Número de Pisot-Vijayaraghavan

Tipo de entero algebraico

En matemáticas , un número de Pisot-Vijayaraghavan , también llamado simplemente número de Pisot o número PV , es un entero algebraico real mayor que 1, todos cuyos conjugados de Galois son menores que 1 en valor absoluto . Estos números fueron descubiertos por Axel Thue en 1912 y redescubiertos por GH Hardy en 1919 dentro del contexto de la aproximación diofántica . Se hicieron ampliamente conocidos después de la publicación de la disertación de Charles Pisot en 1938. También ocurren en el problema de unicidad de las series de Fourier . Tirukkannapuram Vijayaraghavan y Raphael Salem continuaron sus estudios en la década de 1940. Los números de Salem son un conjunto de números estrechamente relacionados.

Una propiedad característica de los números PV es que sus potencias se aproximan a números enteros a una tasa exponencial. Pisot demostró un recíproco notable : si α  > 1 es un número real tal que la secuencia

${\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}$

medir la distancia desde sus potencias consecutivas al entero más cercano es sumable al cuadrado , o ℓ ² , entonces α es un número de Pisot (y, en particular, algebraico). Basándose en esta caracterización de los números PV, Salem demostró que el conjunto S de todos los números PV es cerrado . Su elemento mínimo es una irracionalidad cúbica conocida como relación plástica . Se sabe mucho sobre los puntos de acumulación de S. El más pequeño de ellos es la proporción áurea .

Definición y propiedades

Un entero algebraico de grado n es una raíz α de un polinomio mónico irreducible P ( x ) de grado n con coeficientes enteros, su polinomio mínimo . Las otras raíces de P ( x ) se llaman conjugados de α . Si α  > 1 pero todas las demás raíces de P ( x ) son números reales o complejos de valor absoluto menor que 1, de modo que se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario en el plano complejo , entonces α se llama número de Pisot , Pisot-Vijayaraghavan número , o simplemente número PV . Por ejemplo, la proporción áurea , φ ≈ 1,618, es un entero cuadrático real mayor que 1, mientras que el valor absoluto de su conjugado, − φ ⁻¹ ≈ −0,618, es menor que 1. Por lo tanto, φ es un número de Pisot . Su polinomio mínimo es x ² − x − 1.

Propiedades elementales

• Cada número entero mayor que 1 es un número PV. Por el contrario, todo número racional de PV es un número entero mayor que 1.
• Si α es un número PV irracional cuyo polinomio mínimo termina en k, entonces α es mayor que | k  |.
• Si α es un número PV entonces también lo son sus potencias α ^k , para todos los exponentes enteros positivos k .
• Cada campo de números algebraicos reales K de grado n contiene un número PV de grado n . Este número es un generador de campo. El conjunto de todos los números PV de grado n en K está cerrado bajo multiplicación.
• Dado un límite superior M y un grado n , solo hay un número finito de números PV de grado n que son menores que M.
• Cada número PV es un número de Perron (un número algebraico real mayor que uno, todos cuyos conjugados tienen un valor absoluto menor).

Propiedades diofánticas

El principal interés por las cifras fotovoltaicas se debe a que sus potencias tienen una distribución muy "sesgada" (mod 1). Si α es un número PV y λ es cualquier entero algebraico en el campo , entonces la secuencia ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

${\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|,}$

donde || x || denota la distancia desde el número real x al entero más cercano, se acerca a 0 a una tasa exponencial. En particular, es una secuencia sumable al cuadrado y sus términos convergen a 0.

Se conocen dos afirmaciones inversas: caracterizan a los números PV entre todos los números reales y entre los números algebraicos (pero bajo un supuesto diofántico más débil).

• Supongamos que α es un número real mayor que 1 y λ es un número real distinto de cero tal que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}<\infty .}$

Entonces α es un número de Pisot y λ es un número algebraico en el campo ( teorema de Pisot ). ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

• Supongamos que α es un número algebraico mayor que 1 y λ es un número real distinto de cero tal que

${\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|\to 0,\quad n\to \infty .}$

Entonces α es un número de Pisot y λ es un número algebraico en el campo . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

Un viejo problema de Pisot-Vijayaraghavan pregunta si el supuesto de que α es algebraico puede eliminarse de la última afirmación. Si la respuesta es afirmativa, los números de Pisot se caracterizarían entre todos los números reales por la simple convergencia de || λα ⁿ || a 0 para algún real auxiliar λ . Se sabe que sólo hay un número contable de números α con esta propiedad. ^{[ cita requerida ]} El problema es decidir si alguno de ellos es trascendental .

