Cuadratura de Clenshaw-Curtis

Método de integración numérica

La cuadratura de Clenshaw-Curtis y la cuadratura de Fejér son métodos de integración numérica , o "cuadratura", que se basan en una expansión del integrando en términos de polinomios de Chebyshev . De manera equivalente, emplean un cambio de variables y utilizan una aproximación de transformada de coseno discreta (DCT) para la serie de cosenos . Además de tener una precisión de rápida convergencia comparable a las reglas de cuadratura gaussiana , la cuadratura de Clenshaw-Curtis conduce naturalmente a reglas de cuadratura anidadas (donde diferentes órdenes de precisión comparten puntos), lo cual es importante tanto para la cuadratura adaptativa como para la cuadratura multidimensional ( cubatura ). ${\displaystyle x=\cos \theta }$

Brevemente, la función a integrar se evalúa en los extremos o raíces de un polinomio de Chebyshev y estos valores se utilizan para construir una aproximación polinómica para la función. Luego, este polinomio se integra exactamente. En la práctica, los pesos de integración para el valor de la función en cada nodo se calculan previamente, y este cálculo se puede realizar en el tiempo mediante algoritmos rápidos relacionados con la transformada de Fourier para la DCT. ^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O(N\log N)}$

método general

Una forma sencilla de entender el algoritmo es darse cuenta de que la cuadratura de Clenshaw-Curtis (propuesta por esos autores en 1960) ^[3] equivale a integrar mediante un cambio de variable x = cos( θ ) . El algoritmo normalmente se expresa para la integración de una función f ( x ) en el intervalo [−1,1] (cualquier otro intervalo se puede obtener mediante un cambio de escala apropiado). Para esta integral, podemos escribir:

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi }f(\cos \theta )\sin(\theta )\,d\theta .}$$

Es decir, hemos transformado el problema de integrar a uno de integración . Esto se puede realizar si conocemos la serie de cosenos para : ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(\cos \theta )\sin \theta }$ ${\displaystyle f(\cos \theta )}$

$${\displaystyle f(\cos \theta )={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(k\theta )}$$

en cuyo caso la integral queda:

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\cos \theta )\sin(\theta )\,d\theta =a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2a_{2k}}{1-(2k)^{2}}}.}$$

Por supuesto, para calcular los coeficientes de la serie de cosenos

$${\displaystyle a_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(\cos \theta )\cos(k\theta )\,d\theta ,\quad k=0,1,2,\dots ,}$$

uno debe realizar nuevamente una integración numérica, por lo que al principio esto puede no parecer haber simplificado el problema. Sin embargo, a diferencia del cálculo de integrales arbitrarias, las integraciones de series de Fourier para funciones periódicas (como , por construcción), hasta la frecuencia de Nyquist , se calculan con precisión mediante puntos igualmente espaciados e igualmente ponderados para (excepto que los puntos finales están ponderados por 1/2 , para evitar el doble conteo, equivalente a la regla trapezoidal o la fórmula de Euler-Maclaurin ). ^{[4] [5]} Es decir, aproximamos la integral en serie del coseno mediante la transformada discreta del coseno (DCT) de tipo I: ${\displaystyle f(\cos \theta )}$ ${\displaystyle k=N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \theta _{n}=n\pi /N}$ ${\displaystyle n=0,\ldots ,N}$

$${\displaystyle a_{k}\approx {\frac {2}{N}}\left[{\frac {f(1)}{2}}+{\frac {f(-1)}{2}}(-1)^{k}+\sum _{n=1}^{N-1}f(\cos[n\pi /N])\cos(nk\pi /N)\right]}$$

para y luego use la fórmula anterior para la integral en términos de estos . Debido a que solo es necesario, la fórmula se simplifica aún más en una DCT de tipo I de orden N /2 , suponiendo que N es un número par : ${\displaystyle k=0,\ldots ,N}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle a_{2k}}$

$${\displaystyle a_{2k}\approx {\frac {2}{N}}\left[{\frac {f(1)+f(-1)}{2}}+f(0)(-1)^{k}+\sum _{n=1}^{N/2-1}\left\{f(\cos[n\pi /N])+f(-\cos[n\pi /N])\right\}\cos \left({\frac {nk\pi }{N/2}}\right)\right]}$$

A partir de esta fórmula, queda claro que la regla de cuadratura de Clenshaw-Curtis es simétrica, ya que pondera f ( x ) y f (− x ) por igual.

