En matemáticas , la densidad de Dirichlet (o densidad analítica ) de un conjunto de números primos , llamada así en honor a Peter Gustav Lejeune Dirichlet , es una medida del tamaño del conjunto que es más fácil de utilizar que la densidad natural .
Si A es un subconjunto de números primos, la densidad de Dirichlet de A es el límite
si existiera. Tenga en cuenta que dado que (consulte la función Prime zeta ), esto también es igual a
Esta expresión suele ser el orden del " polo " de
en s = 1 (aunque en general no es realmente un polo ya que tiene orden no integral), al menos si esta función es una función holomorfa multiplicada por una potencia (real) de s −1 cerca de s = 1. Por ejemplo , si A es el conjunto de todos los primos, es la función zeta de Riemann la que tiene un polo de orden 1 en s = 1, por lo que el conjunto de todos los primos tiene densidad de Dirichlet 1.
De manera más general, se puede definir la densidad de Dirichlet de una secuencia de números primos (o potencias primarias), posiblemente con repeticiones, de la misma manera.
Si un subconjunto de números primos A tiene una densidad natural, dada por el límite de
entonces también tiene una densidad de Dirichlet y las dos densidades son iguales. Sin embargo, suele ser más fácil demostrar que un conjunto de números primos tiene una densidad de Dirichlet, y esto es suficiente para muchos propósitos. Por ejemplo, al demostrar el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , es fácil demostrar que el conjunto de números primos en una progresión aritmética a + nb (para a , b coprimos) tiene una densidad de Dirichlet 1/φ( b ), que es suficiente para demostrar que hay un número infinito de tales números primos, pero es más difícil demostrar que ésta es la densidad natural.
En términos generales, demostrar que algún conjunto de números primos tiene una densidad de Dirichlet distinta de cero generalmente implica demostrar que ciertas L -funciones no desaparecen en el punto s = 1, mientras que demostrar que tienen una densidad natural implica demostrar que las L -funciones tienen no hay ceros en la línea Re( s ) = 1.
En la práctica, si algún conjunto de números primos "que ocurren naturalmente" tiene una densidad de Dirichlet, entonces también tiene una densidad natural, pero es posible encontrar contraejemplos artificiales: por ejemplo, el conjunto de números primos cuyo primer dígito decimal es 1 no tiene densidad natural. densidad, pero tiene densidad de Dirichlet log(2)/log(10). [1]
