Las operaciones matemáticas de multiplicación tienen varias aplicaciones a la música . Además de su aplicación a las proporciones de frecuencia de los intervalos (por ejemplo, entonación justa y la duodécima raíz de dos en temperamento igual ), se ha utilizado de otras maneras para la técnica dodecafónica y la teoría de conjuntos musicales . Además, la modulación en anillo es un proceso de audio eléctrico que implica multiplicación y que se ha utilizado para efectos musicales.
Una operación multiplicativa es un mapeo en el que se multiplica el argumento . [3] La multiplicación se originó intuitivamente en la expansión de intervalos , incluida la rotación del número de orden de las filas de tonos , por ejemplo en la música de Béla Bartók y Alban Berg . [4] La rotación del número de tono, Fünferreihe o "cinco series" y Siebenerreihe o "siete series", fue descrita por primera vez por Ernst Krenek en Über neue Musik . [5] [4] Teóricos de Princeton, incluidos James K. Randall , [6] Godfrey Winham, [7] y Hubert S. Howe [8] "fueron los primeros en discutirlos y adoptarlos, no sólo en lo que respecta a [ sic ] a series dodecafónicas". [9]
Cuando se trata de conjuntos de clases de tono , la multiplicación de módulo 12 es una operación común. Al tratar con los doce tonos , o una fila de tonos , sólo hay unos pocos números por los que se puede multiplicar una fila y aun así terminar con un conjunto de doce tonos distintos. Tomando la forma prima o inalterada como P 0 , la multiplicación se indica mediante M x , siendo x el multiplicador:
La siguiente tabla enumera todas las posibles multiplicaciones de una fila cromática de doce tonos:
Tenga en cuenta que sólo M 1 , M 5 , M 7 y M 11 proporcionan un mapeo uno a uno (un conjunto completo de 12 tonos únicos). Esto se debe a que cada uno de estos números es primo relativo con respecto a 12. También es interesante que la escala cromática se asigna al círculo de cuartas con M 5 o quintas con M 7 y, de manera más general, bajo M 7 todos los números pares permanecen iguales mientras los números impares se transponen mediante un tritono . Este tipo de multiplicación se combina frecuentemente con una operación de transposición . Fue descrito por primera vez en forma impresa por Herbert Eimert , bajo los términos "Quartverwandlung" (cuarta transformación) y "Quintverwandlung" (quinta transformación), [10] y ha sido utilizado por los compositores Milton Babbitt , [11] [12] Robert Morris. , [13] y Charles Wuorinen . [14] Esta operación también explica ciertas transformaciones armónicas en el jazz. [15]
Por lo tanto, la multiplicación por las dos operaciones significativas (5 y 7) puede designarse con M 5 ( a ) y M 7 ( a ) o M e IM . [4]
Pierre Boulez [16] [ dudoso ] describió una operación que llamó multiplicación de tono , que es algo similar [ se necesita aclaración ] al producto cartesiano de conjuntos de clases de tono. Dados dos conjuntos, el resultado de la multiplicación del tono será el conjunto de sumas ( módulo 12) de todos los posibles pares de elementos entre los dos conjuntos originales. Su definición:
Por ejemplo, si se multiplica un acorde de do mayor por una díada que contiene do , re , el resultado es:
En este ejemplo, un conjunto de tres tonos multiplicado por un conjunto de dos tonos da un nuevo conjunto de tonos 3 × 2. Dado el espacio limitado de la aritmética de módulo 12, al utilizar este procedimiento muy a menudo se producen tonos duplicados, que generalmente se omiten. Esta técnica se utilizó de manera más famosa en Le Marteau sans maître de Boulez de 1955 , así como en su Tercera Sonata para piano , Estructuras II , "Don" y "Tombeau" de Pli selon pli , Eclat (y Eclat múltiples ), Figuras—Dobles—Prismes. , Domaines y Cummings ist der Dichter , así como la obra coral retirada Oubli signal lapidé (1952). [17] [18] [19] Esta operación, al igual que la multiplicación aritmética y la combinación transposicional de clases de conjuntos, es conmutativa . [20]
Howard Hanson llamó a esta operación de convolución matemática conmutativa "superposición" [21] o "proyección @" y usó la notación "/" indistintamente. Por lo tanto, "p@m" o "p/m" significa "quinta justa en tercera mayor", por ejemplo: { CEGB }. Señaló específicamente que se podían multiplicar dos formas de tríada, o una tríada multiplicada por sí misma, para producir una escala resultante. Esta última "cuadratura" de una tríada produce una escala particular altamente saturada en los casos de la tríada fuente. [22] Así, "pmn", el nombre de Hanson para la tríada mayor común, cuando se eleva al cuadrado, es "PMN", por ejemplo: {CDEGG ♯ B}.