Debido al aliasing , sólo se calculan los coeficientes hasta k = N /2 , ya que el muestreo discreto de la función hace que la frecuencia de 2 k sea indistinguible de la de N –2 k . De manera equivalente, son las amplitudes del único polinomio de interpolación trigonométrica de banda limitada que pasa por los N +1 puntos donde se evalúa f (cos θ ) , y aproximamos la integral por la integral de este polinomio de interpolación. Sin embargo , hay cierta sutileza en cómo se trata el coeficiente en la integral: para evitar la doble contabilización con su alias, se incluye con peso 1/2 en la integral aproximada final (como también se puede ver al examinar el polinomio de interpolación): ${\displaystyle a_{2k}}$ ${\displaystyle a_{2k}}$ ${\displaystyle a_{N}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\cos \theta )\sin(\theta )\,d\theta \approx a_{0}+\sum _{k=1}^{N/2-1}{\frac {2a_{2k}}{1-(2k)^{2}}}+{\frac {a_{N}}{1-N^{2}}}.}$$

Conexión a polinomios de Chebyshev

La razón por la que esto está relacionado con los polinomios de Chebyshev es que, por definición, , la serie de cosenos anterior es en realidad una aproximación de los polinomios de Chebyshev: ${\displaystyle T_{k}(x)}$ ${\displaystyle T_{k}(\cos \theta )=\cos(k\theta )}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}T_{0}(x)+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}T_{k}(x),}$$

y por lo tanto estamos "realmente" integrando integrando su expansión aproximada en términos de polinomios de Chebyshev. Los puntos de evaluación corresponden a los extremos del polinomio de Chebyshev . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{n}=\cos(n\pi /N)}$ ${\displaystyle T_{N}(x)}$

El hecho de que dicha aproximación de Chebyshev sea simplemente una serie de cosenos bajo un cambio de variables es responsable de la rápida convergencia de la aproximación a medida que se incluyen más términos. Una serie de cosenos converge muy rápidamente para funciones pares , periódicas y suficientemente suaves. Esto es cierto aquí, ya que es par y periódico por construcción, y es k veces diferenciable en todas partes si es k veces diferenciable en . (Por el contrario, aplicar directamente una expansión en serie de cosenos a en lugar de generalmente no convergerá rápidamente porque la pendiente de la extensión periódica par generalmente sería discontinua). ${\displaystyle T_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(\cos \theta )}$

Cuadratura de Fejér

Fejér propuso dos reglas de cuadratura muy similares a la cuadratura de Clenshaw-Curtis, pero mucho antes (en 1933). ^[6]

De estas dos, la "segunda" regla de cuadratura de Fejér es casi idéntica a la de Clenshaw-Curtis. La única diferencia es que los puntos finales y se establecen en cero. Es decir, Fejér sólo utilizó los extremos interiores de los polinomios de Chebyshev, es decir, los verdaderos puntos estacionarios. ${\displaystyle f(-1)}$ ${\displaystyle f(1)}$

La "primera" regla de cuadratura de Fejér evalúa evaluando en un conjunto diferente de puntos igualmente espaciados, a medio camino entre los extremos: para . Estas son las raíces y se conocen como nodos de Chebyshev . (Estos puntos medios equidistantes son la única otra opción de puntos de cuadratura que preservan tanto la simetría par de la transformada del coseno como la simetría traslacional de la serie periódica de Fourier). Esto conduce a una fórmula: ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle f(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \theta _{n}=(n+0.5)\pi /N}$ ${\displaystyle 0\leq n<N}$ ${\displaystyle T_{N}(\cos \theta )}$

$${\displaystyle a_{k}\approx {\frac {2}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(\cos[(n+0.5)\pi /N])\cos[(n+0.5)k\pi /N]}$$

que es precisamente el DCT tipo II. Sin embargo, la primera regla de cuadratura de Fejér no está anidada: los puntos de evaluación para 2 N no coinciden con ninguno de los puntos de evaluación para N , a diferencia de la cuadratura de Clenshaw-Curtis o la segunda regla de Fejér.

