Multilateración de pseudorango

Técnica de navegación y vigilancia

La multilateración de pseudorango , a menudo simplemente multilateración ( MLAT ) cuando está en contexto, es una técnica para determinar la posición de un punto desconocido, como un vehículo, basándose en la medición de tiempos de vuelo (TOF) sesgados de ondas de energía que viajan entre el vehículo y múltiples estaciones en ubicaciones conocidas. Los TOF están sesgados por errores de sincronización en la diferencia entre los tiempos de llegada (TOA) y los tiempos de transmisión (TOT): TOF=TOA-TOT . Los pseudorango (PR) son TOF multiplicados por la velocidad de propagación de la onda: PR=TOF ⋅ s . En general, se supone que los relojes de las estaciones están sincronizados, pero el reloj del vehículo está desincronizado.

En MLAT para vigilancia , las ondas son transmitidas por el vehículo y recibidas por las estaciones; el TOT es único y desconocido, mientras que los TOA son múltiples y conocidos. Cuando se utiliza MLAT para navegación (como en la navegación hiperbólica ), las ondas son transmitidas por las estaciones y recibidas por el vehículo; en este caso, los TOT son múltiples pero conocidos, mientras que el TOA es único y desconocido. En aplicaciones de navegación, el vehículo a menudo se denomina "usuario"; en aplicaciones de vigilancia, el vehículo puede denominarse "objetivo".

El reloj del vehículo se considera una incógnita adicional, que se debe estimar junto con las coordenadas de posición del vehículo. Si es el número de dimensiones físicas que se están considerando (por ejemplo, 2 para un avión) y es el número de señales recibidas (por lo tanto, los TOF medidos), se requiere que . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\geq d+1}$

Generalmente se requiere procesamiento para extraer los TOA o sus diferencias de las señales recibidas, y generalmente se requiere un algoritmo para resolver este conjunto de ecuaciones. Un algoritmo: (a) determina valores numéricos para el TOT (para el reloj del receptor) y las coordenadas del vehículo; o (b) ignora el TOT y forma (al menos ) diferencias de tiempo de llegada (TDOA), que se utilizan para encontrar las coordenadas del vehículo. Casi siempre, (por ejemplo, un plano o la superficie de una esfera) o (por ejemplo, el mundo físico real). Los sistemas que forman TDOA también se denominan sistemas hiperbólicos , ^[1] por las razones que se analizan a continuación. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle d=3}$

Un sistema de navegación de multilateración proporciona información de la posición del vehículo a una entidad "que se encuentra" en el vehículo (por ejemplo, un piloto de avión o un operador de receptor GPS). Un sistema de vigilancia de multilateración proporciona la posición del vehículo a una entidad "que no se encuentra" en el vehículo (por ejemplo, un controlador de tráfico aéreo o un proveedor de telefonía móvil). Por el principio de reciprocidad, cualquier método que se pueda utilizar para la navegación también se puede utilizar para la vigilancia, y viceversa (se utiliza la misma información).

Se han desarrollado sistemas para algoritmos TOT y TDOA (que ignoran TOT). En este artículo, se abordan primero los algoritmos TDOA, ya que se implementaron primero. Debido a la tecnología disponible en ese momento, los sistemas TDOA a menudo determinaban la ubicación de un vehículo en dos dimensiones. Los sistemas TOT se abordan en segundo lugar. Se implementaron, aproximadamente, después de 1975 y generalmente involucran satélites. Debido a los avances tecnológicos, los algoritmos TOT generalmente determinan la ubicación de un usuario/vehículo en tres dimensiones. Sin embargo, conceptualmente, los algoritmos TDOA o TOT no están vinculados con la cantidad de dimensiones involucradas.

Fondo

Antes de la implementación del GPS y otros sistemas globales de navegación por satélite (GNSS), los sistemas de multilateración de pseudorango se definían a menudo como (sinónimo de) sistemas TDOA, es decir, sistemas que medían TDOA o formaban TDOA como primer paso en el procesamiento de un conjunto de TOA medidos. Sin embargo, como resultado de la implementación de los GNSS (que deben determinar el TOT), surgieron dos cuestiones: (a) ¿Qué tipo de sistema son los GNSS (multilateración de pseudorango, multilateración de rango verdadero u otro tipo de sistema)? (b) ¿Cuáles son las características definitorias de un sistema de multilateración de pseudorango? (No hay sistemas de vigilancia de multilateración implementados que determinen el TOT, pero se han analizado. ^[2] )

• La respuesta técnica a la pregunta (a) se conoce desde hace mucho tiempo: los GNSS son una variedad (o subespecie) de sistemas de navegación multilateración que tienen transmisores móviles. ^{[3] [4]} Sin embargo, debido a que los transmisores no solo están sincronizados entre sí sino también con un estándar de tiempo, los receptores GNSS también son fuentes de información de tiempo. Esto requiere algoritmos de solución diferentes a los de los sistemas TDOA. Por lo tanto, también se puede argumentar que los GNSS son una categoría separada de sistemas.
• No existe una respuesta autorizada para (b). Sin embargo, una respuesta razonable en dos partes es (1) un sistema cuyas únicas mediciones son TDOA o TOA (o, si se tiene en cuenta la velocidad de propagación, solo mide pseudodistancias ); y (2) un sistema cuyos relojes de estación deben estar sincronizados . (Nota: la propagación de ondas es necesaria según esta definición). Esta definición se utiliza aquí e incluye tanto los sistemas GNSS como los TDOA. Los sistemas TDOA son explícitamente hiperbólicos, mientras que los sistemas TOA son implícitamente hiperbólicos.

Principio

Frecuencias y formas de onda

Se han desarrollado sistemas de navegación de multilateración de pseudorango que utilizan una variedad de frecuencias de radio y formas de onda: pulsos de baja frecuencia (por ejemplo, Loran-C); sinusoides continuos de baja frecuencia (por ejemplo, Decca); banda ancha continua de alta frecuencia (por ejemplo, GPS). Los sistemas de vigilancia de multilateración de pseudorango a menudo utilizan transmisores pulsados ​​existentes (si son adecuados), por ejemplo, Shot-Spotter, ASDE-X y WAM.

Marco de coordenadas

Prácticamente siempre, el marco de coordenadas se selecciona en función de las trayectorias de las ondas. Por lo tanto, los marcos cartesianos bidimensionales o tridimensionales se seleccionan con mayor frecuencia, en función de la propagación de las ondas en línea recta (línea de visión). Sin embargo, a veces se utilizan marcos polares (también denominados circulares/esféricos) para concordar con las trayectorias de propagación de las ondas en la superficie terrestre curvas. Dado el tipo de marco, se puede seleccionar el origen y la orientación de los ejes, por ejemplo, en función de las ubicaciones de las estaciones. Se pueden utilizar transformaciones de marcos de coordenadas estándar para colocar los resultados en cualquier marco deseado. Por ejemplo, los receptores GPS generalmente calculan su posición utilizando coordenadas rectangulares y luego transforman el resultado en latitud, longitud y altitud.

Formación de TDOA

Dadas las señales recibidas, los sistemas TDOA forman diferencias de pares TOA (consulte "Cálculo de TDOA o TOA a partir de señales recibidas" a continuación). Todas las señales recibidas deben ser miembros de al menos un par TDOA, pero de lo contrario las diferencias utilizadas son arbitrarias (cualquiera de los dos conjuntos de TDOA se pueden relacionar mediante una transformación lineal invertible). Por lo tanto, al formar un TDOA, el orden de los dos TOA involucrados no es importante. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m-1}$

Algunos sistemas TDOA operativos (por ejemplo, Loran-C) designan una estación como "principal" y forman sus TDOA como la diferencia entre el TOA de la principal y los TOA de las estaciones "secundarias". Cuando , existen posibles combinaciones de TDOA, cada una correspondiente a una estación que es la principal de facto. Cuando , existen posibles conjuntos de TDOA, de los cuales no tienen una principal de facto. Cuando , existen posibles conjuntos de TDOA, de los cuales no tienen una principal de facto. ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle m=4}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle m=5}$ ${\displaystyle 135}$ ${\displaystyle 130}$

Principio TDOA / vigilancia

Si se emite un pulso desde un vehículo, generalmente llegará en momentos ligeramente diferentes a sitios receptores separados espacialmente; los diferentes tiempos de llegada se deben a las diferentes distancias de cada receptor respecto del vehículo. Sin embargo, para las ubicaciones dadas de dos receptores cualesquiera, un conjunto de ubicaciones de emisores daría la misma diferencia de tiempo (TDOA). Dadas dos ubicaciones de receptores y una TDOA conocida, el lugar geométrico de las posibles ubicaciones de emisores es la mitad de un hiperboloide de dos láminas .

