Serie de Fourier-Bessel

Serie infinita de funciones de Bessel

En matemáticas , la serie de Fourier-Bessel es un tipo particular de serie de Fourier generalizada (una expansión de serie infinita en un intervalo finito) basada en funciones de Bessel .

Las series de Fourier-Bessel se utilizan en la solución de ecuaciones diferenciales parciales , particularmente en sistemas de coordenadas cilíndricas .

Definición

La serie de Fourier-Bessel de una función f ( x ) con un dominio de [0, b ] que satisface f ( b ) = 0

Función de Bessel para (i) y (ii) . ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

$${\displaystyle f:[0,b]\to \mathbb {R} }$$

combinación linealortogonalesfunción de Bessel de primer tipo J _αn^{[1] [2]}

$${\displaystyle (J_{\alpha })_{n}(x):=J_{\alpha }\left({\frac {u_{\alpha ,n}}{b}}x\right)}$$

u _{α , n}raíznJ _αc _n^[3]

$${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}J_{\alpha }\left({\frac {u_{\alpha ,n}}{b}}x\right).}$$

Interpretación

La serie de Fourier-Bessel puede considerarse como una expansión de Fourier en la coordenada ρ de coordenadas cilíndricas . Así como la serie de Fourier se define para un intervalo finito y tiene una contraparte, la transformada continua de Fourier en un intervalo infinito, la serie de Fourier-Bessel tiene una contraparte en un intervalo infinito, a saber, la transformada de Hankel .

Calculando los coeficientes

Como se dijo, las funciones de Bessel con escalas diferentes son ortogonales con respecto al producto interno

(i) Señal de voz (mtlb.mat de la caja de herramientas de Matlab), (ii) coeficientes FBSE de la señal de voz y (iii) magnitud de los coeficientes FBSE de la señal de voz.

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{b}xf(x)g(x)\,dx}$$

de acuerdo a

$${\displaystyle \int _{0}^{b}xJ_{\alpha }\left({\frac {xu_{\alpha ,n}}{b}}\right)\,J_{\alpha }\left({\frac {xu_{\alpha ,m}}{b}}\right)\,dx={\frac {b^{2}}{2}}\delta _{mn}[J_{\alpha +1}(u_{\alpha ,n})]^{2},}$$

(donde: es el delta del Kronecker). Los coeficientes se pueden obtener proyectando la función f ( x ) sobre las respectivas funciones de Bessel: ${\displaystyle \delta _{mn}}$

$${\displaystyle c_{n}={\frac {\langle f,(J_{\alpha })_{n}\rangle }{\langle (J_{\alpha })_{n},(J_{\alpha })_{n}\rangle }}={\frac {\int _{0}^{b}xf(x)(J_{\alpha })_{n}(x)\,dx}{{\frac {1}{2}}(bJ_{\alpha \pm 1}(u_{\alpha ,n}))^{2}}}}$$

donde el signo más o menos es igualmente válido.

Para la transformada inversa, se utiliza la siguiente representación de la función delta de Dirac ^[4]

$${\displaystyle {\frac {2x^{\alpha }y^{1-\alpha }}{b^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {J_{\alpha }\left({\frac {xu_{\alpha ,k}}{b}}\right)\,J_{\alpha }\left({\frac {yu_{\alpha ,k}}{b}}\right)}{J_{\alpha +1}^{2}(u_{\alpha ,k})}}=\delta (x-y).}$$

Relación uno a uno entre el índice de orden ( n ) y la frecuencia continua ( ) F n {\displaystyle F_{n}}

(i) Gráfico de una función de base de Bessel arbitraria (ii) Gráfico de FFT de la función de base de Bessel considerada (iii) Gráfico de coeficientes FBSE de la función de base de Bessel considerada.

Los coeficientes de la serie de Fourier-Bessel son únicos para una señal determinada y existe un mapeo uno a uno entre la frecuencia continua ( ) y el índice de orden que se puede expresar de la siguiente manera: ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle (n)}$

${\displaystyle u_{n}={\frac {2\pi F_{n}L}{F_{s}}}}$

Desde, . Entonces la ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente manera: ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+\pi \approx n\pi }$

${\displaystyle F_{n}={\frac {F_{s}n}{2L}}}$

donde es la longitud de la señal y es la frecuencia de muestreo de la señal. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F_{s}}$

2-D- Ampliación de la serie Fourier-Bessel

Para una imagen de tamaño M × N, las ecuaciones de síntesis para la expansión de la serie 2D-Fourier-Bessel de orden 0 son las siguientes: ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{m=1}^{M}\sum _{n=1}^{N}F(m,n)J_{0}{\bigg (}{\frac {u_{0,n}y}{N}}{\bigg )}J_{0}{\bigg (}{\frac {u_{0,m}x}{M}}{\bigg )}}$

¿Dónde están los coeficientes de expansión de la serie 2D-Fourier-Bessel cuyas expresiones matemáticas son las siguientes: ${\displaystyle F(m,n)}$