A pesar de que Fejér descubrió estas técnicas antes que Clenshaw y Curtis, el nombre "cuadratura Clenshaw-Curtis" se ha convertido en estándar.

Comparación con la cuadratura gaussiana

El método clásico de cuadratura gaussiana evalúa el integrando en puntos y se construye para integrar exactamente polinomios hasta el grado . Por el contrario, la cuadratura de Clenshaw-Curtis, arriba, evalúa el integrando en puntos e integra exactamente polinomios solo hasta el grado . Puede parecer, por tanto, que Clenshaw-Curtis es intrínsecamente peor que la cuadratura gaussiana, pero en realidad no parece ser así. ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle 2N+1}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$

En la práctica, varios autores han observado que Clenshaw-Curtis puede tener una precisión comparable a la de la cuadratura gaussiana para el mismo número de puntos. Esto es posible porque la mayoría de los integrandos numéricos no son polinomios (especialmente porque los polinomios se pueden integrar analíticamente) y la aproximación de muchas funciones en términos de polinomios de Chebyshev converge rápidamente (ver aproximación de Chebyshev ). De hecho, resultados teóricos recientes ^[7] sostienen que tanto la cuadratura gaussiana como la de Clenshaw-Curtis tienen un error acotado por un integrando k -veces diferenciable. ${\displaystyle O([2N]^{-k}/k)}$

Una ventaja de la cuadratura de Clenshaw-Curtis que se cita a menudo es que los pesos de cuadratura se pueden evaluar en el tiempo mediante algoritmos rápidos de transformada de Fourier (o sus análogos para el DCT), mientras que la mayoría de los algoritmos para los pesos de cuadratura gaussianos requirieron tiempo para calcularse. Sin embargo, los algoritmos recientes han alcanzado complejidad para la cuadratura de Gauss-Legendre. ^[8] Como cuestión práctica, la integración numérica de alto orden rara vez se realiza simplemente evaluando una fórmula de cuadratura para valores muy grandes . En cambio, generalmente se emplea un esquema de cuadratura adaptativo que primero evalúa la integral a orden bajo y luego refina sucesivamente la precisión aumentando el número de puntos de muestra, posiblemente solo en regiones donde la integral es inexacta. Para evaluar la precisión de la cuadratura, se compara la respuesta con la de una regla de cuadratura de orden aún menor. Idealmente, esta regla de cuadratura de orden inferior evalúa el integrando en un subconjunto de los N puntos originales , para minimizar las evaluaciones del integrando. Esto se llama regla de cuadratura anidada, y aquí Clenshaw-Curtis tiene la ventaja de que la regla de orden N utiliza un subconjunto de puntos de orden 2 N. Por el contrario, las reglas de cuadratura gaussianas no están anidadas de forma natural, por lo que se deben emplear fórmulas de cuadratura de Gauss-Kronrod o métodos similares. Las reglas anidadas también son importantes para cuadrículas dispersas en cuadratura multidimensional, y la cuadratura de Clenshaw-Curtis es un método popular en este contexto. ^[9] ${\displaystyle O(N\log N)}$ ${\displaystyle O(N^{2})}$ ${\displaystyle O(N)}$ ${\displaystyle N}$

Integración con funciones de peso.

De manera más general, se puede plantear el problema de integrar una función de peso arbitraria con una función de peso fijo que se conoce de antemano: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)w(x)\,dx=\int _{0}^{\pi }f(\cos \theta )w(\cos \theta )\sin(\theta )\,d\theta .}$$

El caso más común es el anterior, pero en determinadas aplicaciones es deseable una función de peso diferente. La razón básica es que, dado que se puede tener en cuenta a priori , se puede hacer que el error de integración dependa sólo de la precisión en la aproximación , independientemente de qué tan mal se comporte la función de peso. ${\displaystyle w(x)=1}$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

La cuadratura de Clenshaw-Curtis se puede generalizar a este caso de la siguiente manera. Como antes, funciona encontrando la expansión en serie de cosenos a través de un DCT y luego integrando cada término en la serie de cosenos. Ahora, sin embargo, estas integrales son de la forma ${\displaystyle f(\cos \theta )}$

$${\displaystyle W_{k}=\int _{0}^{\pi }w(\cos \theta )\cos(k\theta )\sin(\theta )\,d\theta .}$$