Fig. 1. Un hiperboloide de dos láminas

En términos simples, con dos receptores en ubicaciones conocidas, un emisor puede ubicarse en un hiperboloide (ver Figura 1). ^[5] Nótese que los receptores no necesitan saber el tiempo absoluto en el que se transmitió el pulso, solo se necesita la diferencia de tiempo. Sin embargo, para formar un TDOA útil a partir de dos TOA medidos, los relojes del receptor deben estar sincronizados entre sí.

Consideremos ahora un tercer receptor en una tercera ubicación que también tiene un reloj sincronizado. Esto proporcionaría una tercera medición TOA independiente y un segundo TDOA (hay un tercer TDOA, pero depende de los dos primeros TDOA y no proporciona información adicional). El emisor está ubicado en la curva determinada por los dos hiperboloides que se intersecan. Se necesita un cuarto receptor para otro TOA y TDOA independientes. Esto proporcionará un hiperboloide adicional, la intersección de la curva con este hiperboloide proporciona una o dos soluciones, el emisor se ubica entonces en una de las dos soluciones.

Con cuatro receptores sincronizados hay 3 TDOA independientes y se necesitan tres parámetros independientes para un punto en el espacio tridimensional (y para la mayoría de las constelaciones, tres TDOA independientes seguirán dando dos puntos en el espacio tridimensional). Con receptores adicionales se puede obtener una mayor precisión (en concreto, para GPS y otros GNSS, la atmósfera influye en el tiempo de viaje de la señal y más satélites dan una ubicación más precisa). Para una constelación sobredeterminada (más de 4 satélites/TOA), se puede utilizar un método de mínimos cuadrados para "reducir" los errores. El promedio en tiempos más largos también puede mejorar la precisión.

La precisión también mejora si los receptores se colocan en una configuración que minimice el error en la estimación de la posición. ^[6]

El emisor puede cooperar o no en el proceso de vigilancia por multilateración. Por lo tanto, la vigilancia por multilateración se utiliza con "usuarios" no cooperadores para fines militares y científicos, así como con usuarios cooperadores (por ejemplo, en el transporte civil).

Principio TDOA / Navegación

La multilateración también puede ser utilizada por un solo receptor para localizarse a sí mismo, midiendo las señales emitidas desde transmisores sincronizados en ubicaciones conocidas (estaciones). Se necesitan al menos tres emisores para la navegación bidimensional (por ejemplo, la superficie de la Tierra); se necesitan al menos cuatro emisores para la navegación tridimensional. Aunque no es cierto para los sistemas reales, para fines expositivos, se puede considerar que los emisores transmiten pulsos estrechos (idealmente, impulsos) exactamente al mismo tiempo en frecuencias separadas (para evitar interferencias). En esta situación, el receptor mide los tiempos de propagación de los pulsos. En los sistemas TDOA reales, las señales recibidas se correlacionan de forma cruzada con una réplica sin retardo para extraer el pseudorretardo, luego se diferencian con el mismo cálculo para otra estación y se multiplican por la velocidad de propagación para crear diferencias de rango.

Se han implementado varios métodos para evitar la autointerferencia. Un ejemplo histórico es el sistema británico Decca , desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial. Decca utilizó la diferencia de fase de tres transmisores. Más tarde, Omega elaboró ​​este principio. Para Loran-C , introducido a fines de la década de 1950, todos los transmisores transmiten pulsos en la misma frecuencia con diferentes retrasos de tiempo pequeños. Los GNSS transmiten continuamente en la misma frecuencia portadora modulada por diferentes códigos pseudoaleatorios (GPS, Galileo, GLONASS revisado).

Principio TOT

Fig. 2. Concepto de algoritmo TOT del sistema de vigilancia de multilateración

El concepto TOT se ilustra en la Figura 2 para la función de vigilancia y un escenario planar ( ). La aeronave A, en las coordenadas , transmite una secuencia de pulsos en el tiempo . La transmisión se recibe en las estaciones , y en los tiempos , y respectivamente. Con base en los tres TOA medidos, el algoritmo de procesamiento calcula una estimación del TOT , a partir del cual se puede calcular el rango entre la aeronave y las estaciones. Luego se encuentran las coordenadas de la aeronave. ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ ${\displaystyle t_{A}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle t_{3}}$ ${\displaystyle t_{A}}$ ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$

Cuando el algoritmo calcula el TOT correcto, los tres rangos calculados tienen un punto de intersección común que es la ubicación de la aeronave (los círculos de línea continua en la Figura 2). Si el TOT calculado es posterior al TOT real, los rangos calculados no tienen un punto de intersección común (círculos de línea discontinua en la Figura 2). Está claro que se puede encontrar un algoritmo TOT iterativo. De hecho, el GPS se desarrolló utilizando algoritmos TOT iterativos. Los algoritmos TOT de forma cerrada se desarrollaron más tarde.

Los algoritmos TOT adquirieron importancia con el desarrollo del GPS. GLONASS y Galileo emplean conceptos similares. El principal factor de complicación para todos los GNSS es que las estaciones (transmisores en satélites) se mueven continuamente en relación con la Tierra. Por lo tanto, para calcular su propia posición, el receptor de navegación de un usuario debe conocer las ubicaciones de los satélites en el momento en que se transmite la información en la escala de tiempo del receptor (que se utiliza para medir los TOA). Para lograr esto: (1) las trayectorias de los satélites y los TOT en las escalas de tiempo de los satélites se incluyen en los mensajes de transmisión; y (2) los receptores del usuario encuentran la diferencia entre su TOT y el TOT transmitido por el satélite (denominado sesgo o desfase del reloj). Los relojes de los satélites GPS están sincronizados con la hora UTC (con una diferencia publicada de unos pocos segundos), así como entre sí. Esto permite que los receptores GPS proporcionen la hora UTC además de su posición.

Geometría de medición y factores relacionados

Coordenadas rectangulares/cartesianas

Fig. 3. Geometría TDOA del sistema de vigilancia

Considere un emisor (E en la Figura 3) en un vector de ubicación desconocido

${\displaystyle {\vec {E}}=(x,y,z),}$

que deseamos localizar (problema de vigilancia). La fuente está dentro del alcance de los receptores en ubicaciones conocidas ${\displaystyle m=n+1}$

${\displaystyle {\vec {P}}_{0},{\vec {P}}_{1},\ldots ,{\vec {P}}_{i},\ldots ,{\vec {P}}_{n}.}$

El subíndice se refiere a cualquiera de los receptores: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\vec {P}}_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i}),}$

${\displaystyle 0\leq i\leq n.}$

La distancia ( ) del emisor a uno de los receptores en términos de las coordenadas es ${\displaystyle R_{i}}$

Para algunos algoritmos de solución, el cálculo se hace más fácil al colocar el origen en uno de los receptores ( P ₀ ), lo que hace que su distancia al emisor sea

Coordenadas esféricas

Las ondas de radio de baja frecuencia siguen la curvatura de la Tierra ( trayectorias de círculo máximo ) en lugar de líneas rectas. En esta situación, la ecuación 1 no es válida. Loran-C ^[7] y Omega ^[8] son ​​ejemplos de sistemas que utilizan rangos esféricos. Cuando un modelo esférico para la Tierra es satisfactorio, la expresión más simple para el ángulo central (a veces denominado ángulo geocéntrico ) entre el vehículo y la estación i es ${\displaystyle \theta _{vi}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \cos \theta _{vi}=\sin \varphi _{v}\sin \varphi _{i}+\cos \varphi _{v}\cos \varphi _{i}\cos(\lambda _{v}-\lambda _{i}),}$

donde las latitudes se indican con , y las longitudes con . Se pueden encontrar expresiones equivalentes alternativas y con mejor comportamiento numérico en navegación de círculo máximo . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$

