Conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas

Propiedad de conjuntos grandes

La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas , a menudo denominada conjetura de Erdős-Turán , es una conjetura en combinatoria aritmética (no debe confundirse con la conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas ). Afirma que si la suma de los recíprocos de los miembros de un conjunto A de números enteros positivos diverge, entonces A contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas .

Formalmente, la conjetura establece que si A es un conjunto grande en el sentido de que

$${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}\ =\ \infty ,}$$

entonces A contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud dada, lo que significa que para cada entero positivo k hay un entero a y un entero distinto de cero tal que . ${\displaystyle \{a,a{+}c,a{+}2c,\ldots ,a{+}kc\}\subset A}$

Historia

En 1936, Erdős y Turán hicieron la conjetura más débil de que cualquier conjunto de números enteros con densidad natural positiva contiene infinitas progresiones aritméticas de 3 términos. ^[1] Esto fue demostrado por Klaus Roth en 1952, y Szemerédi lo generalizó a progresiones aritméticas arbitrariamente largas en 1975 en lo que ahora se conoce como el teorema de Szemerédi .

En una charla de 1976 titulada "A la memoria de mi amigo y colaborador de toda la vida Paul Turán", Paul Erdős ofreció un premio de 3.000 dólares estadounidenses por una prueba de esta conjetura. ^[2] En 2008, el problema valía 5.000 dólares estadounidenses. ^[3]

Progreso y resultados relacionados

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Todo conjunto grande de números naturales contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas puede verse como una versión más sólida del teorema de Szemerédi. Debido a que la suma de los recíprocos de los números primos diverge, el teorema de Green-Tao sobre progresiones aritméticas es un caso especial de la conjetura.

La afirmación más débil de que A debe contener infinitas progresiones aritméticas de longitud 3 es consecuencia de una cota mejorada en el teorema de Roth . Un artículo de 2016 de Bloom ^[4] demostró que si no contiene progresiones aritméticas de tres términos no triviales, entonces . ${\displaystyle A\subset \{1,..,N\}}$ ${\displaystyle |A|\ll N(\log {\log {N}})/\log {N}}$

En 2020, una preimpresión de Bloom y Sisask ^[5] mejoró el límite para alguna constante absoluta . ${\displaystyle |A|\ll N/(\log {N})^{1+c}}$ ${\displaystyle c>0}$

En 2023, una preimpresión de Kelley y Meka dio un nuevo límite de ^{[6] [7]} y cuatro días después, Bloom y Sisask simplificaron el resultado y, con una pequeña mejora, lo convirtieron en . ^[8] ${\displaystyle 2^{-O((\log N)^{c})}\cdot N}$ ${\displaystyle |A|\leq \exp(-c(\log N)^{1/11})N}$

Ver también

• Problemas que involucran progresiones aritméticas.
• Lista de sumas de recíprocos
• Lista de conjeturas de Paul Erdős
• Teorema de Müntz-Szász

Referencias

1. Erdős, Paul ; Turán, Paul (1936), "Sobre algunas secuencias de números enteros" (PDF) , Journal of the London Mathematical Society , 11 (4): 261–264, doi :10.1112/jlms/s1-11.4.261.
2. Problemas de teoría de números y combinatoria , en Actas de la Sexta Conferencia de Manitoba sobre Matemáticas Numéricas (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), Congreso. Número. XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977
3. pág. 354, Soifer, Alejandro (2008); El libro de colorear matemático: las matemáticas de colorear y la colorida vida de sus creadores ; Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-74640-1 
4. Floración, Thomas F. (2016). "Una mejora cuantitativa del teorema de Roth sobre progresiones aritméticas". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda Serie. 93 (3): 643–663. arXiv : 1405.5800 . doi :10.1112/jlms/jdw010. SEÑOR  3509957. S2CID  27536138.
5. Floración, Thomas F.; Sisask, Olof (2020). "Romper la barrera logarítmica en el teorema de Roth sobre progresiones aritméticas". arXiv : 2007.03528 [matemáticas.NT].
6. Kelley, Zander; Meka, Raghu (10 de febrero de 2023). "Límites fuertes para 3 progresiones". arXiv : 2302.05537 [matemáticas.NT].
7. Sloman, Leila (21 de marzo de 2023). "Prueba sorpresa en informática aturde a los matemáticos". Revista Quanta .
8. Floración, Thomas F.; Sisask, Olof (14 de febrero de 2023). "Los límites Kelley-Meka para conjuntos libres de progresiones aritméticas de tres términos". Teoría de números esencial . 2 : 15–44. arXiv : 2302.07211 . doi :10.2140/ent.2023.2.15.

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres , Fasc 2., Exp. N° 24, págs. 7,
• P. Erdős y P. Turán, Sobre algunas secuencias de números enteros, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
• P. Erdős: Problemas de teoría de números y combinatoria, Proc. Sexta Conferencia de Manitoba. en Núm. Matemáticas, Número del Congreso. XVIII (1977), 35–58.
• P. Erdős: Sobre los problemas combinatorios que más me gustaría ver resueltos, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi :10.1007/BF02579174

enlaces externos

• ¿La conjetura de Erdős-Turán o la conjetura de Erdős? en MathOverflow