Un mosaico de Penrose es un ejemplo de mosaico aperiódico . Aquí, un mosaico es una cobertura del plano mediante polígonos u otras formas que no se superponen, y un mosaico es aperiódico si no contiene regiones o parches periódicos arbitrariamente grandes. Sin embargo, a pesar de su falta de simetría traslacional , los mosaicos de Penrose pueden tener simetría de reflexión y simetría rotacional quíntuple . Los mosaicos de Penrose llevan el nombre del matemático y físico Roger Penrose , quien los investigó en la década de 1970.
Hay varias variantes de mosaicos de Penrose con diferentes formas de mosaico. La forma original del mosaico de Penrose utilizaba mosaicos de cuatro formas diferentes, pero luego se redujo a solo dos formas: dos rombos diferentes o dos cuadriláteros diferentes llamados cometas y dardos. Los mosaicos de Penrose se obtienen restringiendo las formas en que se permite que estas formas encajen entre sí de manera que se evite el mosaico periódico. Esto se puede hacer de varias maneras diferentes, incluidas reglas de coincidencia, mosaicos de sustitución o reglas de subdivisión finita , esquemas de corte y proyecto, y revestimientos. Incluso restringida de esta manera, cada variación produce una infinidad de mosaicos de Penrose diferentes.
Los mosaicos de Penrose son autosemejantes : se pueden convertir en mosaicos de Penrose equivalentes con diferentes tamaños de mosaicos, mediante procesos llamados inflación y deflación . El patrón representado por cada parche finito de mosaicos en un mosaico de Penrose ocurre infinitas veces a lo largo del mosaico. Son cuasicristales : implementados como estructura física, un mosaico de Penrose producirá patrones de difracción con picos de Bragg y simetría quíntuple, revelando los patrones repetidos y las orientaciones fijas de sus mosaicos. [1] El estudio de estos mosaicos ha sido importante para la comprensión de los materiales físicos que también forman cuasicristales. [2] Los revestimientos de Penrose también se han aplicado en arquitectura y decoración, como en el pavimento que se muestra.
Recubrir una superficie plana ("el plano") con algún patrón de formas geométricas ("baldosas"), sin superposiciones ni espacios, se llama mosaico . Los mosaicos más familiares, como cubrir un piso con cuadrados que se juntan de borde a borde, son ejemplos de mosaicos periódicos . Si un mosaico cuadrado se desplaza a lo ancho de un mosaico, paralelo a los lados del mosaico, el resultado es el mismo patrón de mosaicos que antes del cambio. Un cambio (formalmente, una traducción ) que preserva el mosaico de esta manera se llama período del mosaico. Un mosaico se llama periódico cuando tiene períodos que lo desplazan en dos direcciones diferentes. [3]
Los mosaicos del mosaico cuadrado tienen una sola forma, y es común que otros mosaicos tengan solo un número finito de formas. Estas formas se denominan prototiles , y se dice que un conjunto de prototiles admite un mosaico o mosaico del plano si hay un mosaico del plano utilizando únicamente estas formas. Es decir, cada mosaico del mosaico debe ser congruente con uno de estos prototipos. [4]
Un mosaico que no tiene puntos no es periódico . Se dice que un conjunto de prototiles es aperiódico si todos sus mosaicos son no periódicos y, en este caso, sus mosaicos también se denominan mosaicos aperiódicos . [5] Los mosaicos de Penrose se encuentran entre los ejemplos más simples conocidos de mosaicos aperiódicos del plano por conjuntos finitos de prototiles. [3]
El tema de los mosaicos aperiódicos recibió un nuevo interés en la década de 1960 cuando el lógico Hao Wang notó conexiones entre los problemas de decisión y los mosaicos. [7] En particular, introdujo mosaicos mediante placas cuadradas con bordes coloreados, ahora conocidos como fichas o fichas de dominó Wang , y planteó el " Problema del dominó ": determinar si un conjunto dado de fichas de dominó Wang podía revestir el plano con colores coincidentes en fichas adyacentes. bordes de dominó. Observó que si este problema fuera indecidible , entonces tendría que existir un conjunto aperiódico de fichas de dominó de Wang. En ese momento, esto parecía inverosímil, por lo que Wang conjeturó que tal conjunto no podría existir.