La distancia desde el vehículo hasta la estación i a lo largo de un gran círculo será entonces ${\displaystyle R_{i}}$

${\displaystyle R_{i}=R_{E}\,\theta _{vi},}$

donde es el radio supuesto de la Tierra , y se expresa en radianes. ${\displaystyle R_{E}}$ ${\displaystyle \theta _{vi}}$

Hora de transmisión (desfase o sesgo del reloj del usuario)

Antes de los GNSS, era de poca utilidad determinar el TOT (tal como lo conoce el receptor) o su equivalente en el contexto de la navegación, el desfase entre los relojes del receptor y del transmisor. Además, cuando se desarrollaron esos sistemas, los recursos informáticos eran bastante limitados. En consecuencia, en esos sistemas (por ejemplo, Loran-C, Omega, Decca), los receptores trataban el TOT como un parámetro molesto y lo eliminaban formando diferencias TDOA (de ahí que se los denominara sistemas TDOA o de diferencia de alcance). Esto simplificaba los algoritmos de solución. Incluso si se necesitaba el TOT (en tiempo del receptor) (por ejemplo, para calcular la velocidad del vehículo), se podía encontrar el TOT a partir de un TOA, la ubicación de la estación asociada y la ubicación calculada del vehículo.

Con la llegada del GPS y, posteriormente, de otros sistemas de navegación por satélite: (1) el TOT, tal como lo conoce el receptor del usuario, proporciona información necesaria y útil; y (2) la capacidad de cálculo ha aumentado significativamente. Los relojes de los satélites GPS están sincronizados no sólo entre sí, sino también con el Tiempo Universal Coordinado (UTC) (con un desfase publicado) y sus ubicaciones se conocen en relación con el UTC. Por lo tanto, los algoritmos utilizados para la navegación por satélite calculan la posición del receptor y su desfase de reloj (equivalente al TOT) simultáneamente. A continuación, el reloj del receptor se ajusta para que su TOT coincida con el TOT del satélite (que se conoce mediante el mensaje GPS). Al encontrar el desfase del reloj, los receptores GNSS son una fuente de información de tiempo y de posición. El cálculo del TOT es una diferencia práctica entre los GNSS y los sistemas de multilateración TDOA anteriores, pero no es una diferencia fundamental. En primer orden, los errores de estimación de la posición del usuario son idénticos. ^[9]

Ajustes del TOA

Las ecuaciones que rigen los sistemas de multilateración (que se basan en la equivalencia de la "distancia" con la "velocidad de propagación" por el "tiempo de vuelo") suponen que la velocidad de propagación de las ondas de energía es constante e igual a lo largo de todas las trayectorias de la señal. Esto equivale a suponer que el medio de propagación es homogéneo. Sin embargo, esto no siempre es lo suficientemente preciso; algunas trayectorias pueden implicar retrasos de propagación adicionales debido a inhomogeneidades en el medio. En consecuencia, para mejorar la precisión de la solución, algunos sistemas ajustan los tiempos de propagación medidos para tener en cuenta dichos retrasos de propagación. Así, los sistemas de aumento de GNSS basados ​​en el espacio (por ejemplo, el Sistema de aumento de área amplia (WAAS) y el Servicio Europeo de Navegación Geoestacionaria por Superposición (EGNOS)) proporcionan ajustes del tiempo de propagación en tiempo real para tener en cuenta la ionosfera. De manera similar, las agencias del gobierno de los Estados Unidos solían proporcionar ajustes a las mediciones de Loran-C para tener en cuenta las variaciones de conductividad del suelo.

Algoritmos de solución

Comportamiento general del algoritmo

Generalmente, utilizando un algoritmo directo (no iterativo), las ecuaciones de medición se pueden reducir a una única "ecuación de solución" escalar no lineal que tiene una variable desconocida (de alguna manera análoga a la eliminación de Gauss-Jordan para ecuaciones lineales), por ejemplo, un polinomio cuadrático en una coordenada cartesiana del vehículo. ^[10] La posición del vehículo y el TOT luego siguen fácilmente en secuencia. Cuando , las ecuaciones de medición generalmente tienen dos conjuntos de soluciones (pero a veces cuatro), solo uno de los cuales es "correcto" (produce el verdadero TOT y la posición del vehículo en ausencia de errores de medición). La(s) solución(es) "incorrecta(s)" a la ecuación de solución no corresponden a la posición del vehículo y el TOT y son ambiguas (producen otras posiciones del vehículo que tienen las mismas mediciones) o extrañas (no proporcionan posiciones del vehículo que tienen las mismas mediciones, pero son el resultado de manipulaciones matemáticas). ${\displaystyle m=d+1}$ ${\displaystyle m=d+1}$

Sin mediciones redundantes (es decir, ), todos los algoritmos válidos producen el mismo conjunto de soluciones "correctas" (pero quizás uno o más conjuntos diferentes de soluciones "incorrectas"). Por supuesto, los errores de medición estadísticamente mayores dan como resultado errores estadísticamente mayores en las coordenadas del vehículo calculadas correctamente y el TOT. Con mediciones redundantes (es decir, ), se minimiza una función de pérdida o función de costo (también llamada función de error) (una función de pérdida cuadrática es común). Con mediciones redundantes en ausencia de errores de medición, las ecuaciones de medición generalmente tienen una solución única. Si hay errores de medición, diferentes algoritmos producen diferentes soluciones "correctas"; algunas son estadísticamente mejores que otras. ${\displaystyle m=d+1}$ ${\displaystyle m>d+1}$

Consideraciones sobre la selección de algoritmos

Existen múltiples categorías de algoritmos de multilateración, y algunas categorías tienen múltiples miembros. Quizás el primer factor que rige la selección del algoritmo: ¿se requiere una estimación inicial de la posición del usuario (como lo hacen los algoritmos iterativos ) o no? Los algoritmos directos (de forma cerrada) estiman la posición del usuario utilizando solo los TOA medidos y no requieren una estimación de posición inicial. Un factor relacionado que rige la selección del algoritmo: ¿el algoritmo se automatiza fácilmente o, por el contrario, se necesita/espera la interacción humana? La mayoría de los algoritmos directos (de forma cerrada) tienen múltiples soluciones, lo que es perjudicial para su automatización. Un tercer factor es: ¿el algoritmo funciona bien tanto con el número mínimo ( ) de mediciones de TOA como con mediciones adicionales (redundantes)? ${\displaystyle d+1}$

Los algoritmos directos se pueden clasificar además en función de la trayectoria de propagación de las ondas de energía: recta o curva. La última es aplicable a las ondas de radio de baja frecuencia, que siguen la superficie de la Tierra; la primera se aplica a frecuencias más altas (por ejemplo, superiores a un megahercio) y a distancias más cortas (cientos de millas).

Esta taxonomía tiene cinco categorías: cuatro para algoritmos directos y una para algoritmos iterativos (que se pueden utilizar con una o más mediciones y con cualquier tipo de trayectoria de propagación). Sin embargo, parece que solo se han implementado algoritmos en tres de estas categorías. Cuando se dispone de mediciones redundantes para cualquiera de las trayectorias de propagación de ondas, se ha optado por los algoritmos iterativos en lugar de los algoritmos de forma cerrada. ^[11] A menudo, los sistemas en tiempo real emplean algoritmos iterativos, mientras que los estudios fuera de línea utilizan algoritmos de forma cerrada. ${\displaystyle d+1}$

Todos los algoritmos de multilateración suponen que las ubicaciones de las estaciones son conocidas en el momento en que se transmite cada onda. En los sistemas TDOA, las estaciones están fijas a la Tierra y se registran sus ubicaciones. En los sistemas TOA, los satélites siguen órbitas bien definidas y transmiten información orbital. (Para la navegación, el reloj del receptor del usuario debe estar sincronizado con los relojes del transmisor; esto requiere que se encuentre la TOT). La ecuación 3 es el hiperboloide descrito en la sección anterior, donde 4 receptores (0 ≤ m ≤ 3) conducen a 3 ecuaciones no lineales en 3 coordenadas cartesianas desconocidas (x, y, z). El sistema debe entonces resolver la ubicación desconocida del usuario (a menudo, el vehículo) en tiempo real. (Una variación: los sistemas de multilateración de control de tráfico aéreo utilizan el mensaje del transpondedor SSR Modo C para encontrar la altitud de una aeronave. Se utilizan tres o más receptores en ubicaciones conocidas para encontrar las otras dos dimensiones: (x, y) para una aplicación de aeropuerto, o latitud/longitud para aplicaciones fuera del aeropuerto).

