Densidad natural

Concepto en la teoría de números

En teoría de números , la densidad natural , también denominada densidad asintótica o densidad aritmética , es un método para medir cuán "grande" es un subconjunto del conjunto de números naturales . Se basa principalmente en la probabilidad de encontrar miembros del subconjunto deseado al recorrer el intervalo [1, n ] a medida que n crece.

Intuitivamente, se piensa que hay más números enteros positivos que cuadrados perfectos , ya que cada cuadrado perfecto ya es positivo, y además existen muchos otros números enteros positivos. Sin embargo, el conjunto de números enteros positivos no es de hecho mayor que el conjunto de cuadrados perfectos: ambos conjuntos son infinitos y contables y, por lo tanto, pueden ponerse en correspondencia biunívoca . Sin embargo, si uno recorre los números naturales, los cuadrados se vuelven cada vez más escasos. La noción de densidad natural hace que esta intuición sea precisa para muchos, pero no todos, los subconjuntos de los naturales (véase la densidad de Schnirelmann , que es similar a la densidad natural pero definida para todos los subconjuntos de ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Si se selecciona aleatoriamente un número entero del intervalo [1, n ] , entonces la probabilidad de que pertenezca a A es la relación entre el número de elementos de A en [1, n ] y el número total de elementos en [1, n ] . Si esta probabilidad tiende a un límite a medida que n tiende a infinito, entonces este límite se denomina densidad asintótica de A. Esta noción puede entenderse como un tipo de probabilidad de elegir un número del conjunto A. De hecho, la densidad asintótica (así como algunos otros tipos de densidades) se estudia en la teoría probabilística de números .

Definición

Un subconjunto A de números enteros positivos tiene densidad natural α si la proporción de elementos de A entre todos los números naturales de 1 a n converge a α cuando n tiende a infinito.

Más explícitamente, si uno define para cualquier número natural n la función de conteo a ( n ) como el número de elementos de A menores o iguales a n , entonces la densidad natural de A siendo α significa exactamente que ^[1]

a ( n )/ n → α como n → ∞ .

De la definición se deduce que si un conjunto A tiene densidad natural α entonces 0 ≤ α ≤ 1 .

Densidad asintótica superior e inferior

Sea un subconjunto del conjunto de números naturales. Para cualquier , defina como la intersección y sea el número de elementos menores o iguales a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A(n)}$ ${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A,}$ ${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Defina la densidad asintótica superior de (también llamada "densidad superior") por donde lim sup es el límite superior . ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

De manera similar, defina la densidad asintótica inferior de (también llamada "densidad inferior") por donde lim inf es el límite inferior . Se puede decir que tiene densidad asintótica si , en cuyo caso es igual a este valor común. ${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d(A)}$ ${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$ ${\displaystyle d(A)}$

Esta definición puede replantearse de la siguiente manera: si existe este límite. ^[2] $${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

Estas definiciones pueden expresarse de manera equivalente ^{[ cita requerida ]} de la siguiente manera. Dado un subconjunto de , escríbalo como una secuencia creciente indexada por los números naturales: Entonces y si existe el límite. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}.}$$ $${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$$ $${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$$ $${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$$

Una noción algo más débil de densidad es la densidad de Banach superior de un conjunto. Esta se define como ${\displaystyle d^{*}(A)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} .}$ $${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}.}$$

Propiedades y ejemplos

• Para cualquier conjunto finito F de números enteros positivos, d ( F ) = 0.
• Si d ( A ) existe para algún conjunto A y A ^c denota su conjunto complementario con respecto a , entonces d ( A ^c ) = 1 − d ( A ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$
  • Corolario: Si es finito (incluido el caso ), ${\displaystyle F\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F=\emptyset }$ ${\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}$
• Si y existen, entonces ${\displaystyle d(A),d(B),}$ ${\displaystyle d(A\cup B)}$ $${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$$
• Si es el conjunto de todos los cuadrados, entonces d ( A ) = 0. ${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$
• Si es el conjunto de todos los números pares, entonces d ( A ) = 0,5. De manera similar, para cualquier progresión aritmética obtenemos ${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$
• Para el conjunto P de todos los números primos obtenemos del teorema de los números primos que d ( P ) = 0.
• El conjunto de todos los números enteros libres de cuadrados tiene densidad De manera más general, el conjunto de todos los números libres de n - ^ésima potencia para cualquier n natural tiene densidad donde es la función zeta de Riemann . ${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$ ${\displaystyle \zeta (n)}$
• El conjunto de números abundantes tiene una densidad distinta de cero. ^[3] Marc Deléglise demostró en 1998 que la densidad del conjunto de números abundantes está entre 0,2474 y 0,2480. ^[4]
• El conjunto de números cuya expansión binaria contiene un número impar de dígitos es un ejemplo de un conjunto que no tiene una densidad asintótica, ya que la densidad superior de este conjunto es mientras que su densidad inferior es $${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}$$ $${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}$$ $${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}$$
• El conjunto de números cuya expansión decimal comienza con el dígito 1 tampoco tiene densidad natural: la densidad inferior es 1/9 y la densidad superior es 5/9. ^[1] (Véase la ley de Benford ).
• Consideremos una secuencia equidistribuida en y definamos una familia monótona de conjuntos: Entonces, por definición, para todo . ${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$ $${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.}$$ ${\displaystyle d(A_{x})=x}$ ${\displaystyle x}$
• Si S es un conjunto de densidad superior positiva, entonces el teorema de Szemerédi establece que S contiene progresiones aritméticas finitas arbitrariamente grandes , y el teorema de Furstenberg-Sárközy establece que algunos dos miembros de S difieren en un número cuadrado.

Otras funciones de densidad

Otras funciones de densidad de subconjuntos de los números naturales pueden definirse de forma análoga. Por ejemplo, la densidad logarítmica de un conjunto A se define como el límite (si existe)

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}\ .}$

Las densidades logarítmicas superior e inferior también se definen de forma análoga.

Para el conjunto de múltiplos de una secuencia de números enteros, el teorema de Davenport-Erdős establece que la densidad natural, cuando existe, es igual a la densidad logarítmica. ^[5]

Véase también

• Densidad de Dirichlet
• Conjetura de Erdös sobre progresiones aritméticas

Notas

1. Tenenbaum (1995) pág. 261
2. Nathanson (2000) págs. 256-257
3. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald (1988). Divisores . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 90. Cambridge: Cambridge University Press . pág. 95. ISBN. 978-0-521-34056-4.Zbl 0653.10001  .
4. Deléglise, Marc (1998). "Límites para la densidad de números enteros abundantes". Experimental Mathematics . 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi :10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN  1058-6458. MR  1677091. Zbl  0923.11127. 
5. Hall, Richard R. (1996), Conjuntos de múltiplos, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 118, Cambridge University Press, Cambridge, Teorema 0.2, pág. 5, doi :10.1017/CBO9780511566011, ISBN 978-0-521-40424-2, Sr.  1414678

Referencias

• Nathanson, Melvyn B. (2000). Métodos elementales en teoría de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 195. Springer-Verlag . ISBN. 978-0387989129.Zbl 0953.11002  .
• Niven, Ivan (1951). "La densidad asintótica de secuencias". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 57 (6): 420–434. doi : 10.1090/s0002-9904-1951-09543-9 . MR  0044561. Zbl  0044.03603.
• Steuding, Jörn (2002). «Teoría probabilística de números» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de diciembre de 2011. Consultado el 16 de noviembre de 2014 .
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press . Zbl  0831.11001.

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