Para la mayoría , esta integral no se puede calcular analíticamente, a diferencia de antes. Sin embargo , dado que generalmente se usa la misma función de peso para muchos integrandos , uno puede darse el lujo de calcularlos numéricamente con gran precisión de antemano. Además, dado que generalmente se especifica analíticamente, a veces se pueden emplear métodos especializados para calcular . ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle W_{k}}$

Por ejemplo, se han desarrollado métodos especiales para aplicar la cuadratura de Clenshaw-Curtis a integrandos de la forma con una función de peso que es altamente oscilatoria, por ejemplo, una función sinusoide o de Bessel (ver, por ejemplo, Evans & Webster, 1999 ^[10] ). Esto es útil para el cálculo de series de Fourier y series de Fourier-Bessel de alta precisión , donde los métodos de cuadratura simples son problemáticos debido a la alta precisión requerida para resolver la contribución de las oscilaciones rápidas. Aquí, la parte de oscilación rápida del integrando se tiene en cuenta mediante métodos especializados , mientras que la función desconocida suele comportarse mejor. ${\displaystyle f(x)w(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle w(x)=1}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Otro caso en el que las funciones de peso son especialmente útiles es si el integrando es desconocido pero tiene una singularidad conocida de alguna forma, por ejemplo, una discontinuidad conocida o una divergencia integrable (como 1/ √ x ) en algún punto. En este caso, la singularidad se puede incorporar a la función de peso y sus propiedades analíticas se pueden utilizar para calcular con precisión de antemano. ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle W_{k}}$

Tenga en cuenta que la cuadratura gaussiana también se puede adaptar para varias funciones de peso, pero la técnica es algo diferente. En la cuadratura de Clenshaw-Curtis, el integrando siempre se evalúa en el mismo conjunto de puntos independientemente de , correspondiente a los extremos o raíces de un polinomio de Chebyshev. En la cuadratura gaussiana, diferentes funciones de peso conducen a diferentes polinomios ortogonales y, por lo tanto, a diferentes raíces donde se evalúa el integrando. ${\displaystyle w(x)}$

Integración en intervalos infinitos y semiinfinitos.

También es posible utilizar la cuadratura de Clenshaw-Curtis para calcular integrales de la forma y , utilizando una técnica de reasignación de coordenadas. ^[11] Se puede mantener una alta precisión, incluso una convergencia exponencial para integrandos suaves, siempre que decaiga lo suficientemente rápido como | x | se acerca al infinito. ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$ ${\displaystyle f(x)}$

Una posibilidad es utilizar una transformación de coordenadas genérica como x = t /(1− t ² )

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{(1-t^{2})^{2}}}\,dt,}$$

para transformar un intervalo infinito o semiinfinito en uno finito, como se describe en Integración numérica . También existen técnicas adicionales que se han desarrollado específicamente para la cuadratura de Clenshaw-Curtis.

Por ejemplo, se puede usar la reasignación de coordenadas , donde L es una constante especificada por el usuario (se podría simplemente usar L =1; una elección óptima de L puede acelerar la convergencia, pero depende del problema ^[11] ), para transformar la semi -integral infinita en: ${\displaystyle x=L\cot ^{2}(\theta /2)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=2L\int _{0}^{\pi }{\frac {f[L\cot ^{2}(\theta /2)]}{[1-\cos(\theta )]^{2}}}\sin(\theta )\,d\theta .}$$

El factor que multiplica sin( θ ), f (...)/(...) ² , puede luego expandirse en una serie de cosenos (aproximadamente, usando la transformada de coseno discreto) e integrarse término por término, exactamente como se hizo hecho para f (cos  θ ) arriba. Para eliminar la singularidad en θ =0 en este integrando, simplemente se requiere que f ( x ) llegue a cero lo suficientemente rápido cuando x se acerca al infinito y, en particular, f ( x ) debe decaer al menos tan rápido como 1/ x ^3/2. . ^[11]

Para un intervalo de integración doblemente infinito, se puede usar la reasignación de coordenadas (donde L es una constante especificada por el usuario como se indicó anteriormente) para transformar la integral en: ^[11] ${\displaystyle x=L\cot(\theta )}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=L\int _{0}^{\pi }{\frac {f[L\cot(\theta )]}{\sin ^{2}(\theta )}}\,d\theta \approx {\frac {L\pi }{N}}\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {f[L\cot(n\pi /N)]}{\sin ^{2}(n\pi /N)}}.}$$

