Soluciones extrañas y faltantes

En matemáticas , una solución extraña (o solución espuria ) es aquella que surge del proceso de resolución de un problema pero que no es una solución válida para él. ^[1] Una solución faltante es una solución válida que se pierde durante el proceso de solución. Ambas situaciones frecuentemente resultan de realizar operaciones que no son invertibles para algunos o todos los valores de las variables involucradas, lo que impide que la cadena de implicaciones lógicas sea bidireccional.

Soluciones extrañas: multiplicación.

Uno de los principios básicos del álgebra es que se pueden multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma expresión sin cambiar las soluciones de la ecuación. Sin embargo, estrictamente hablando, esto no es cierto, ya que la multiplicación por ciertas expresiones puede introducir nuevas soluciones que no estaban presentes antes. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación:

${\displaystyle x+2=0.}$

Si multiplicamos ambos lados por cero, obtenemos,

${\displaystyle 0=0.}$

Esto es cierto para todos los valores de , por lo que el conjunto solución son todos números reales. Pero está claro que no todos los números reales son soluciones de la ecuación original. El problema es que la multiplicación por cero no es invertible : si multiplicamos por cualquier valor distinto de cero, podemos invertir el paso dividiendo por el mismo valor, pero la división por cero no está definida, por lo que la multiplicación por cero no se puede revertir. ${\displaystyle x}$

De manera más sutil, supongamos que tomamos la misma ecuación y multiplicamos ambos lados por . Obtenemos ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x(x+2)=(0)x,}$

${\displaystyle x^{2}+2x=0.}$

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones: y Pero si se sustituye en la ecuación original, el resultado es la ecuación no válida . Este resultado contrario a la intuición ocurre porque en el caso en que , multiplicar ambos lados por multiplica ambos lados por cero, y por lo tanto necesariamente produce una ecuación verdadera como en el primer ejemplo. ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$

En general, siempre que multiplicamos ambos lados de una ecuación por una expresión que involucra variables, introducimos soluciones extrañas siempre que esa expresión sea igual a cero. Pero no basta con excluir estos valores, porque pueden haber sido soluciones legítimas a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que multiplicamos ambos lados de nuestra ecuación original por Obtenemos ${\displaystyle x+2=0}$ ${\displaystyle x+2.}$

${\displaystyle (x+2)(x+2)=0(x+2),}$

${\displaystyle x^{2}+4x+4=0,}$

que sólo tiene una solución real: . Esta es una solución a la ecuación original, por lo que no se puede excluir, aunque para este valor de . ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle x+2=0}$ ${\displaystyle x}$

Soluciones extrañas: racionales.

Pueden surgir soluciones extrañas de forma natural en problemas que involucran fracciones con variables en el denominador. Por ejemplo, considere esta ecuación:

${\displaystyle {\frac {1}{x-2}}={\frac {3}{x+2}}-{\frac {6x}{(x-2)(x+2)}}\,.}$

Para comenzar a resolver, multiplicamos cada lado de la ecuación por el mínimo común denominador de todas las fracciones contenidas en la ecuación. En este caso, el mínimo común denominador es . Después de realizar estas operaciones, se eliminan las fracciones y la ecuación queda: ${\displaystyle (x-2)(x+2)}$

${\displaystyle x+2=3(x-2)-6x\,.}$

Al resolver esto se obtiene la solución única. Sin embargo, cuando sustituimos la solución nuevamente en la ecuación original, obtenemos: ${\displaystyle x=-2.}$

${\displaystyle {\frac {1}{-2-2}}={\frac {3}{-2+2}}-{\frac {6(-2)}{(-2-2)(-2+2)}}\,.}$

La ecuación entonces queda:

${\displaystyle {\frac {1}{-4}}={\frac {3}{0}}+{\frac {12}{0}}\,.}$

Esta ecuación no es válida, ya que no se puede dividir por cero . Por lo tanto, la solución es extraña y no válida, y la ecuación original no tiene solución. ${\displaystyle x=-2}$

