Densidad natural

Concepto en teoría de números.

En teoría de números , la densidad natural , también conocida como densidad asintótica o densidad aritmética , es un método para medir qué tan "grande" es un subconjunto del conjunto de números naturales . Se basa principalmente en la probabilidad de encontrar miembros del subconjunto deseado al recorrer el intervalo [1, n ] a medida que n crece.

Intuitivamente se piensa que hay más números enteros positivos que cuadrados perfectos , ya que todo cuadrado perfecto ya es positivo, y además existen muchos otros números enteros positivos. Sin embargo, el conjunto de números enteros positivos no es en realidad mayor que el conjunto de cuadrados perfectos: ambos conjuntos son infinitos y contables y, por lo tanto, pueden ponerse en correspondencia uno a uno . Sin embargo, si se pasa por los números naturales, los cuadrados se vuelven cada vez más escasos. La noción de densidad natural hace que esta intuición sea precisa para muchos, pero no todos, subconjuntos de los naturales (ver densidad de Schnirelmann , que es similar a la densidad natural pero definida para todos los subconjuntos de ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Si se selecciona aleatoriamente un número entero del intervalo [1, n ] , entonces la probabilidad de que pertenezca a A es la relación entre el número de elementos de A en [1, n ] y el número total de elementos en [1, n]. ] . Si esta probabilidad tiende a algún límite cuando n tiende a infinito, entonces este límite se denomina densidad asintótica de A. Esta noción puede entenderse como una especie de probabilidad de elegir un número del conjunto A. De hecho, la densidad asintótica (así como algunos otros tipos de densidades) se estudia en la teoría probabilística de números .

Definición

Un subconjunto A de enteros positivos tiene densidad natural α si la proporción de elementos de A entre todos los números naturales del 1 al n converge a α cuando n tiende al infinito.

Más explícitamente, si se define para cualquier número natural n la función de conteo a ( n ) como el número de elementos de A menor o igual a n , entonces el hecho de que la densidad natural de A sea α significa exactamente que ^[1]

a ( n )/ n → α como n → ∞ .

De la definición se deduce que si un conjunto A tiene densidad natural α entonces 0 ≤ α ≤ 1 .

Densidad asintótica superior e inferior.

Sea un subconjunto del conjunto de números naturales. Para cualquiera , defina como la intersección y sea el número de elementos menor o igual a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A(n)}$ ${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A,}$ ${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Defina la densidad asintótica superior de (también llamada "densidad superior") por ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

límite superior

De manera similar, defina la densidad asintótica más baja de (también llamada "densidad más baja") por ${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

límite inferior ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d(A)}$ ${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$ ${\displaystyle d(A)}$

Esta definición se puede reformular de la siguiente manera:

$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

^[2]

Estas definiciones pueden expresarse de manera equivalente ^{[ cita necesaria ]} de la siguiente manera. Dado un subconjunto de , escríbalo como una secuencia creciente indexada por los números naturales: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}.}$$

$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$$

$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$$

$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$$

Una noción algo más débil de densidad es la densidad de Banach superior de un conjunto. Esto se define como ${\displaystyle d^{*}(A)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} .}$

$${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}.}$$

Propiedades y ejemplos

• Para cualquier conjunto finito F de enteros positivos, d ( F ) = 0.

• Si d ( A ) existe ^para algún conjunto A y Ac denota su conjunto complementario con respecto a , entonces d ( A ^c ) = 1 − d ( A ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$
  • Corolario: Si es finito (incluido el caso ), ${\displaystyle F\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F=\emptyset }$ ${\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}$

• Si y existe, entonces ${\displaystyle d(A),d(B),}$ ${\displaystyle d(A\cup B)}$
  $${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$$

• Si es el conjunto de todos los cuadrados, entonces d ( A ) = 0. ${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$

• Si es el conjunto de todos los números pares, entonces d ( A ) = 0,5. De manera similar, para cualquier progresión aritmética obtenemos ${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$

• Para el conjunto P de todos los primos obtenemos del teorema de los números primos que d ( P ) = 0.

• El conjunto de todos los números enteros libres de cuadrados tiene densidad. Más generalmente, el conjunto de todos los números libres de ^potencias n para cualquier n natural tiene densidad donde está la función zeta de Riemann . ${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$ ${\displaystyle \zeta (n)}$

• El conjunto de números abundantes tiene densidad distinta de cero. ^[3] Marc Deléglise demostró en 1998 que la densidad del conjunto de números abundantes está entre 0,2474 y 0,2480. ^[4]

• El conjunto

${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}$

de números cuya expansión binaria contiene un número impar de dígitos es un ejemplo de un conjunto que no tiene densidad asintótica, ya que la densidad superior de este conjunto es

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}$

mientras que su menor densidad es

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}$

• El conjunto de números cuya expansión decimal comienza con el dígito 1 tampoco tiene densidad natural: la densidad inferior es 1/9 y la densidad superior es 5/9. ^[1] (Ver la ley de Benford ).

• Considere una secuencia equidistribuida y defina una familia monótona de conjuntos: ${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$

${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.}$

Entonces, por definición, para todos . ${\displaystyle d(A_{x})=x}$ ${\displaystyle x}$

• Si S es un conjunto de densidad superior positiva, entonces el teorema de Szemerédi establece que S contiene progresiones aritméticas finitas arbitrariamente grandes , y el teorema de Furstenberg-Sárközy establece que algunos dos miembros de S difieren en un número cuadrado.

Otras funciones de densidad

Otras funciones de densidad en subconjuntos de números naturales pueden definirse de manera análoga. Por ejemplo, la densidad logarítmica de un conjunto A se define como el límite (si existe)

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}\ .}$

Las densidades logarítmicas superior e inferior también se definen de manera análoga.

Para el conjunto de múltiplos de una secuencia entera, el teorema de Davenport-Erdős establece que la densidad natural, cuando existe, es igual a la densidad logarítmica. ^[5]

Ver también

• Densidad de Dirichlet
• Conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas

Notas

1. Tenenbaum (1995) p.261
2. Nathanson (2000) págs. 256-257
3. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gerald (1988). Divisores . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 90. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 95.ISBN​ 978-0-521-34056-4. Zbl  0653.10001.
4. Deléglise, Marc (1998). "Límites de la densidad de números enteros abundantes". Matemáticas Experimentales . 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi :10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN  1058-6458. SEÑOR  1677091. Zbl  0923.11127. 
5. Hall, Richard R. (1996), Conjuntos de múltiplos, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 118, Cambridge University Press, Cambridge, Teorema 0.2, pág. 5, doi :10.1017/CBO9780511566011, ISBN 978-0-521-40424-2, señor  1414678

Referencias

• Nathanson, Melvyn B. (2000). Métodos elementales en teoría de números . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 195. Springer-Verlag . ISBN 978-0387989129. Zbl  0953.11002.
• Niven, Iván (1951). "La densidad asintótica de secuencias". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 57 (6): 420–434. doi : 10.1090/s0002-9904-1951-09543-9 . SEÑOR  0044561. Zbl  0044.03603.
• Steuding, Jörn (2002). "Teoría probabilística de números" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de diciembre de 2011 . Consultado el 16 de noviembre de 2014 .
• Tenenbaum, Gerald (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 46. ​​Prensa de la Universidad de Cambridge . Zbl  0831.11001.

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