En este caso, hemos utilizado el hecho de que el integrando reasignado f ( L cot θ )/sin ² ( θ ) ya es periódico y, por lo tanto, puede integrarse directamente con alta precisión (incluso exponencial) utilizando la regla trapezoidal (asumiendo que f es suficientemente suave y de rápida descomposición); no es necesario calcular la serie de cosenos como paso intermedio. Tenga en cuenta que la regla de la cuadratura no incluye los puntos finales, donde hemos asumido que el integrando tiende a cero. La fórmula anterior requiere que f ( x ) decaiga más rápido que 1/ x ² cuando x llega a ±∞. (Si f decae exactamente como 1/ x ² , entonces el integrando pasa a un valor finito en los puntos finales y estos límites deben incluirse como términos de punto final en la regla trapezoidal. ^[11] ). Sin embargo, si f decae sólo polinomialmente rápidamente, entonces puede ser necesario utilizar un paso adicional de la cuadratura de Clenshaw-Curtis para obtener una precisión exponencial de la integral reasignada en lugar de la regla trapezoidal, dependiendo de más detalles de las propiedades limitantes de f : la El problema es que, aunque f ( L  cot θ )/sen ² ( θ ) es de hecho periódico con período π, no es necesariamente suave en los puntos finales si todas las derivadas no desaparecen allí [por ejemplo, la función f ( x ) = tanh ( x ³ )/ x ³ decae como 1/ x ³ pero tiene una discontinuidad de salto en la pendiente de la función reasignada en θ=0 y π].

Se sugirió otro enfoque de reasignación de coordenadas para integrales de la forma , en cuyo caso se puede usar la transformación para transformar la integral a la forma donde , en cuyo punto se puede proceder de manera idéntica a la cuadratura de Clenshaw-Curtis para f como se indicó anteriormente. ^[12] Sin embargo, debido a las singularidades de los puntos finales en esta reasignación de coordenadas, se usa la primera regla de cuadratura de Fejér [que no evalúa f (−1)] a menos que g (∞) sea finito. ${\textstyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}g(x)\,dx}$ ${\displaystyle x=-\ln[(1+\cos \theta )/2]}$ ${\textstyle \int _{0}^{\pi }f(\cos \theta )\sin \theta \,d\theta }$ ${\displaystyle f(u)=g(-\ln[(1+u)/2])/2}$

Precalcular los pesos de cuadratura

En la práctica, es inconveniente realizar una DCT de los valores de la función muestreada f (cos θ) para cada nuevo integrando. En cambio, normalmente se calculan previamente los pesos en cuadratura (para n de 0 a N /2, suponiendo que N es par) de modo que ${\displaystyle w_{n}}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{n=0}^{N/2}w_{n}\left\{f(\cos[n\pi /N])+f(-\cos[n\pi /N])\right\}.}$$

Estos pesos también se calculan mediante una DCT, como se ve fácilmente al expresar el cálculo en términos de álgebra matricial . En particular, calculamos los coeficientes de la serie de cosenos mediante una expresión de la forma: ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle a_{2k}}$

$${\displaystyle c={\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{2}\\a_{4}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{N/2}\end{pmatrix}}=Dy,}$$

DNtipo-I DCTde base cero

$${\displaystyle D_{kn}={\frac {2}{N}}\cos \left({\frac {nk\pi }{N/2}}\right)\times {\begin{cases}1/2&n=0,N/2\\1&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$$

y es ${\displaystyle y_{n}}$

$${\displaystyle y_{n}=f(\cos[n\pi /N])+f(-\cos[n\pi /N]).}$$

Como se analizó anteriormente, debido al aliasing , no tiene sentido calcular coeficientes más allá de , por lo que D es una matriz. En términos de estos coeficientes c , la integral es aproximadamente: ${\displaystyle a_{N}}$ ${\displaystyle (N/2+1)\times (N/2+1)}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx a_{0}+\sum _{k=1}^{N/2-1}{\frac {2a_{2k}}{1-(2k)^{2}}}+{\frac {a_{N}}{1-N^{2}}}=d^{T}c,}$$

desde arriba, donde c es el vector de coeficientes anteriores y d es el vector de integrales para cada coeficiente de Fourier: ${\displaystyle a_{2k}}$

$${\displaystyle d={\begin{pmatrix}1\\2/(1-4)\\2/(1-16)\\\vdots \\2/(1-[N-2]^{2})\\1/(1-N^{2})\end{pmatrix}}.}$$

