponderada de valores de función en puntos específicos dentro del dominio de integración.

Los métodos de integración numérica generalmente se pueden describir como una combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. El integrando se evalúa en un conjunto finito de puntos llamados puntos de integración y se utiliza una suma ponderada de estos valores para aproximar la integral. Los puntos de integración y los pesos dependen del método específico utilizado y de la precisión requerida de la aproximación.

Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación en función del número de evaluaciones de integrandos. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones suele considerarse superior. Reducir el número de evaluaciones del integrando reduce el número de operaciones aritméticas involucradas y, por lo tanto, reduce el error de redondeo total . Además, cada evaluación lleva tiempo y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.

Reglas de cuadratura basadas en funciones escalonadas.

Se puede realizar un tipo de integración numérica de "fuerza bruta", si el integrando se comporta razonablemente bien (es decir, continuo por partes y de variación acotada ), evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.

Ilustración de la regla del rectángulo.

Este método más simple aproxima la función mediante una función escalonada (una función constante por partes o un polinomio segmentado de grado cero) que pasa por el punto . Esto se llama regla del punto medio o regla del rectángulo. ${\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}$$

Reglas de cuadratura basadas en funciones de interpolación.

Se puede derivar una gran clase de reglas de cuadratura construyendo funciones de interpolación que sean fáciles de integrar. Normalmente estas funciones de interpolación son polinomios . En la práctica, dado que los polinomios de muy alto grado tienden a oscilar violentamente , sólo se utilizan polinomios de bajo grado, normalmente lineales y cuadráticos.

Ilustración de la regla trapezoidal.

La función de interpolación puede ser una línea recta (una función afín , es decir, un polinomio de grado 1) que pasa por los puntos y . Esto se llama regla trapezoidal. ${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$ ${\displaystyle \left(b,f(b)\right)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right).}$$

Ilustración de la regla de Simpson.

Para cualquiera de estas reglas, podemos hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo en algún número de subintervalos, calculando una aproximación para cada subintervalo y luego sumando todos los resultados. Esto se denomina regla compuesta , regla extendida o regla iterada . Por ejemplo, la regla trapezoidal compuesta se puede expresar como ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}$$

donde los subintervalos tienen la forma con y Aquí usamos subintervalos de la misma longitud pero también se pueden usar intervalos de diferente longitud . ${\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}$ ${\textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}$

La interpolación con polinomios evaluados en puntos equidistantes produce las fórmulas de Newton-Cotes , de las cuales la regla del rectángulo y la regla del trapecio son ejemplos. La regla de Simpson , que se basa en un polinomio de orden 2, también es una fórmula de Newton-Cotes. ${\displaystyle [a,b]}$

Las reglas de cuadratura con puntos igualmente espaciados tienen la propiedad muy conveniente de anidarse . La regla correspondiente con cada intervalo subdividido incluye todos los puntos actuales, por lo que esos valores de integrandos se pueden reutilizar.

Si permitimos que varíen los intervalos entre los puntos de interpolación, encontramos otro grupo de fórmulas de cuadratura, como las fórmulas de cuadratura gaussianas . Una regla de cuadratura gaussiana suele ser más precisa que una regla de Newton-Cotes que utiliza el mismo número de evaluaciones de funciones, si el integrando es suave (es decir, si es suficientemente diferenciable). Otros métodos de cuadratura con intervalos variables incluyen los métodos de cuadratura de Clenshaw-Curtis (también llamados cuadratura de Fejér), que sí anidan.

Las reglas de cuadratura gaussianas no se anidan, pero las fórmulas de cuadratura de Gauss-Kronrod relacionadas sí lo hacen.