Para este ejemplo específico, se podría reconocer que (para el valor ), la operación de multiplicar por sería una multiplicación por cero. Sin embargo, no siempre es sencillo evaluar si cada operación ya realizada fue permitida por la respuesta final. Debido a esto, a menudo, la única manera simple y efectiva de lidiar con la multiplicación por expresiones que involucran variables es sustituir cada una de las soluciones obtenidas en la ecuación original y confirmar que esto produce una ecuación válida. Después de descartar soluciones que producen una ecuación no válida, tendremos el conjunto correcto de soluciones. En algunos casos, como en el ejemplo anterior, es posible descartar todas las soluciones, en cuyo caso la ecuación original no tiene solución. ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle (x-2)(x+2)}$

Soluciones faltantes: división

Las soluciones extrañas no son demasiado difíciles de abordar porque simplemente requieren verificar la validez de todas las soluciones. Sin embargo, lo más insidioso es la falta de soluciones, que pueden ocurrir al realizar operaciones en expresiones que no son válidas para ciertos valores de esas expresiones.

Por ejemplo, si estuviéramos resolviendo la siguiente ecuación, la solución correcta se obtiene restando de ambos lados y luego dividiendo ambos lados por : ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle 2x+4=0,}$

${\displaystyle 2x=-4,}$

${\displaystyle x=-2.}$

Por analogía, podríamos suponer que podemos resolver la siguiente ecuación restando de ambos lados y luego dividiendo por : ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{2}+2x=0,}$

${\displaystyle x^{2}=-2x,}$

${\displaystyle x=-2.}$

De hecho, la solución es una solución válida de la ecuación original; pero la otra solución ha desaparecido. El problema es que dividimos ambos lados por , lo que implica la operación indeterminada de dividir por cero cuando ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0.}$

Generalmente es posible (y aconsejable) evitar dividir por cualquier expresión que pueda ser cero; sin embargo, cuando esto sea necesario, basta con garantizar que cualquier valor de las variables que lo hagan cero tampoco satisfaga la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que tenemos esta ecuación:

${\displaystyle x+2=0.}$

Es válido dividir ambos lados entre , obteniendo la siguiente ecuación: ${\displaystyle x-2}$

${\displaystyle {\frac {x+2}{x-2}}=0.}$

Esto es válido porque el único valor de that hace igual a cero es el que no es una solución de la ecuación original. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-2}$ ${\displaystyle x=2,}$

En algunos casos no nos interesan determinadas soluciones; por ejemplo, es posible que sólo queramos soluciones que sean positivas. En este caso, está bien dividir por una expresión que sólo es cero cuando es cero o negativa, porque esto sólo puede eliminar soluciones que no nos interesan. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Otras operaciones

La multiplicación y la división no son las únicas operaciones que pueden modificar el conjunto solución. Por ejemplo, tomemos el problema:

${\displaystyle x^{2}=4.}$

Si sacamos la raíz cuadrada positiva de ambos lados, obtenemos:

${\displaystyle x=2.}$

Aquí no estamos sacando la raíz cuadrada de ningún valor negativo, ya que ambos y son necesariamente positivos. Pero hemos perdido la solución. La razón es que, en general, la raíz cuadrada positiva de If no es negativa, la raíz cuadrada positiva de es. Si el paso se realiza correctamente, conduce a la ecuación: ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle x=-2.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle -x.}$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {4}}.}$

${\displaystyle |x|=2.}$

${\displaystyle x=\pm 2.}$

Esta ecuación tiene las mismas dos soluciones que la original: y ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x=-2.}$

También podemos modificar el conjunto de soluciones elevando ambos lados al cuadrado, porque esto hará que cualquier valor negativo en los rangos de la ecuación sea positivo, lo que provocará soluciones extrañas.

Ver también

• prueba no válida

Referencias

1. Ron Larson (1 de enero de 2011). Cálculo I con Precálculo. Aprendizaje Cengage. págs.4–. ISBN 978-0-8400-6833-0.