${\displaystyle F(m,n)={\frac {4}{\alpha _{1}}}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}xyf(x,y)J_{0}{\bigg (}{\frac {u_{0,n}y}{N}}{\bigg )}J_{0}{\bigg (}{\frac {u_{0,m}x}{M}}{\bigg )}}$

dónde, ${\displaystyle \alpha _{1}=(NM)^{2}(J_{1}(u_{0,m})J_{1}(u_{0,n}))^{2}}$

Entropías basadas en expansión de series de Fourier-Bessel

Para una señal de longitud , la entropía espectral basada en Fourier-Bessel, como la entropía espectral de Shannon ( ), la entropía logarítmica de energía ( ) y la entropía de Wiener ( ) se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle H_{\text{SSE}}}$ ${\displaystyle H_{\text{LLE}}}$ ${\displaystyle H_{\text{WE}}}$

${\displaystyle H_{\text{SSE}}=-\sum _{n=1}^{b}P(n)~{\text{log}}_{2}\left(P(n)\right)}$

${\displaystyle H_{\text{WE}}=b{\frac {\sqrt {\displaystyle \prod _{n=1}^{b}E_{n}}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{b}E_{n}}}}$

${\displaystyle H_{\text{LE}}=-\sum _{n=1}^{b}~{\text{log}}_{2}\left(P(n)\right)}$

donde está la distribución de energía normalizada que se define matemáticamente de la siguiente manera: ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle P(n)={\frac {E_{n}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{b}E_{n}}}}$

${\displaystyle E_{n}}$es el espectro de energía que se define matemáticamente de la siguiente manera:

${\displaystyle E_{n}={\frac {c_{n}^{2}b^{2}[J_{1}(u_{1,n})]^{2}}{2}}}$

Transformada Wavelet empírica basada en la expansión de la serie Fourier Bessel

La transformada wavelet empírica (EWT) es un enfoque de procesamiento de señales de múltiples escalas para la descomposición de señales de múltiples componentes en funciones de modo intrínseco (IMF). ^[5] El EWT se basa en el diseño de un banco de filtros empírico basado en wavelets basado en la segregación del espectro de Fourier de las señales multicomponente. La segregación del espectro de Fourier de una señal multicomponente se realiza mediante la detección de picos y luego la evaluación de puntos límite. ^[5] Para señales no estacionarias, la expansión en serie de Fourier Bessel (FBSE) es la elección natural ya que utiliza la función de Bessel como base para el análisis y la síntesis de la señal. El espectro FBSE ha producido el mismo número de contenedores de frecuencia que la longitud de la señal en el rango de frecuencia [0, ]. Por lo tanto, en FBSE-EWT, los puntos límite se detectan utilizando el espectro basado en FBSE de la señal no estacionaria. Una vez obtenidos los puntos límite, se diseña el banco de filtros empírico basado en wavelets en el dominio de Fourier de la señal multicomponente para evaluar los FMI. El método basado en FBSE utilizado en FBSE-EWT ha producido un mayor número de puntos límite en comparación con la parte FFT en el método basado en EWT. Las características extraídas de los IMF de las señales de EEG y ECG obtenidas mediante un enfoque basado en FBSE-EWT han mostrado un mejor rendimiento para la detección automatizada de dolencias neurológicas y cardíacas. ${\displaystyle {\frac {F_{s}}{2}}}$

Transformada de Stockwell discreta del dominio de expansión de la serie de Fourier-Bessel

Para una señal de tiempo discreta, x(n), la transformada de Stockwell discreta del dominio FBSE (FBSE-DST) se evalúa de la siguiente manera:

$${\displaystyle T(n,l)=\sum _{m=1}^{L}Y{\Big (}m+l{\Big )}g(m,l)J_{0}{\Big (}{\frac {\lambda _{l}}{N}}n{\Big )}}$$

${\displaystyle Y(l)={\frac {2}{N^{2}[J_{1}(\lambda _{l})]^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}nx(n)J_{0}{\Big (}{\frac {\lambda _{l}}{N}}n{\Big )}}$

Se denomina raíz de la función de Bessel y se evalúa de manera iterativa basándose en la solución del método de Newton-Rapson. De manera similar, g(m,l) es la ventana gaussiana del dominio FBSE y viene dada de la siguiente manera: ${\displaystyle \lambda _{l}}$ ${\displaystyle l^{th}}$ ${\displaystyle J_{0}(\lambda _{l})=0}$

${\displaystyle g(m,l)={\text{e}}^{-{\frac {2\pi ^{2}\lambda _{m}^{2}}{\lambda _{l}^{2}}}},~{\{l,m=1,2,...L}\}}$

Algoritmo de separación de energía discreta basado en expansión de Fourier-Bessel

Para señales multicomponente de amplitud y frecuencia modulada (AM-FM), el algoritmo de separación de energía discreta (DESA) junto con el filtrado de Gabor es un enfoque tradicional para estimar las funciones envolvente de amplitud (AE) y frecuencia instantánea (IF). ^[6] Se ha observado que la operación de filtrado distorsiona las modulaciones de amplitud y fase en las señales monocomponentes separadas.