(Tenga en cuenta, sin embargo, que estos factores de ponderación se modifican si se cambia la matriz D de la DCT para utilizar una convención de normalización diferente. Por ejemplo, es común definir la DCT de tipo I con factores adicionales de 2 o √ 2 factores en la primera y últimas filas o columnas, lo que conduce a las modificaciones correspondientes en las d entradas). La suma se puede reorganizar para: ${\displaystyle d^{T}c}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx d^{T}c=d^{T}Dy=(D^{T}d)^{T}y=w^{T}y}$$

donde w es el vector de los pesos deseados arriba, con: ${\displaystyle w_{n}}$

$${\displaystyle w=D^{T}d.}$$

Dado que la matriz transpuesta también es una DCT (por ejemplo, la transpuesta de una DCT de tipo I es una DCT de tipo I, posiblemente con una normalización ligeramente diferente dependiendo de las convenciones que se emplean), los pesos de cuadratura w se pueden precalcular en O ( N  log  N ) tiempo para un N determinado utilizando algoritmos DCT rápidos. ${\displaystyle D^{T}}$

Los pesos son positivos y su suma es igual a uno. ^[13] ${\displaystyle w_{n}}$

Ver también

• Fórmula de Euler-Maclaurin
• Fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod

Referencias

1. W. Morven Gentleman, "Implementación de la cuadratura I de Clenshaw-Curtis: metodología y experiencia", Comunicaciones de la ACM 15 (5), pág. 337-342 (1972).
2. Jörg Waldvogel, "Construcción rápida de las reglas de cuadratura de Fejér y Clenshaw-Curtis", BIT Numerical Mathematics 46 (1), p. 195-202 (2006).
3. CW Clenshaw y AR Curtis "Un método de integración numérica en una computadora automática Numerische Mathematik 2 , 197 (1960).
4. JP Boyd, Chebychev y métodos espectrales de Fourier , 2ª ed. (Dover, Nueva York, 2001).
5. Véase, por ejemplo, SG Johnson, "Notas sobre la convergencia de la cuadratura de la regla trapezoidal", notas del curso en línea del MIT (2008).
6. Leopold Fejér, "Sobre las secuencias infinitas que surgen en las teorías del análisis armónico, de la interpolación y de las cuadraturas mecánicas", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense 39 (1933), págs. Leopold Fejér, "Mechanische Quadraturen mit positivn Cotesschen Zahlen, Mathematische Zeitschrift 37 , 287 (1933).
7. Trefethen, Lloyd N. (2008). "¿Es la cuadratura de Gauss mejor que la de Clenshaw-Curtis?". Revisión SIAM . 50 (1): 67–87. CiteSeerX  10.1.1.157.4174 . doi : 10.1137/060659831.
8. Ignace Bogaert, Cálculo de Gauss sin iteraciones: pesos y nodos de cuadratura Legendre, SIAM Journal on Scientific Computing vol. 36 , págs. A1008 – A1026 (2014)
9. Erich Novak y Klaus Ritter, "Integración de alta dimensión de funciones suaves sobre cubos", Numerische Mathematik vol. 75 , págs. 79–97 (1996).
10. GA Evans y JR Webster, "Una comparación de algunos métodos para la evaluación de integrales altamente oscilatorias", Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 112 , pág. 55-69 (1999).
11. John P. Boyd, " Esquemas de cuadratura exponencialmente convergentes de Fourier-Chebshev [ sic ] en intervalos acotados e infinitos", J. Scientific Computing 2 (2), p. 99-109 (1987).
12. Nirmal Kumar Basu y Madhav Chandra Kundu, "Algunos métodos de integración numérica en un intervalo semiinfinito", Aplicaciones de las matemáticas 22 (4), p. 237-243 (1977).
13. JP Imhof, "Sobre el método de integración numérica de Clenshaw y Curtis", Numerische Mathematik 5 , p. 138-141 (1963).