El alumno de Wang, Robert Berger, demostró que el problema del dominó era indecidible (por lo que la conjetura de Wang era incorrecta) en su tesis de 1964, [8] y obtuvo un conjunto aperiódico de 20.426 fichas de dominó de Wang. [9] También describió una reducción a 104 de estos prototipos; este último no apareció en su monografía publicada, [10] pero en 1968, Donald Knuth detalló una modificación del juego de Berger que requería sólo 92 fichas de dominó. [11]
La combinación de colores requerida en un mosaico de dominó Wang se puede lograr fácilmente modificando los bordes de las fichas como si fueran piezas de un rompecabezas para que puedan encajar entre sí solo según lo prescrito por los colores de los bordes. [12] Raphael Robinson , en un artículo de 1971 [13] que simplificó las técnicas de Berger y la prueba de indecidibilidad, utilizó esta técnica para obtener un conjunto aperiódico de sólo seis prototiles. [14]
El primer mosaico de Penrose (mosaico P1 a continuación) es un conjunto aperiódico de seis prototiles, presentado por Roger Penrose en un artículo de 1974, [16] basado en pentágonos en lugar de cuadrados. Cualquier intento de revestir el plano con pentágonos regulares necesariamente deja espacios, pero Johannes Kepler demostró, en su obra Harmonices Mundi de 1619 , que estos espacios pueden llenarse utilizando pentagramas ( polígonos de estrellas ), decágonos y formas relacionadas. [17] Kepler amplió este mosaico en cinco polígonos y no encontró patrones periódicos, y ya conjeturó que cada extensión introduciría una nueva característica [18] creando así un mosaico aperiódico. También se pueden encontrar huellas de estas ideas en la obra de Alberto Durero . [19] Reconociendo la inspiración de Kepler, Penrose encontró reglas coincidentes para estas formas, obteniendo un conjunto aperiódico. Estas reglas de combinación pueden imponerse mediante decoraciones de los bordes, como ocurre con los azulejos Wang. El mosaico de Penrose puede verse como una finalización del patrón Aa finito de Kepler . [20]
Posteriormente, Penrose redujo el número de prototiles a dos, descubriendo el mosaico de cometa y dardo (mosaico P2 a continuación) y el mosaico de rombo (mosaico P3 a continuación). [21] El mosaico de rombos fue descubierto de forma independiente por Robert Ammann en 1976. [22] Penrose y John H. Conway investigaron las propiedades de los mosaicos de Penrose y descubrieron que una propiedad de sustitución explicaba su naturaleza jerárquica; sus hallazgos fueron publicados por Martin Gardner en su columna " Juegos matemáticos " de enero de 1977 en Scientific American . [23]
En 1981, NG de Bruijn proporcionó dos métodos diferentes para construir mosaicos de Penrose. El "método multicuadrícula" de De Bruijn obtiene los mosaicos de Penrose como gráficos duales de disposiciones de cinco familias de líneas paralelas. En su "método de corte y proyecto", los mosaicos de Penrose se obtienen como proyecciones bidimensionales a partir de una estructura cúbica de cinco dimensiones . En estos enfoques, el mosaico de Penrose se ve como un conjunto de puntos, sus vértices, mientras que los mosaicos son formas geométricas obtenidas conectando vértices con aristas. [24] Una construcción de 1990 de Baake, Kramer, Schlottmann y Zeidler derivó el mosaico de Penrose y el mosaico del triángulo de Tübingen relacionado de una manera similar a partir del panal de cinco celdas de cuatro dimensiones . [25]
Los tres tipos de mosaicos de Penrose, P1-P3, se describen individualmente a continuación. [26] Tienen muchas características comunes: en cada caso, las baldosas se construyen a partir de formas relacionadas con el pentágono (y por lo tanto con la proporción áurea ), pero las formas básicas de las baldosas deben complementarse con reglas de coincidencia para poder colocarlas en mosaico de forma aperiódica. Estas reglas pueden describirse utilizando vértices o aristas etiquetadas, o patrones en las caras de las losas; alternativamente, el perfil del borde se puede modificar (por ejemplo, mediante muescas y protuberancias) para obtener un conjunto aperiódico de prototiles. [9] [27]