Propiedades topológicas

El conjunto de todos los números de Pisot se denota como S. Como los números de Pisot son algebraicos, el conjunto S es contable. Raphael Salem demostró que este conjunto es cerrado : contiene todos sus puntos límite . ^[1] Su prueba utiliza una versión constructiva de la principal propiedad diofántica de los números de Pisot: ^[2] dado un número de Pisot α , se puede elegir un número real λ de modo que 0 < λ ≤ α y

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}\leq 9.}$

Así, la norma ℓ ² de la secuencia || λα ^norte || puede estar acotado por una constante uniforme independiente de α . En el último paso de la prueba, se invoca la caracterización de Pisot para concluir que el límite de una secuencia de números de Pisot es en sí mismo un número de Pisot.

El carácter cerrado de S implica que tiene un elemento mínimo . Carl Siegel demostró que es la raíz positiva de la ecuación x 3 ⁻ x − 1 = 0 ( constante plástica ) y está aislada en S. ^[3] Construyó dos secuencias de números de Pisot que convergen a la proporción áurea φ desde abajo y preguntó si φ es el punto límite más pequeño de S. Esto fue demostrado más tarde por Dufresnoy y Pisot, quienes también determinaron todos los elementos de S que son menores que φ ; no todos pertenecen a las dos secuencias de Siegel. Vijayaraghavan demostró que S tiene infinitos puntos límite; de hecho, la secuencia de conjuntos derivados

${\displaystyle S,S',S'',\ldots }$

no termina. Por otro lado, la intersección de estos conjuntos está vacía , lo que significa que el rango de Cantor-Bendixson de S es ω . Aún más exactamente, se ha determinado el tipo de orden de S. ^[4] ${\displaystyle S^{(\omega )}}$

El conjunto de los números de Salem , denotados por T , está íntimamente relacionado con S. Se ha demostrado que S está contenido en el conjunto T' de los puntos límite de T . ^{[5] [6]} Se ha conjeturado que la unión de S y T es cerrada. ^[7]

irracionales cuadráticos

Si es un irracional cuadrático sólo existe otro conjugado, , que se obtiene cambiando el signo de la raíz cuadrada de ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =a+{\sqrt {D}}{\text{ to }}\alpha '=a-{\sqrt {D}}\,}$

o de

${\displaystyle \alpha ={\frac {a+{\sqrt {D}}}{2}}{\text{ to }}\alpha '={\frac {a-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}$

Aquí a y D son números enteros y en el segundo caso a es impar y D es congruente con 1 módulo 4.

Las condiciones requeridas son α  > 1 y −1 <  α'  < 1. Estas se satisfacen en el primer caso exactamente cuando a  > 0 y o o , y en el segundo caso exactamente cuando y o o . ${\displaystyle (a-1)^{2}<D<a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<D<(a+1)^{2}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle (a-2)^{2}<D<a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<D<(a+2)^{2}}$

Por tanto, los primeros irracionales cuadráticos que son números PV son:

Potencias de los números PV

Los números de Pisot-Vijayaraghavan se pueden utilizar para generar números casi enteros : la enésima potencia de un número de Pisot se acerca a los números enteros a medida que n crece. Por ejemplo,

${\displaystyle (3+{\sqrt {10}})^{6}=27379+8658{\sqrt {10}}=54757.9999817\dots \approx 54758-{\frac {1}{54758}}.}$

Dado que y difieren solo por ${\displaystyle 27379\,}$ ${\displaystyle 8658{\sqrt {10}}\,}$ ${\displaystyle 0.0000182\dots ,\,}$

${\displaystyle {\frac {27379}{8658}}=3.162277662\dots }$

está muy cerca de

${\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660\dots .}$

En efecto

${\displaystyle \left({\frac {27379}{8658}}\right)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}}.}$

Las potencias superiores dan correspondientemente mejores aproximaciones racionales.

Esta propiedad surge del hecho de que para cada n , la suma de n- ésimas potencias de un entero algebraico x y sus conjugados es exactamente un número entero; esto se desprende de una aplicación de las identidades de Newton . Cuando x es un número de Pisot, las n -ésimas potencias de los otros conjugados tienden a 0 cuando n tiende a infinito. Dado que la suma es un número entero, la distancia de x ⁿ al número entero más cercano tiende a 0 a una tasa exponencial.