Ventajas

La expansión en serie de Fourier-Bessel no requiere el uso de la función de ventana para obtener el espectro de la señal. Representa una señal real en términos de funciones de base de Bessel reales. Proporciona representación de señales reales en términos de frecuencias positivas. Las funciones de base utilizadas son de naturaleza aperiódica y convergentes. Las funciones básicas incluyen en la representación la modulación de amplitud. El espectro de expansión de la serie Fourier-Bessel proporciona puntos de frecuencia iguales a la longitud de la señal.

Aplicaciones

La expansión de la serie de Fourier-Bessel emplea funciones de Bessel aperiódicas y decrecientes como base. La expansión de la serie Fourier-Bessel se ha aplicado con éxito en áreas diversificadas como el diagnóstico de fallas de engranajes, ^[7] discriminación de olores en un ambiente turbulento, ^[8] análisis de estabilidad postural, detección del tiempo de inicio de la voz, detección de instantes de cierre glotal (época). , separación de formantes del habla, mejora del habla, ^[9] e identificación del hablante. ^[10] La expansión de la serie de Fourier-Bessel también se ha utilizado para reducir los términos cruzados en la distribución de Wigner-Ville.

serie dini

Una segunda serie de Fourier-Bessel, también conocida como serie de Dini , está asociada con la condición de frontera de Robin.

$${\displaystyle bf'(b)+cf(b)=0,}$$

${\displaystyle c}$

$${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}J_{\alpha }(\gamma _{n}x/b),}$$

¿Dónde está el n -ésimo cero de ? ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle xJ'_{\alpha }(x)+cJ_{\alpha }(x)}$

Los coeficientes están dados por ${\displaystyle b_{n}}$

$${\displaystyle b_{n}={\frac {2\gamma _{n}^{2}}{b^{2}(c^{2}+\gamma _{n}^{2}-\alpha ^{2})J_{\alpha }^{2}(\gamma _{n})}}\int _{0}^{b}J_{\alpha }(\gamma _{n}x/b)\,f(x)\,x\,dx.}$$

Ver también

• Ortogonalidad
• Serie de Fourier generalizada
• Transformada de Hankel
• Serie Kapteyn
• polinomio de Neumann
• La serie de Schlömilch

Referencias

1. Magnus, Guillermo; Oberhettinger, Fritz; Soni, Raj Pal (1966). Fórmulas y teoremas para las funciones especiales de la física matemática. doi :10.1007/978-3-662-11761-3. ISBN 978-3-662-11763-7.
2. R., Smythe, William (1968). Electricidad estática y dinámica. - 3ª edición. McGraw-Hill. OCLC  878854927.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Schroeder, Jim (abril de 1993). "Procesamiento de señales mediante expansión de la serie Fourier-Bessel". Procesamiento de señales digitales . 3 (2): 112–124. doi :10.1006/dspr.1993.1016. ISSN  1051-2004.
4. Cahill, Kevin (2019). Matemáticas Físicas. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 385.ISBN​ 9781108470032. Consultado el 9 de marzo de 2023 .
5. Gilles, Jerome (agosto de 2013). "Transformada Wavelet empírica". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 61 (16): 3999–4010. Código Bib : 2013ITSP...61.3999G. doi :10.1109/TSP.2013.2265222. ISSN  1053-587X. S2CID  6341052.
6. Maragós, Petros; Kaiser, James F. (octubre de 1993). "Separación de energía en modulaciones de señal con aplicación al análisis del habla". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 41 (10): 3024–3051. Código Bib : 1993ITSP...41.3024M. doi : 10.1109/78.277799.
7. D'Elia, Gianluca; Delvecchio, Simone; Dalpiaz, Giorgio (2012), "Sobre el uso de la expansión de la serie Fourier-Bessel para el diagnóstico de engranajes", Monitoreo de condición de maquinaria en operaciones no estacionarias , Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, págs. 267–275, doi :10.1007/ 978-3-642-28768-8_28, ISBN 978-3-642-28767-1, recuperado el 22 de octubre de 2022
8. Vergaraa, A.; Martinelli, E.; Huerta, R.; D'Amico, A.; Di Natale, C. (2011). "Descomposición ortogonal de señales quimiosensoriales: olores discriminatorios en un ambiente turbulento". Ingeniería de Procedia . 25 : 491–494. doi : 10.1016/j.proeng.2011.12.122 . ISSN  1877-7058.
9. Gurgen, FS; Chen, CS (1990). "Mejora del habla mediante coeficientes de Fourier-Bessel del habla y el ruido". Actas de la IEE I - Comunicaciones, habla y visión . 137 (5): 290. doi :10.1049/ip-i-2.1990.0040. ISSN  0956-3776.
10. Gopalan, K.; Anderson, TR; Cupples, EJ (mayo de 1999). "Una comparación de los resultados de identificación de hablantes utilizando funciones basadas en cepstrum y expansión de Fourier-Bessel". Transacciones IEEE sobre procesamiento de voz y audio . 7 (3): 289–294. doi : 10.1109/89.759036. ISSN  1063-6676.

enlaces externos

• "Serie Fourier-Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric. W. ​"Serie Fourier-Bessel". De MathWorld : un recurso web de Wolfram .
• Serie de Fourier-Bessel aplicada al análisis del campo acústico en la página de investigación de Trinnov Audio