Steven Bancroft fue aparentemente el primero en publicar una solución en forma cerrada al problema de localizar un usuario (por ejemplo, un vehículo) en tres dimensiones y el TOT común utilizando cuatro o más mediciones TOA. ^[12] El algoritmo de Bancroft, como muchos otros, reduce el problema a la solución de una ecuación algebraica cuadrática; su solución produce las tres coordenadas cartesianas del receptor, así como el TOT de la señal común. Posteriormente se desarrollaron otras soluciones comparables. ^{[13] [14] [15] [16] [17]} Cabe destacar que todas las soluciones en forma cerrada se encontraron una década o más después de que se iniciara el programa GPS utilizando métodos iterativos.

Las soluciones de forma cerrada a menudo implican elevar al cuadrado la distancia o el pseudorango para evitar la linealización local de una operación de raíz cuadrada. Sin embargo, este aumento al cuadrado altera las estadísticas de ruido y puede conducir a soluciones subóptimas. Por lo general, se emplea una simplificación de dos pasos: primero, se resuelve un problema de mínimos cuadrados lineales ignorando las restricciones esféricas (distancia al cuadrado) y luego se encuentra la intersección con la restricción. Este enfoque puede sufrir una degradación del rendimiento en presencia de ruido.

Una técnica más refinada implica resolver directamente un problema de "mínimos cuadrados restringidos", al mismo tiempo que se abordan las estadísticas de ruido modificadas. Si bien este método puede no producir una solución de forma cerrada y a menudo requiere enfoques iterativos, ofrece ventajas significativas. Al pasar por alto la linealización local, facilita la convergencia a un mínimo global sin necesidad de una estimación inicial. Además, tiende a encontrar menos mínimos locales y demuestra una mayor precisión, en particular en entornos ruidosos.

La solución de mínimos cuadrados restringidos para sistemas TDOA fue aparentemente propuesta inicialmente por Huang et al. ^[18] y explorada más a fondo por investigadores posteriores. ^{[19] [20] [21]} Se introdujeron metodologías similares para sistemas TOT ^[22] que también ilustran cómo convertir un problema de TDOA a TOT incorporando una ecuación adicional y un sesgo de reloj desconocido. La solución TOT supera a la solución TDOA debido a la susceptibilidad de esta última a la coloración de ruido, causada por la sustracción del TOA de la estación de referencia. También se analiza la versión robusta como las "desviaciones absolutas mínimas restringidas" y muestra un rendimiento superior a los mínimos cuadrados en escenarios que involucran ruido no gaussiano y contaminación de mediciones atípicas.

La solución de la posición de una aeronave que tiene una altitud conocida utilizando 3 mediciones TOA requiere resolver un polinomio cuártico (de cuarto orden). ^{[9] [23]}

Los sistemas de multilateración y los estudios que emplean mediciones de rango esférico (por ejemplo, Loran-C, Decca, Omega) utilizaron una variedad de algoritmos de solución basados ​​en métodos iterativos o trigonometría esférica. ^[24]

Algoritmos cartesianos tridimensionales

Para las coordenadas cartesianas, cuando se dispone de cuatro TOA y se necesita el TOT, el algoritmo de Bancroft ^[12] u otro algoritmo de forma cerrada (directo) son opciones, incluso si las estaciones están en movimiento. Cuando las cuatro estaciones son estacionarias y no se necesita el TOT, la extensión del algoritmo de Fang (basado en DTOA) a tres dimensiones es una opción. ^[9] Otra opción, y probablemente la más utilizada en la práctica, es el método iterativo de mínimos cuadrados no lineales de Gauss-Newton. ^{[11] [9]}

La mayoría de los algoritmos de forma cerrada reducen la búsqueda de la ubicación del vehículo del usuario a partir de los TOA medidos a la solución de una ecuación cuadrática. Una solución de la ecuación cuadrática proporciona la ubicación del usuario. La otra solución es ambigua o extraña; ambas pueden ocurrir (la que sea depende de las dimensiones y la ubicación del usuario). Generalmente, eliminar la solución incorrecta no es difícil para un humano, pero puede requerir el movimiento del vehículo y/o información de otro sistema. Un método alternativo utilizado en algunos sistemas de multilateración es emplear el método NLLS de Gauss-Newton y requerir un TOA redundante cuando se establece por primera vez la vigilancia de un vehículo. A partir de entonces, solo se requiere el número mínimo de TOA.

Los sistemas de navegación por satélite como el GPS son los ejemplos más destacados de multilateración 3D. ^{[3] [4]} La multilateración de área amplia (WAM), un sistema de vigilancia de aeronaves en 3D, emplea una combinación de tres o más mediciones de TOA y un informe de altitud de la aeronave.

Algoritmos cartesianos bidimensionales

Para encontrar la ubicación de un usuario en una geometría cartesiana bidimensional (2-D), se puede adaptar uno de los muchos métodos desarrollados para la geometría 3-D, la mayoría motivados por el GPS, por ejemplo, el de Bancroft ^[25] o el de Krause ^[14] . Además, existen algoritmos TDOA especializados para dos dimensiones y estaciones en ubicaciones fijas; el más notable es el método de Fang ^{[10] .}

Se ha realizado una comparación de algoritmos cartesianos 2-D para la vigilancia de la superficie de los aeropuertos. ^[26] Sin embargo, al igual que en la situación 3-D, es probable que los algoritmos más utilizados se basen en el NLLS de Gauss-Newton. ^{[11] [9]}

Ejemplos de sistemas de multilateración cartesiana 2-D son los que se utilizan en los principales aeropuertos de muchos países para vigilar aeronaves en la superficie o a altitudes muy bajas.

Algoritmos esféricos bidimensionales

Razin ^[24] desarrolló un algoritmo de forma cerrada para una Tierra esférica. Williams y Last ^[27] extendieron la solución de Razin a un modelo de Tierra esférica osculadora.

Cuando sea necesario debido a la combinación de la distancia entre el vehículo y la estación (por ejemplo, cientos de millas o más) y la precisión de la solución requerida, se debe considerar la forma elipsoidal de la Tierra. Esto se ha logrado utilizando el método Gauss-Newton NLLS ^[28] junto con los algoritmos elipsoidales de Andoyer, ^[29] Vincenty ^[30] y Sodano. ^[31]

Ejemplos de sistemas de navegación multilateral "esféricos" en 2D que tuvieron en cuenta la forma elipsoidal de la Tierra son los sistemas de radionavegación Loran-C y Omega , ambos operados por grupos de naciones. Se cree que sus homólogos rusos, CHAYKA y Alpha (respectivamente), funcionan de manera similar.