Nicolas Slonimsky utilizó esta operación, no generalizada, para formar 1300 escalas multiplicando los tritonos simétricos , los acordes aumentados , los acordes de séptima disminuida y las escalas de tonos enteros por la suma de 3 factores a los que llamó interpolación, infrapolación y ultrapolación. [23] La combinación de interpolación, infrapolación y ultrapolación, formando oblicuamente infrainterpolación, infraultrapolación e infrainterultrapolación, suma aditivamente lo que es efectivamente una segunda sonoridad. Esta segunda sonoridad, multiplicada por la primera, da su fórmula para generar escalas y sus armonizaciones .
Joseph Schillinger utilizó la idea, no desarrollada, para categorizar los estilos armónicos comunes del siglo XIX y principios del XX como producto del movimiento de raíces armónico horizontal y la estructura armónica vertical. [24] Algunos de los estilos de los compositores que cita aparecen en la siguiente tabla de multiplicar.
La aproximación de los 12 tonos de la música occidental mediante matemáticas de módulo 12 , formando el círculo de medios pasos , significa que los intervalos musicales también pueden considerarse como ángulos en un sistema de coordenadas polares , apilamiento de intervalos idénticos como funciones de movimiento armónico y transposición. como rotación alrededor de un eje . Por lo tanto, en el ejemplo de multiplicación anterior de Hanson, "p@m" o "p/m" ("quinta perfecta en tercera mayor", por ejemplo: { CEGB }) también significa "quinta justa, superpuesta a quinta justa girada 1/3 de la circunferencia del Círculo de Medios Pasos". A continuación se muestra una tabla de conversión de intervalos a medidas angulares (tomada como números negativos para la rotación en el sentido de las agujas del reloj):
Esta interpretación angular de los intervalos es útil para visualizar un ejemplo muy práctico de multiplicación en la música: los géneros de Euler-Fokker utilizados para describir la afinación de entonación justa de los instrumentos de teclado. [25] Cada género representa una función armónica como "3 quintas perfectas apiladas" u otra sonoridad como {CGDF ♯ }, que, cuando se multiplica por los ángulos correctos de copia, llena aproximadamente el espacio circunferencial 12TET del Círculo. de quintas . Sería posible, aunque no musicalmente bonito, afinar una tríada aumentada de dos terceras mayores perfectas sin tiempo , luego (multiplicando) afinar dos quintas templadas arriba y 1 debajo de cada nota del acorde aumentado; este es el género Euler-Fokker [555]. Se obtiene un resultado diferente comenzando con las "3 quintas perfectas apiladas" y a partir de estas notas sin ritmo afinando una tercera mayor templada arriba y abajo; este es el género Euler-Fokker [333].
Joseph Schillinger describió una operación de " multiplicación de tiempo polinomial " ( polinomio se refiere a cualquier ritmo que consta de más de una duración) que corresponde aproximadamente a la de multiplicación de tono mencionada anteriormente. [26] Un tema, reducido a una serie consistente de números enteros que representan la duración de las notas negra, octava o semicorchea de cada una de las notas del tema, podría multiplicarse por sí mismo o por la serie de otro tema para producir un tema coherente y variación relacionada. Especialmente, la serie de un tema podría elevarse al cuadrado o al cubo o llevarse a potencias superiores para producir una saturación de material relacionado.
Herbert Eimert describió lo que llamó los "ocho modos" de la serie de doce tonos, todos reflejados unos de otros. La inversa se obtiene a través de un espejo horizontal, la retrógrada a través de un espejo vertical, la inversa retrógrada a través de un espejo horizontal y uno vertical, y la "transformada de ciclo de cuartas" o Quartverwandlung y "ciclo de quintas". transform" o Quintverwandlung obtenido a través de un espejo inclinado. [28] Con los retrógrados de estas transformadas y los primos, hay ocho permutaciones .
Además, se puede mover el espejo en un ángulo, es decir, el "ángulo" de un cuarto o un quinto, de modo que la fila cromática se refleje en ambos ciclos. ... De esta forma se obtiene la transformada de ciclo de cuartas y la transformada de ciclo de quintas de la fila.<ref>Eimert 1950, 29, traducido en Schuijer 2008, 81
Joseph Schillinger abrazó no sólo las operaciones contrapuntísticas inversa , retrógrada y retrógrada-inversa (operaciones de multiplicación de matrices en el espacio vectorial euclidiano ), sino también sus contrapartes rítmicas. Por lo tanto, podría describir una variación del tema usando los mismos tonos en el mismo orden, pero empleando sus valores de tiempo originales en orden retrógrado . Vio el alcance de este universo multiplicador más allá de la simple reflexión , para incluir la transposición y la rotación (posiblemente con proyección de regreso a la fuente), así como la dilatación cuyo uso anteriormente se había limitado a la dimensión del tiempo (mediante aumento y disminución ). [29] Por lo tanto, podría describir otra variación del tema, o incluso de una escala básica, multiplicando los semitonos entre cada par sucesivo de notas por algún factor, posiblemente normalizándolo a la octava mediante la operación Módulo -12, ( [30]
Algunos acordes relacionados con Z están conectados por M o IM (multiplicación por 5 o multiplicación por 7), debido a entradas idénticas para 1 y 5 en el vector APIC . [31]
Fuentes
