Serie de senos y cosenos de Fourier

En matemáticas , particularmente en el campo del cálculo y el análisis de Fourier , las series del seno y del coseno de Fourier son dos series matemáticas que llevan el nombre de Joseph Fourier .

Notación

En este artículo, f denota una función de valor real que es periódica con período 2 L . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Serie de senos

Si f es una función impar con período , entonces la serie senoidal de medio rango de Fourier de f se define como que es simplemente una forma de serie de Fourier completa con la única diferencia de que y son cero, y la serie está definida para la mitad del intervalo . ${\displaystyle 2L}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

En la fórmula tenemos $${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx,\quad n\in \mathbb {N} .}$$

Serie de cosenos

Si f es una función par con un período , entonces la serie de cosenos de Fourier se define como donde ${\displaystyle 2L}$ $${\displaystyle f(x)={\frac {c_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cos {\frac {n\pi x}{L}}}$$ $${\displaystyle c_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos {\frac {n\pi x}{L}}\,dx,\quad n\in \mathbb {N} _{0}.}$$

Observaciones

Esta noción se puede generalizar a funciones que no sean pares ni impares, pero entonces las fórmulas anteriores se verán diferentes.

Véase también

• Serie de Fourier
• Análisis de Fourier
• Análisis espectral de mínimos cuadrados

Bibliografía

• Byerly, William Elwood (1893). "Capítulo 2: Desarrollo de series trigonométricas". Tratado elemental sobre las series de Fourier: y armónicos esféricos, cilíndricos y elipsoidales, con aplicaciones a problemas de física matemática (2.ª ed.). Ginn. pág. 30.
• Carslaw, Horatio Scott (1921). "Capítulo 7: Series de Fourier". Introducción a la teoría de las series de Fourier y las integrales, volumen 1 (2.ª ed.). Macmillan and Company. pág. 196.