Solución cartesiana con recursos computacionales limitados

Consideremos un escenario cartesiano tridimensional. Mejorar la precisión con una gran cantidad de receptores (por ejemplo, , numerados ) puede ser un problema para dispositivos con pequeños procesadores integrados, debido al tiempo necesario para resolver varias ecuaciones no lineales simultáneas ( 1 , 2 , 3 ). El problema TDOA se puede convertir en un sistema de ecuaciones lineales cuando hay tres o más receptores, lo que puede reducir el tiempo de cálculo. Comenzando con la ecuación 3 , resuelva para , eleve al cuadrado ambos lados, junte los términos y divida todos los términos por : ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle 0,1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle c\tau _{i}=R_{i}-R_{0}}$

Al eliminar el término se eliminarán todos los términos de raíz cuadrada. Esto se hace restando la ecuación TDOA del receptor de cada uno de los otros ( ) ${\displaystyle 2R_{0}}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle 2\leq m\leq n}$

Concéntrese por un momento en la ecuación 1. Eleva al cuadrado , agrupa los términos similares y utiliza la ecuación  2 para reemplazar algunos de los términos con . ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$

Combine las ecuaciones 5 y 6 , y escríbalas como un conjunto de ecuaciones lineales (para ) de la ubicación del emisor desconocido ${\displaystyle 2\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x,y,z}$

Utilice la ecuación 7 para generar las cuatro constantes a partir de las distancias y el tiempo medidos para cada receptor . Esto será un conjunto de ecuaciones lineales no homogéneas. ${\displaystyle A_{i},B_{i},C_{i},D_{i}}$ ${\displaystyle 2\leq i\leq n}$ ${\displaystyle n-1}$

Existen muchos métodos robustos de álgebra lineal que pueden resolver , como la eliminación gaussiana . El capítulo 15 de Recetas numéricas ^[32] describe varios métodos para resolver ecuaciones lineales y estimar la incertidumbre de los valores resultantes. ${\displaystyle (x,y,z)}$

Algoritmos iterativos

La característica definitoria y la principal desventaja de los métodos iterativos es que se requiere una estimación inicial "razonablemente precisa" de la ubicación del "vehículo". Si la estimación inicial no es lo suficientemente cercana a la solución, el método puede no converger o puede converger a una solución ambigua o extraña. Sin embargo, los métodos iterativos tienen varias ventajas: ^[11]

• Puede utilizar medidas redundantes ${\displaystyle (m>d+1)}$
• Puede utilizar ecuaciones de medición no invertibles: permite, por ejemplo, el uso de geometrías de problemas complejos como una superficie terrestre elipsoidal.
• Puede utilizar mediciones que carecen de una expresión analítica (por ejemplo, descritas por un algoritmo numérico y/o que involucran datos medidos). Lo que se requiere es la capacidad de calcular una solución candidata (por ejemplo, rango de la estación del usuario) a partir de cantidades hipotéticas de posición del usuario (por ejemplo, latitud y longitud).
• Apto para procesamiento automatizado (evita las soluciones extrañas y ambiguas que ocurren en los algoritmos directos)
• Puede tratar errores de medición aleatorios de forma lineal, lo que permite promediar y así minimizar su efecto sobre el error de posición. ${\displaystyle m>d+1}$

Muchos sistemas de multilateración en tiempo real proporcionan una secuencia rápida de soluciones de posición del usuario; por ejemplo, los receptores GPS suelen proporcionar soluciones a intervalos de 1 segundo. Casi siempre, estos sistemas implementan: (a) un modo de "adquisición" transitoria (vigilancia) o "inicio en frío" (navegación), mediante el cual la ubicación del usuario se encuentra únicamente a partir de las mediciones actuales; y (b) un modo de "seguimiento" (vigilancia) o "inicio en caliente" (navegación) de estado estable, mediante el cual la ubicación previamente calculada del usuario se actualiza en función de las mediciones actuales (lo que hace que la principal desventaja de los métodos iterativos sea irrelevante). A menudo, los dos modos emplean algoritmos diferentes y/o tienen diferentes requisitos de medición, siendo (a) más exigente. El algoritmo iterativo Gauss-Newton se utiliza a menudo para (b) y puede utilizarse para ambos modos.

Cuando hay más mediciones de TOA que cantidades desconocidas (por ejemplo, 5 o más TOA de satélites GPS), a menudo se prefiere el algoritmo iterativo de Gauss-Newton para resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales (NLLS). Excepto en el caso de ubicaciones patológicas de estaciones, una situación sobredeterminada elimina posibles soluciones ambiguas o extrañas que pueden ocurrir cuando solo se dispone del número mínimo de mediciones de TOA. Otra ventaja importante del método de Gauss-Newton sobre algunos algoritmos de forma cerrada es que trata los errores de medición de forma lineal, que suele ser su naturaleza, reduciendo así el efecto de los errores de medición mediante el promedio. El método de Gauss-Newton también se puede utilizar con el número mínimo de mediciones. ${\displaystyle d+1}$

Si bien el algoritmo iterativo Gauss-Newton NLLS se utiliza ampliamente en sistemas operativos (por ejemplo, ASDE-X), también está disponible el método iterativo Nelder-Mead . Hay disponible un código de ejemplo para este último, tanto para sistemas TOA como TDOA. ^[33]

Exactitud

La multilateración suele ser más precisa para localizar un objeto que la multilateración o multiangulación de rango real , ya que (a) es inherentemente difícil y/o costoso medir con precisión el rango real (distancia) entre un vehículo en movimiento y una estación, particularmente en grandes distancias, y (b) las mediciones de ángulos precisas requieren antenas grandes que son costosas y difíciles de ubicar.

La precisión de un sistema de multilateración es función de varios factores, entre ellos:

• La geometría del (los) receptor(es) y transmisor(es) de fenómenos ondulatorios electrónicos , ópticos o de otro tipo.
• La precisión de sincronización de los transmisores (navegación) o de los receptores (vigilancia), incluida la estabilidad térmica de los osciladores de reloj .
• Efectos de propagación, por ejemplo, cambios de difracción o reflexión respecto de la línea de visión supuesta o la trayectoria de propagación curvilínea.
• El ancho de banda de las señales emitidas, por ejemplo, el tiempo de subida de los pulsos empleados con señales codificadas por pulsos.
• Imprecisiones en las ubicaciones de los transmisores o receptores cuando se utilizan como ubicaciones conocidas.

La precisión se puede calcular utilizando el límite de Cramér-Rao y teniendo en cuenta los factores anteriores en su formulación. Además, se puede elegir una configuración de los sensores que minimice una métrica obtenida a partir del límite de Cramér-Rao para optimizar la estimación de la posición real del objetivo en una región de interés. ^[6]

En cuanto a la primera cuestión (geometría de la estación de usuario), la planificación de un sistema de multilateración a menudo implica un análisis de dilución de precisión (DOP) para fundamentar las decisiones sobre el número y la ubicación de las estaciones y el área de servicio del sistema (dos dimensiones) o el volumen (tres dimensiones). En un análisis DOP, se supone que los errores de medición de la TOA son estadísticamente independientes y se distribuyen de forma idéntica. Esta suposición razonable separa los efectos de la geometría de la estación de usuario y los errores de medición de la TOA en el error en la posición calculada del usuario. ^{[2] [34]}

Sincronización de estaciones

La multilateración requiere que las estaciones separadas espacialmente –ya sean transmisores (navegación) o receptores (vigilancia)– tengan “relojes” sincronizados. Hay dos requisitos de sincronización distintos: (1) mantener la precisión de la sincronización de forma continua durante la vida útil del equipo del sistema involucrado (por ejemplo, 25 años); y (2) para la vigilancia, medir con precisión el intervalo de tiempo entre los TOA para cada transmisión del “vehículo”. El requisito (1) es transparente para el usuario, pero es una consideración importante del diseño del sistema. Para mantener la sincronización, los relojes de las estaciones deben sincronizarse o reiniciarse periódicamente (por ejemplo, cada medio día para GPS, cada pocos minutos para ASDE-X). A menudo, la precisión del sistema es monitoreada continuamente por “usuarios” en ubicaciones conocidas –por ejemplo, GPS tiene cinco sitios de monitoreo.