Números de Pisot pequeños

Todos los números de Pisot que no exceden la proporción áurea φ han sido determinados por Dufresnoy y Pisot. La siguiente tabla enumera diez números Pisot más pequeños en orden creciente. ^[8]

Como estos números de PV son menores que 2, todos son unidades: sus polinomios mínimos terminan en 1 o −1. Los polinomios de esta tabla, ^[9] con excepción de

${\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,}$

son factores de cualquiera de los dos

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+1}$

o

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1).}$

El primer polinomio es divisible por x ²  − 1 cuando n es impar y por x  − 1 cuando n es par . Tiene otro cero real, que es un número PV. Dividir cualquier polinomio por x ⁿ da expresiones que se aproximan a x ²  −  x  − 1 a medida que n crece mucho y tienen ceros que convergen a φ . Un par complementario de polinomios,

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-1}$

y

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,}$

produce números de Pisot que se aproximan a φ desde arriba.

El modelado de turbulencia bidimensional que utiliza cadenas espirales logarítmicas con autosemejanza definida por un factor de escala constante se puede reproducir con algunos números de Pisot pequeños. ^[10]

Referencias

1. Salem, R. (1944). "Una clase notable de números enteros algebraicos. Prueba de una conjetura de Vijayaraghavan". Duque Matemáticas. J.​ 11 : 103-108. doi :10.1215/s0012-7094-44-01111-7. Zbl  0063.06657.
2. Salem (1963) p.13
3. Siegel, Carl Ludwig (1944). "Enteros algebraicos cuyos conjugados se encuentran en el círculo unitario". Duque Matemáticas. J.​ 11 : 597–602. doi :10.1215/S0012-7094-44-01152-X. Zbl  0063.07005.
4. Boyd, David W .; Mauldin, R. Daniel (1996). "El tipo de orden del conjunto de números Pisot". Topología y sus aplicaciones . 69 : 115-120. doi : 10.1016/0166-8641(95)00029-1 .
5. Salem, R. (1945). "Serie de potencias con coeficientes integrales". Duque Matemáticas. J.​ 12 : 153-172. doi :10.1215/s0012-7094-45-01213-0. Zbl  0060.21601.
6. Salem (1963) p.30
7. Salem (1963) pág. 31
8. Dufresnoy, J.; Pisot, cap. (1955), "Etude de sures fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d'entiers algébriques", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés), 72 : 69–92, SEÑOR  0072902. Los más pequeños de estos números se enumeran en orden numérico en la p. 92.
9. Bertín y otros, pág. 133.
10. O. D. Gürcan; Shaokang Xu; P. Morel (2019). "Modelos de cadena espiral de turbulencia bidimensional". Revisión física E. 100 . arXiv : 1903.09494 . doi : 10.1103/PhysRevE.100.043113.

• MJ Bertín; A. Decomps-Guilloux; el señor Grandet-Hugot; M. Pathiaux-Delefosse; JP Schreiber (1992). Números de Pisot y Salem . Birkhäuser. ISBN 3-7643-2648-4.
• Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Libros CMS de Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001.Cap. 3.
• Boyd, David W. (1978). "Números de Pisot y Salem en intervalos de la recta real". Matemáticas. comp . 32 : 1244-1260. doi : 10.2307/2006349 . ISSN  0025-5718. Zbl  0395.12004.
• Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts en Matemáticas y Física Matemática. vol. 45. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 133-144.
• Hardy, GH (1919). "Un problema de aproximación diofántica". J. Matemáticas indias. Soc . 11 : 205–243.
• O. D. Gürcan; Shaokang Xu; P. Morel (2019). "Modelos de cadena espiral de turbulencia bidimensional". Revisión física E. 100 . arXiv : 1903.09494 . doi : 10.1103/PhysRevE.100.043113.
• Pisot, Charles (1938). "La répartition módulo 1 et nombres algébriques". Ana. Carolina del Sur. Norma. Súper. PisaII . Ser. 7 (en francés): 205–248. Zbl  0019.15502.
• Salem, Rafael (1963). Números algebraicos y análisis de Fourier . Monografías de matemáticas de salud. Boston, MA: DC Heath and Company . Zbl  0126.07802.
• Martes, Axel (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Größe haben kann". Christiania Vidensk. selsk. Skrifter . 2 (20): 1–15. JFM  44.0480.04.

enlaces externos

• Número Pisot, Enciclopedia de Matemáticas
• Terr, David y Weisstein, Eric W. "Número de pisot". MundoMatemático .