Cuadratura adaptativa

La cuadratura adaptativa es un método de integración numérica en el que la integral de una función se aproxima utilizando reglas de cuadratura estática en subintervalos refinados adaptativamente de la región de integración. Generalmente, los algoritmos adaptativos son tan eficientes y eficaces como los algoritmos tradicionales para integrandos "con buen comportamiento", pero también son eficaces para integrandos "con mal comportamiento" en los que los algoritmos tradicionales pueden fallar. ${\displaystyle f(x)}$

Esquema general

La cuadratura adaptativa sigue el esquema general.

1. procedimiento integrar ( f, a, b, τ )2.
3.
4. si ε > τ entonces ${\displaystyle Q\approx \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle \varepsilon \approx \left|Q-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|}$  5. metro = (a + b) / 26. Q = integrar(f, a, m, τ/2) + integrar(f, m, b, τ/2)7. endif
8. devolver Q

Se calcula una aproximación a la integral de durante el intervalo (línea 2), así como una estimación del error (línea 3). Si el error estimado es mayor que la tolerancia requerida (línea 4), el intervalo se subdivide (línea 5) y la cuadratura se aplica en ambas mitades por separado (línea 6). Se devuelve la estimación inicial o la suma de las mitades calculadas de forma recursiva (línea 7). ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \tau }$

Los componentes importantes son la propia regla de cuadratura .

${\displaystyle Q\approx \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,}$

el estimador de errores

${\displaystyle \varepsilon \approx \left|Q-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|,}$

y la lógica para decidir qué intervalo subdividir y cuándo terminar.

Hay varias variantes de este esquema. Los más comunes se discutirán más adelante.

Reglas básicas

Las reglas de cuadratura generalmente tienen la forma

${\displaystyle Q_{n}\quad =\quad \sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})\quad \approx \quad \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$

donde los nodos y los pesos generalmente se calculan previamente. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

En el caso más simple, se utilizan fórmulas de Newton-Cotes de grado par, donde los nodos están espaciados uniformemente en el intervalo: ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle x_{i}=a+{\frac {b-a}{n}}i.}$

Cuando se utilizan tales reglas, los puntos en los que se ha evaluado se pueden reutilizar mediante recursividad: ${\displaystyle f(x)}$

Se utiliza una estrategia similar con la cuadratura de Clenshaw-Curtis , donde los nodos se eligen como

${\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i}{n}}\pi \right).}$

O, cuando se usa la cuadratura de Fejér ,

${\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2(i+0.5)}{n+1}}\pi \right).}$

También se pueden utilizar otras reglas de cuadratura, como la cuadratura gaussiana o la cuadratura Gauss-Kronrod .

Un algoritmo puede optar por utilizar diferentes métodos de cuadratura en diferentes subintervalos, por ejemplo, utilizando un método de orden superior sólo cuando el integrando es suave.

Estimación de errores

Algunos algoritmos de cuadratura generan una secuencia de resultados que deberían acercarse al valor correcto. De lo contrario, se puede utilizar una "regla nula" que tiene la forma de la regla de cuadratura anterior, pero cuyo valor sería cero para un integrando simple (por ejemplo, si el integrando fuera un polinomio del grado apropiado).

Ver:

• Extrapolación de Richardson (ver también método de Romberg )
• reglas nulas
• Algoritmo épsilon

Lógica de subdivisión

La cuadratura adaptativa "local" hace que el error aceptable para un intervalo dado sea proporcional a la duración de ese intervalo. Este criterio puede ser difícil de satisfacer si los integrandos se comportan mal sólo en unos pocos puntos, por ejemplo con algunas discontinuidades de paso. Alternativamente, se podría exigir sólo que la suma de los errores en cada uno de los subintervalos sea menor que el requisito del usuario. Esta sería una cuadratura adaptativa "global". La cuadratura adaptativa global puede ser más eficiente (utiliza menos evaluaciones del integrando), pero generalmente es más compleja de programar y puede requerir más espacio de trabajo para registrar información sobre el conjunto actual de intervalos.

Ver también

• Diferenciación numérica adaptativa
• Tamaño de paso adaptable en ODE
• Método de Simpson adaptativo para un ejemplo de cuadratura adaptativa
• QUADPACK , una biblioteca FORTRAN que utiliza cuadratura adaptativa global

Notas

Referencias

• McKeeman, William (diciembre de 1962). Gotlieb, Calvino (ed.). "Algoritmo 145: integración numérica adaptativa según la regla de Simpson". Comunicaciones de la ACM (Periódicas). 5 (12). Nueva York : ACM : 604–605. doi : 10.1145/355580.369102 . eISSN  1557-7317. ISSN  0001-0782. OCLC  1011805770.
• John R. Arroz. Un metalgoritmo para cuadratura adaptativa. Journal of the ACM 22(1) págs. 61-82 (enero de 1975).
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 4.7. Cuadratura adaptativa", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8