Se han utilizado varios métodos para sincronizar estaciones. Normalmente, el método se selecciona en función de la distancia entre estaciones. En orden aproximado de distancia creciente, los métodos han incluido:

• Estaciones sin reloj conectadas por cable (navegación y vigilancia): las estaciones sin reloj están conectadas por cable a una ubicación central que tiene un reloj de sistema único. Las longitudes de los cables son generalmente iguales, pero eso puede no ser posible en todas las aplicaciones. Este método se ha utilizado para localizar el fuego de artillería (las estaciones son micrófonos).
• Estaciones sin reloj enlazadas por radio (navegación y vigilancia): las estaciones sin reloj están enlazadas por radio o por microondas a una ubicación central que tiene un reloj de sistema único. Los retrasos de enlace se ecualizan. Este método lo utilizan algunos sistemas de multilateración de área amplia (WAM).
• Objetivo de prueba (vigilancia): se instala un objetivo de prueba en una ubicación fija y conocida que es visible para todos los receptores. El objetivo de prueba transmite como lo haría un usuario normal y su posición se calcula a partir de los TOA. Su posición conocida se utiliza para ajustar los relojes del receptor. ASDE-X utiliza este método.
• Retardos fijos del transmisor (navegación): un transmisor se designa como maestro y los demás como secundarios. El maestro transmite primero. Cada secundario transmite durante un tiempo fijo (corto) después de recibir la transmisión del maestro. Loran-C originalmente utilizaba este método.
• Información de fase transmitida continuamente (navegación): la información de fase se transmite continuamente en diferentes frecuencias. Utilizado por Decca.
• Información de fase pulsada transmitida (navegación): la información de fase pulsada se transmite en la misma frecuencia según un cronograma conocido. Utilizado por Omega.
• Transferencia de tiempo por satélite (navegación y vigilancia): existen múltiples métodos para transferir el tiempo desde un sitio de referencia a una estación remota vía satélite. El más simple es sincronizar las estaciones con el tiempo GPS. ^[35] Algunos sistemas WAM utilizan este método.
• Relojes atómicos (navegación y vigilancia): cada estación tiene uno o más relojes atómicos sincronizados. Los GNSS utilizan este método, como hizo Omega. Loran-C lo adoptó. Incluso los relojes atómicos se desvían, por lo que puede ser necesario un sistema de control y/o corrección.

Área o volumen de servicio

Sensibilidad de la precisión a la geometría de la estación del vehículo

Si bien el rendimiento de todos los sistemas de navegación y vigilancia depende de la ubicación del usuario en relación con las estaciones, los sistemas de multilateración son más sensibles a la geometría de la estación del usuario que la mayoría de los sistemas. Para ilustrarlo, considere un sistema de vigilancia hipotético de dos estaciones que monitorea la ubicación de una locomotora de ferrocarril a lo largo de un tramo recto de vía, una situación unidimensional . La locomotora lleva un transmisor y la vía es recta en ambas direcciones más allá del tramo que se monitorea. Por conveniencia, supongamos que el origen del sistema está a mitad de camino entre las estaciones; entonces ocurre en el origen. ${\displaystyle (d=1)}$ ${\displaystyle TDOA=0}$

Un sistema de este tipo funcionaría bien cuando una locomotora se encuentra entre dos estaciones. Cuando está en movimiento, una locomotora se mueve directamente hacia una estación y directamente alejándose de la otra. Si una locomotora está a cierta distancia del origen, en ausencia de errores de medición, la TDOA sería (donde es la velocidad de propagación de onda conocida). Por lo tanto, (ignorando el factor de escala ) la cantidad de desplazamiento se duplica en la TDOA. Si se midieran rangos verdaderos en lugar de pseudo-rangos, la diferencia de medición sería idéntica. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle TDOA=\pm 2\,\Delta /\,c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Sin embargo, este sistema de pseudorango unidimensional no funcionaría en absoluto cuando una locomotora no se encuentra entre las dos estaciones. En cualquiera de las regiones de extensión, si una locomotora se mueve entre dos transmisiones, necesariamente alejándose de ambas estaciones, el TDOA no cambiaría. En ausencia de errores, los cambios en los dos TOA se cancelarían perfectamente al formar el TDOA. En las regiones de extensión, el sistema siempre indicaría que una locomotora estaba en la estación más cercana, independientemente de su posición real. Por el contrario, un sistema que mide los alcances reales funcionaría en las regiones de extensión exactamente como lo hace cuando la locomotora está entre las estaciones. Este sistema unidimensional proporciona un ejemplo extremo del área de servicio de un sistema de multilateración.

Fig. 5. Área de servicio aproximada de un sistema de multilateración planar que tiene tres estaciones espaciadas de manera uniforme

En una situación multidimensional (es decir, o ), rara vez se producen los extremos de medición de un escenario unidimensional. Cuando está dentro del perímetro que encierra las estaciones, un vehículo normalmente se aleja parcialmente de algunas estaciones y parcialmente hacia otras estaciones. Es muy poco probable que se mueva directamente hacia una estación y simultáneamente se aleje directamente de otra; además, no puede moverse directamente hacia o lejos de todas las estaciones al mismo tiempo. En pocas palabras, dentro del perímetro de las estaciones, los TDOA consecutivos normalmente amplificarán pero no duplicarán el movimiento del vehículo que se produjo durante ese intervalo, es decir, . Por el contrario, fuera del perímetro, los TDOA consecutivos normalmente atenuarán pero no cancelarán el movimiento del vehículo asociado, es decir, . La cantidad de amplificación o atenuación dependerá de la ubicación del vehículo. El rendimiento del sistema, promediado en todas las direcciones, varía continuamente en función de la ubicación del usuario. ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle (\Delta /\,c<|TDOA_{i+1}-TDOA_{i}|<2\,\Delta /\,c)}$ ${\displaystyle (0<|TDOA_{i+1}-TDOA_{i}|<\Delta /\,c)}$

Dilución de precisión (DOP)

Al analizar un sistema de multilateración 2D o 3D, generalmente se emplea la dilución de precisión (DOP) para cuantificar el efecto de la geometría de la estación del usuario en la precisión de determinación de la posición. ^[36] La métrica DOP básica es

${\displaystyle ?{\text{DOP}}={\frac {\text{XXX error (after calculations using measurements)}}{\text{pseudo-range (scaled TOA) measurement error}}}.}$

El símbolo transmite la idea de que existen múltiples "tipos" de DOP: la elección depende de la cantidad de dimensiones espaciales involucradas y de si el error de la solución TOT está incluido en la métrica. Se deben utilizar las mismas unidades de distancia en el numerador y denominador de esta fracción, por ejemplo, metros. ?DOP es un factor adimensional que suele ser mayor que uno, pero es independiente del error de medición de pseudorango (PR). (Cuando se trata de estaciones redundantes, es posible tener 0 < ?DOP < 1). HDOP se emplea habitualmente (? = H, y XXX = posición horizontal) cuando el interés se centra en la posición de un vehículo en un plano. ${\displaystyle ?}$

Se supone que los errores de pseudorango se suman a los TOA medidos, tienen una distribución gaussiana, una media cero (valor promedio) y tienen la misma desviación estándar independientemente de la ubicación del vehículo o la estación involucrada. Al etiquetar los ejes ortogonales en el plano como y , el error de posición horizontal se caracteriza estadísticamente como ${\displaystyle \sigma _{PR}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\text{HDOP}}={\frac {\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}}}{\sigma _{PR}}}.}$

Matemáticamente, cada "sabor" de DOP es una sensibilidad ("derivada") diferente de una desviación estándar de una cantidad de solución (por ejemplo, posición horizontal) con respecto a la desviación estándar del error de pseudorango. (Aproximadamente, DOP corresponde a la condición ). Es decir, ?DOP es la tasa de cambio de la desviación estándar de una cantidad de solución desde su valor correcto debido a errores de medición, suponiendo que se utiliza un algoritmo de mínimos cuadrados linealizado. (También es la varianza más pequeña para cualquier algoritmo. ^[37] ) Específicamente, HDOP es la sensibilidad ("derivada") de la desviación estándar de la posición horizontal del usuario (es decir, su sensibilidad) a la desviación estándar del error de pseudorango. ${\displaystyle \Delta \to 0}$

Para tres estaciones, la precisión de la multilateración es bastante buena dentro de casi todo el triángulo que encierra las estaciones (por ejemplo, 1 < HDOP < 1,5) y está cerca de la HDOP para mediciones de alcance real utilizando las mismas estaciones. Sin embargo, la HDOP de un sistema de multilateración se degrada rápidamente para ubicaciones fuera del perímetro de la estación. La Figura 5 ilustra el área de servicio aproximada de un sistema de multilateración bidimensional que tiene tres estaciones que forman un triángulo equilátero. Las estaciones son M – U – V . BLU denota unidad de referencia (separación entre estaciones ). El círculo interior es más "conservador" y corresponde a un "arranque en frío" (sin conocimiento de la posición inicial del vehículo). El círculo exterior es más típico y corresponde a partir de una ubicación conocida. Los ejes están normalizados por la separación entre estaciones. ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x}{B}},\quad \zeta ={\frac {y}{B}}.}$

Fig. 6. Contornos HDOP para un sistema de multilateración planar que tiene tres estaciones espaciadas de manera uniforme

La Figura 6 muestra los contornos HDOP para el mismo sistema de multilateración. El HDOP mínimo, 1,155, se produce en el centro del triángulo formado por las estaciones (y sería el mismo valor para las mediciones de rango real). A partir de HDOP = 1,25, los contornos mostrados siguen una progresión de factor 2. Su espaciamiento aproximadamente igual (fuera de las tres áreas en forma de V entre las extensiones de línea base) es consistente con el rápido crecimiento del error de posición horizontal con la distancia desde las estaciones. El comportamiento HDOP del sistema es cualitativamente diferente en las tres áreas en forma de V entre las extensiones de línea base. HDOP es infinito a lo largo de las extensiones de línea base y es significativamente mayor en estas áreas. (HDOP no está definido matemáticamente en las estaciones; por lo tanto, múltiples contornos DOP pueden terminar en una estación). No se debe utilizar un sistema de tres estaciones entre las extensiones de línea base.