Algoritmos adaptativos

La cuadratura adaptativa es un método de integración numérica en el que la integral de una función se aproxima utilizando reglas de cuadratura estática en subintervalos refinados adaptativamente de la región de integración. Generalmente, los algoritmos adaptativos son tan eficientes y eficaces como los algoritmos tradicionales para integrandos "con buen comportamiento", pero también son eficaces para integrandos "con mal comportamiento" en los que los algoritmos tradicionales pueden fallar. ${\displaystyle f(x)}$

Métodos de extrapolación

La precisión de una regla de cuadratura del tipo Newton-Cotes es generalmente función del número de puntos de evaluación. El resultado suele ser más preciso a medida que aumenta el número de puntos de evaluación o, de manera equivalente, a medida que disminuye el ancho del paso entre los puntos. Es natural preguntarse cuál sería el resultado si se permitiera que el tamaño del paso se acercara a cero. Esto se puede responder extrapolando el resultado de dos o más tamaños de paso distintos de cero, utilizando métodos de aceleración en serie como la extrapolación de Richardson . La función de extrapolación puede ser una función polinómica o racional . Stoer y Bulirsch describen con más detalle los métodos de extrapolación (Sección 3.4) y se implementan en muchas de las rutinas de la biblioteca QUADPACK .

Estimación conservadora (a priori) del error

Tengamos una primera derivada acotada sobre ie. El teorema del valor medio para donde da ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle f\in C^{1}([a,b]).}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle x\in [a,b),}$

$${\displaystyle (x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),}$$

${\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}$ ${\displaystyle x}$

Si integramos desde a en ambos lados y tomamos los valores absolutos, obtenemos ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(\xi _{x})\,dx\right|.}$$

Podemos aproximarnos aún más a la integral en el lado derecho llevando el valor absoluto al integrando y reemplazando el término por un límite superior. ${\displaystyle f'}$

donde se utilizó el supremum para aproximar.

Por lo tanto, si aproximamos la integral mediante la regla de la cuadratura, nuestro error no es mayor que el lado derecho de 1 . Podemos convertir esto en un análisis de error para la suma de Riemann , dando un límite superior de ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle (b-a)f(a)}$

$${\displaystyle {\frac {n^{-1}}{2}}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|}$$

serie de Taylorff ${\displaystyle f(x)=x}$

Este método de integración se puede combinar con la aritmética de intervalos para producir pruebas por computadora y cálculos verificados .

Integrales en intervalos infinitos

Existen varios métodos para la integración aproximada en intervalos ilimitados. La técnica estándar implica reglas de cuadratura especialmente derivadas, como la cuadratura de Gauss-Hermite para integrales en toda la recta real y la cuadratura de Gauss-Laguerre para integrales en reales positivos. ^[4] También se pueden utilizar métodos de Monte Carlo, o un cambio de variables a un intervalo finito; por ejemplo, para toda la línea se podría usar

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}}$$

Integrales multidimensionales

Todas las reglas de cuadratura analizadas hasta ahora están diseñadas para calcular integrales unidimensionales. Para calcular integrales en múltiples dimensiones, un enfoque es expresar la integral múltiple como integrales unidimensionales repetidas aplicando el teorema de Fubini (la regla del producto tensorial). Este enfoque requiere que las evaluaciones de funciones crezcan exponencialmente a medida que aumenta el número de dimensiones. Se conocen tres métodos para superar esta llamada maldición de la dimensionalidad .

En la monografía de Stroud se ofrecen muchas técnicas adicionales para formar reglas de integración de cubatura multidimensional para una variedad de funciones de ponderación. ^[5] La integración en la esfera ha sido revisada por Hesse et al. (2015). ^[6]

Monte Carlo

Los métodos de Monte Carlo y los métodos cuasi-Monte Carlo son fáciles de aplicar a integrales multidimensionales. Pueden producir una mayor precisión para el mismo número de evaluaciones de funciones que integraciones repetidas utilizando métodos unidimensionales. ^{[ cita necesaria ]}

Una gran clase de métodos de Monte Carlo útiles son los llamados algoritmos de Monte Carlo de cadena de Markov , que incluyen el algoritmo de Metropolis-Hastings y el muestreo de Gibbs .