Para las ubicaciones fuera del perímetro de las estaciones, un sistema de multilateración normalmente se debe utilizar solo cerca del centro de la línea base más cercana que conecta dos estaciones (situación plana bidimensional) o cerca del centro del plano más cercano que contiene tres estaciones (situación tridimensional). Además, un sistema de multilateración solo se debe emplear para ubicaciones de usuario que estén a una fracción de una longitud de línea base promedio (por ejemplo, menos del 25 %) de la línea base o plano más cercano. Por ejemplo:

• Para garantizar que los usuarios estuvieran dentro del perímetro de la estación, las estaciones Loran-C a menudo se ubicaban en lugares que muchas personas considerarían "remotos", por ejemplo, para proporcionar servicio de navegación a barcos y aeronaves en el área del Atlántico Norte, había estaciones en las Islas Feroe (Dinamarca), Isla Jan Mayen (Noruega) y Angissq (Groenlandia) .
• Si bien los usuarios de GPS en la superficie de la Tierra o cerca de ella siempre están fuera del perímetro de los satélites visibles, un usuario normalmente está cerca del centro del plano más cercano que contiene tres satélites con un ángulo de elevación bajo y se encuentra entre el 5% y el 10% de una longitud de referencia de ese plano.

Cuando se dispone de más estaciones que el número mínimo requerido (que suele ser el caso de un usuario de GPS), se puede mejorar (reducir) la HDOP. Sin embargo, en gran medida siguen existiendo limitaciones en el uso del sistema fuera del perímetro de la estación poligonal. Por supuesto, el sistema de procesamiento (por ejemplo, el receptor GPS) debe poder utilizar las TOA adicionales. Esto no es un problema en la actualidad, pero ha sido una limitación en el pasado.

Aplicaciones

Se han desarrollado sistemas de multilateración de pseudorango para ondas que siguen trayectorias terrestres rectas y curvas y para prácticamente todos los fenómenos ondulatorios: electromagnéticos (diversas frecuencias y formas de onda), acústicos (audibles o ultrasónicos, en el agua o el aire), sísmicos, etc. La técnica de multilateración aparentemente se utilizó por primera vez durante la Primera Guerra Mundial para localizar la fuente de fuego de artillería utilizando ondas sonoras audibles (vigilancia TDOA). La vigilancia de multilateración está relacionada con la localización de objetivos mediante sonares remolcados pasivos (pero no su identificación), que también se utilizó por primera vez durante la Primera Guerra Mundial.

Los sistemas de navegación basados ​​en radio de mayor distancia se volvieron viables durante la Segunda Guerra Mundial , con el avance de las tecnologías de radio. Durante aproximadamente 1950-2000, la multilateración TDOA fue una técnica común en los sistemas de navegación por radio fijos en la Tierra , donde se conocía como navegación hiperbólica . Estos sistemas son relativamente poco exigentes para el receptor del usuario, ya que su "reloj" puede tener un bajo rendimiento/costo y generalmente no está sincronizado con el tiempo de la estación. ^[38] La diferencia en la sincronización de la señal recibida incluso se puede medir visiblemente usando un osciloscopio . La introducción del microprocesador simplificó enormemente la operación, aumentando su popularidad durante la década de 1980. El sistema de navegación hiperbólica TDOA más popular fue Loran-C , que se utilizó en todo el mundo hasta que el sistema se cerró en gran medida.

El desarrollo de relojes atómicos para sincronizar estaciones muy separadas entre sí fue decisivo para el desarrollo del GPS y otros GNSS. El uso generalizado de sistemas de navegación por satélite como el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) ha hecho que los sistemas de navegación TDOA fijos en la Tierra sean en gran medida redundantes, y la mayoría de ellos han sido desmantelados. Debido a su alta precisión a bajo costo del equipo de usuario, hoy la multilateración es el concepto seleccionado con más frecuencia para los nuevos sistemas de navegación y vigilancia, por ejemplo, la vigilancia de aeronaves en vuelo (alternativa al radar) y en rodaje (alternativa al visual). ^{[39] [40] [41]}

La multilateración se utiliza habitualmente en aplicaciones civiles y militares para (a) localizar un vehículo (avión, barco, coche/camión/autobús o operador de telefonía inalámbrica) midiendo los tiempos de acción de una señal procedente del vehículo en varias estaciones que tienen coordenadas conocidas y "relojes" sincronizados (aplicación de vigilancia) o (b) permitir que el vehículo se ubique a sí mismo en relación con varios transmisores (estaciones) en ubicaciones conocidas y que tienen relojes sincronizados en función de las mediciones de los tiempos de acción de la señal (aplicación de navegación). Cuando las estaciones están fijas a la tierra y no proporcionan la hora, los tiempos de acción medidos casi siempre se utilizan para formar un tiempo de acción menos.

En el caso de los vehículos, las agencias gubernamentales suelen proporcionar estaciones de vigilancia o navegación (incluida la infraestructura asociada necesaria). Sin embargo, las entidades financiadas con fondos privados también han sido (y son) proveedores de estaciones o sistemas, por ejemplo, los proveedores de telefonía inalámbrica. ^[42] La multilateración también es utilizada por las comunidades científicas y militares para la vigilancia no cooperativa.

La siguiente tabla resume las ventajas y desventajas de la multilateración de pseudorango, particularmente en relación con las mediciones de rango real .

Las ventajas de los sistemas que emplean pseudorango benefician en gran medida al vehículo, usuario o objetivo. Las desventajas recaen en gran medida sobre el proveedor del sistema.

A continuación se muestra una lista de aplicaciones de ejemplo:

• GPS (EE. UU.), GLONASS (Rusia), Galileo (UE): sistemas globales de navegación por satélite. Dos factores que complican la situación en relación con los sistemas TDOA son: (1) las estaciones transmisoras (satélites) se mueven; y (2) los receptores deben calcular el tiempo de transmisión, lo que requiere un algoritmo más complejo (pero que proporciona la hora exacta a los usuarios).
• Detección de sonido : uso del sonido para localizar la fuente del fuego de artillería.
• Objetivos electrónicos : uso de la onda Mach de una bala que pasa por un conjunto de sensores para determinar el punto de llegada de la bala a un objetivo de campo de tiro.
• Sistema Decca Navigator : un sistema utilizado desde el final de la Segunda Guerra Mundial hasta el año 2000, que emplea la diferencia de fase de múltiples transmisores para ubicarse en la intersección de hiperboloides.
• Sistema de navegación Omega : un sistema mundial, técnicamente similar a Decca pero que brinda servicio a un alcance mucho mayor; cerrado en 1997
• Gee (navegación) : sistema británico de localización de aeronaves utilizado durante la Segunda Guerra Mundial
• Loran-C – Sistema de navegación que utiliza TDOA de señales de múltiples transmisores sincronizados; cerrado en EE. UU. y Europa; el sistema ruso Chayka era similar
• Sistemas de vigilancia no cooperativa de multilateralización con medidas de apoyo electrónico ( ESM ) pasivas , incluidos Kopáč , Ramona , Tamara , VERA y posiblemente Kolchuga , que ubicaron un transmisor utilizando múltiples receptores
• Seguimiento de teléfonos móviles : uso de múltiples estaciones base para estimar la ubicación del teléfono, ya sea por el propio teléfono (navegación, el término de la industria es multilateración de enlace descendente) o por la red telefónica (vigilancia, el término de la industria es multilateración de enlace ascendente)
• Monitoreo de la separación vertical mínima reducida (RVSM) para determinar la precisión de la información de altitud del transpondedor de la aeronave en modo C/S. La aplicación de la multilateración a la RVSM fue demostrada por primera vez por Roke Manor Research Limited en 1989. ^[43]
• Multilateración de área amplia (WAM) – Sistema de vigilancia para aeronaves en el aire que mide los TOA de las emisiones del transpondedor de la aeronave (en 1090 MHz); en servicio operativo en varios países ^[44]
• Equipo de detección de superficie de aeropuerto, modelo X ( ASDE-X ): sistema de vigilancia para aeronaves y otros vehículos en la superficie de un aeropuerto; incluye un subsistema de multilateración que mide los TOA de las emisiones del transpondedor de la aeronave (en 1090 MHz); ASDE-X es una terminología de la FAA de EE. UU., hay sistemas similares en servicio en varios países.
• Prueba de vuelo "Verdad": Locata Corporation ofrece un sistema de posicionamiento local terrestre que complementa el GPS y es utilizado por la NASA y el ejército de los EE. UU.
• Ubicación de eventos sísmicos: los eventos (por ejemplo, terremotos) se monitorean midiendo los TOA en diferentes ubicaciones y empleando algoritmos de multilateración ^[45].
• Sonar de matriz remolcada / SURTASS / SOFAR (SOund Fixing And Ranging): sistemas empleados por la Armada de los EE. UU. (y probablemente sistemas similares de otras armadas). Su finalidad es detectar y determinar la dirección y la distancia aproximada de una fuente de sonido (por ejemplo, un submarino) desde el punto de escucha. Los sensores se mueven, lo que es inusual en los sistemas de vigilancia.
• Sistemas de localización de impacto de misiles MILS y SMILS: sistemas acústicos desplegados para determinar los puntos de 'amerizaje' en el Atlántico Sur de los misiles Polaris, Poseidon y Trident que fueron disparados de prueba desde Cabo Cañaveral, Florida.
• Sonar pasivo : utiliza ondas acústicas (TOA y otras funciones) para detectar (y quizás localizar) barcos.
• Centro de evaluación y pruebas submarinas del Atlántico (AUTEC): instalación de la Marina de los EE. UU. que mide trayectorias de barcos y armas submarinas mediante acústica
• Posicionamiento ultrasónico en interiores: la posición 3D de un teléfono inteligente dentro de una "habitación" de un edificio se puede obtener a través de un sistema de ultrasonido ^{[46] [47] [48]}
• ShotSpotter - Sistema de localización de disparos ^[49]

Véase también

• Alcance
• Multilateración de rango verdadero
• Telémetro
• Navegación hiperbólica : término alternativo (a la multilateración) para los sistemas de navegación TDOA con transmisores estacionarios
• FDOA – Diferencia de frecuencia de llegada mediante mediciones Doppler diferenciales.
• Triangulación – Ubicación por medición angular en líneas de rumbo que se intersecan
• Trilateración : Ubicación por múltiples distancias, típicamente tres distancias en un plano; una técnica específica utilizada en topografía.
• Seguimiento de teléfonos móviles
• Escalamiento multidimensional
• Sistema de posicionamiento
• Problema de Apolonio § Aplicaciones
• Radiolocalización
• Navegación por radio
• Localización en tiempo real : estándar internacional para el seguimiento de activos y personal mediante hardware inalámbrico y software en tiempo real
• Sistema de localización en tiempo real – Técnicas generales para el seguimiento de activos y personal mediante hardware inalámbrico y software en tiempo real
• Navegación en círculo máximo : proporciona las matemáticas básicas para abordar rangos esféricos.
• Mínimos cuadrados no lineales : Forma de análisis de mínimos cuadrados cuando se involucran ecuaciones no lineales; se utiliza para multilateración cuando (a) hay más mediciones de diferencia de rango que variables desconocidas, y/o (b) las ecuaciones de medición son demasiado complejas para ser invertidas (por ejemplo, aquellas para una tierra elipsoidal), y/o (c) se deben utilizar datos tabulares (por ejemplo, conductividad de la tierra sobre la cual se propaga la onda de radio).
• Tiempo Universal Coordinado (UTC): Estándar de tiempo proporcionado por los receptores GPS (con desplazamiento publicado)
• Sincronización de relojes - Métodos para sincronizar relojes en estaciones remotas
• Reloj atómico : a veces se utiliza para sincronizar varias estaciones muy separadas entre sí.
• Dilución de precisión : técnica analítica que se aplica a menudo al diseño de sistemas de multilateración.
• Algoritmo de Gauss-Newton : método de solución iterativo utilizado por varios sistemas de multilateración operacional
• Función de pérdida : también denominada función de costo o función de error; se utiliza para convertir mediciones TOA redundantes en una sola ecuación.
• Rotación de ejes : direcciones que giran de un marco de coordenadas cartesianas a otro.
• Sistema de localización en tiempo real (RTLS): la multilateración se puede emplear en un sistema de vigilancia interior RTLS.
• Unilateración ^[50] - Un tipo de sistema de localización en tiempo real (RTLS)

Notas

1. Proc, Jerry (2021). «Sistemas de radionavegación hiperbólica» . Consultado el 11 de abril de 2022 .
2. Limitaciones de precisión de los sistemas de multilateración hiperbólica, Harry B. Lee, Instituto Tecnológico de Massachusetts, Laboratorio Lincoln, Nota técnica 1973-11, 22 de marzo de 1973
3. "Existencia y unicidad de las soluciones GPS", JS Abel y JW Chaffee, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems , vol. 26, núm. 6, págs. 748–53, septiembre de 1991.
4. "Comentarios sobre "Existencia y unicidad de las soluciones GPS" por JS Abel y JW Chaffee", BT Fang, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems , vol. 28, no. 4, octubre de 1992.
5. En otras palabras, cuando se realiza una vigilancia, dados dos receptores en ubicaciones conocidas, se puede derivar una superficie tridimensional (caracterizada como una lámina de un hiperboloide de revolución) para la cual todos los puntos de dicha superficie tendrán la misma distancia diferencial con respecto a dichos receptores, es decir, una señal transmitida desde cualquier punto de la superficie tendrá la misma TDOA en los receptores que una señal transmitida desde cualquier otro punto de la superficie.
   Por lo tanto, en la práctica, se mide la TDOA correspondiente a un transmisor (en movimiento), se deriva una superficie hiperbólica correspondiente y se dice que el transmisor está "ubicado" en algún lugar de esa superficie.
6. Domingo-Perez, Francisco; Lazaro-Galilea, Jose Luis; Wieser, Andreas; Martin-Gorostiza, Ernesto; Salido-Monzu, David; Llana, Alvaro de la (abril de 2016). "Determinación de la ubicación del sensor para posicionamiento por diferencia de rango utilizando optimización multiobjetivo evolutiva". Expert Systems with Applications . 47 : 95–105. doi :10.1016/j.eswa.2015.11.008.
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9. Geyer, Michael (junio de 2016). Análisis de vigilancia y navegación de aeronaves con referencia terrestre. Biblioteca Nacional de Transporte del Departamento de Transporte de los Estados Unidos: Centro Nacional de Sistemas de Transporte John A. Volpe del Departamento de Transporte de los Estados Unidos.
10. "Soluciones simples para correcciones de posición hiperbólicas y relacionadas", Bertrand T. Fang, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems , septiembre de 1990, págs. 748-753.
11. Sirola, Niilo (marzo de 2010). Algoritmos de forma cerrada en posicionamiento móvil: mitos y conceptos erróneos . 7.º Taller sobre posicionamiento, navegación y comunicación 2010 WPNC'10. CiteSeerX 10.1.1.966.9430 . .
12. "Una solución algebraica de las ecuaciones GPS", Stephen Bancroft, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems , Volumen: AES-21, Número: 7 (enero de 1985), págs. 56-59.
13. "Trilateración y extensión a la navegación del sistema de posicionamiento global", BT Fang, Journal of Guidance, Control, and Dynamics , vol. 9 (1986), págs. 715-717.
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