Cuadrículas dispersas

Smolyak desarrolló originalmente las cuadrículas dispersas para la cuadratura de funciones de alta dimensión. El método siempre se basa en una regla de cuadratura unidimensional, pero realiza una combinación más sofisticada de resultados univariados. Sin embargo, mientras que la regla del producto tensorial garantiza que los pesos de todos los puntos de cubotura serán positivos si los pesos de los puntos de cuadratura fueran positivos, la regla de Smolyak no garantiza que todos los pesos sean positivos.

cuadratura bayesiana

La cuadratura bayesiana es un enfoque estadístico al problema numérico de calcular integrales y cae dentro del campo de la numérica probabilística . Puede proporcionar un manejo completo de la incertidumbre sobre la solución de la integral expresada como una varianza posterior del proceso gaussiano .

Conexión con ecuaciones diferenciales.

El problema de evaluar la integral definida.

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(u)\,du}$

se puede reducir a un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria aplicando la primera parte del teorema fundamental del cálculo . Al diferenciar ambos lados de lo anterior con respecto al argumento x , se ve que la función F satisface

${\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x),\quad F(a)=0.}$

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias , como los métodos de Runge-Kutta , se pueden aplicar al problema replanteado y así usarse para evaluar la integral. Por ejemplo, el método estándar de Runge-Kutta de cuarto orden aplicado a la ecuación diferencial produce la regla de Simpson desde arriba.

La ecuación diferencial tiene una forma especial: el lado derecho contiene sólo la variable independiente (aquí ) y no la variable dependiente (aquí ). Esto simplifica considerablemente la teoría y los algoritmos. Por tanto, el problema de la evaluación de integrales se estudia mejor por sí solo. ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$

Por el contrario, el término "cuadratura" también puede usarse para la solución de ecuaciones diferenciales: " resolver por cuadratura " o " reducción a cuadratura " significa expresar su solución en términos de integrales .

Ver también

• Error de truncamiento (integración numérica)
• Cuadratura de Clenshaw-Curtis
• Cuadratura de Gauss-Kronrod
• Suma de Riemann o Integral de Riemann
• regla trapezoidal
• El método de Romberg.
• Cuadratura de Tanh-sinh
• Integral no elemental

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Cubatura". MundoMatemático .
2. "Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas (Q)". jeff560.tripod.com . Consultado el 31 de marzo de 2018 .
3. Mathieu Ossendrijver (29 de enero de 2016). "Los antiguos astrónomos babilónicos calcularon la posición de Júpiter a partir del área bajo un gráfico de velocidad de tiempo". Ciencia . 351 (6272): 482–484. Código Bib : 2016 Ciencia... 351..482O. doi : 10.1126/ciencia.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
4. Líder, Jeffery J. (2004). Análisis Numérico y Computación Científica . Addison Wesley. ISBN 978-0-201-73499-7.
5. Stroud, AH (1971). Cálculo aproximado de integrales múltiples . Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall Inc. ISBN 9780130438935.
6. Kerstin Hesse, Ian H. Sloan y Robert S. Womersley: integración numérica en la esfera. En W. Freeden et al. (eds.), Manual de Geomatemáticas, Springer: Berlín 2015, doi :10.1007/978-3-642-54551-1_40

• Philip J. Davis y Philip Rabinowitz , Métodos de integración numérica .
• George E. Forsythe , Michael A. Malcolm y Cleve B. Moler , Métodos informáticos para cálculos matemáticos . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1977. (Ver Capítulo 5.)
• Presione, WH ; Teukolsky, SA ; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Capítulo 4. Integración de funciones", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Josef Stoer y Roland Bulirsch , Introducción al análisis numérico . Nueva York: Springer-Verlag, 1980. (Ver Capítulo 3.)
• Boyer, CB , Una historia de las matemáticas , 2ª ed. Rdo. por Uta C. Merzbach , Nueva York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (edición pbk de 1991 ISBN 0-471-54397-7 ).  
• Eves, Howard , Introducción a la historia de las matemáticas , Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 , 

enlaces externos

• Integración: antecedentes, simulaciones, etc. en Holistic Numerical Methods Institute
• Cuadratura de Lobatto de Wolfram Mathworld
• Fórmula de cuadratura de Lobatto de la Enciclopedia de Matemáticas
• Implementaciones de muchas fórmulas de cuadratura y cúbica dentro de la biblioteca gratuita de componentes Tracker.
• Integrador en línea de SageMath