El primer mosaico de Penrose utiliza pentágonos y otras tres formas: una "estrella" de cinco puntas (un pentagrama), un "bote" (aproximadamente 3/5 de una estrella) y un "diamante" (un rombo delgado). [28] Para garantizar que todos los mosaicos no sean periódicos, existenreglas de coincidencia que especifican cómo las fichas pueden encontrarse entre sí, y hay tres tipos diferentes de reglas de coincidencia para las fichas pentagonales. Al tratar estos tres tipos como prototiles diferentes se obtiene un conjunto de seis prototiles en total. Es común indicar los tres tipos diferentes de mosaicos pentagonales usando tres colores diferentes, como en la figura de arriba a la derecha.[29]
El segundo mosaico de Penrose utiliza cuadriláteros llamados "cometa" y "dardo", que pueden combinarse para formar un rombo. Sin embargo, las reglas de comparación prohíben tal combinación. [30] Tanto la cometa como el dardo están compuestos por dos triángulos, llamados triángulos de Robinson , según notas de 1975 de Robinson. [31]
Las reglas de coincidencia se pueden describir de varias maneras. Un enfoque es colorear los vértices (con dos colores, por ejemplo, blanco y negro) y exigir que los mosaicos adyacentes tengan vértices coincidentes. [32] Otra es utilizar un patrón de arcos circulares (como se muestra arriba a la izquierda en verde y rojo) para restringir la ubicación de los mosaicos: cuando dos mosaicos comparten un borde en un mosaico, los patrones deben coincidir en estos bordes. [21]
Estas reglas obligan a menudo a colocar determinadas fichas: por ejemplo, el vértice cóncavo de cualquier dardo está necesariamente ocupado por dos cometas. Conway llama "as" a la figura correspondiente (centro de la fila superior en la imagen inferior a la izquierda); aunque parece una cometa agrandada, no se mosaico de la misma manera. [33] De manera similar, el vértice cóncavo que se forma cuando dos cometas se encuentran a lo largo de un borde corto está necesariamente lleno de dos dardos (abajo a la derecha). De hecho, sólo hay siete formas posibles para que las fichas se encuentren en un vértice; dos de estas figuras, a saber, la "estrella" (arriba a la izquierda) y el "sol" (arriba a la derecha), tienen simetría diédrica quíntuple (mediante rotaciones y reflexiones), mientras que el resto tiene un solo eje de reflexión (vertical en la imagen). [34] Aparte del as (arriba en el medio) y el sol, todas estas figuras de vértice obligan a colocar fichas adicionales. [35]
El tercer mosaico utiliza un par de rombos (a menudo denominados "rombos" en este contexto) con lados iguales pero ángulos diferentes. [9] Se pueden usar mosaicos comunes en forma de rombo para revestir el plano periódicamente, por lo que se deben establecer restricciones sobre cómo se pueden ensamblar los mosaicos: dos mosaicos no pueden formar un paralelogramo, ya que esto permitiría un mosaico periódico, pero esta restricción no es suficiente para forzar la aperiodicidad, como muestra la figura 1 anterior.
Hay dos tipos de mosaicos y ambos se pueden descomponer en triángulos de Robinson. [31]
Las reglas de coincidencia distinguen los lados de las fichas e implican que las fichas pueden yuxtaponerse de determinadas formas particulares, pero no de otras. En la imagen de la derecha se muestran dos formas de describir estas reglas de coincidencia. En una forma, las baldosas deben ensamblarse de manera que las curvas de las caras coincidan en color y posición a lo largo de un borde. En el otro, las baldosas deben ensamblarse de manera que las protuberancias de sus bordes encajen entre sí. [9]
Hay 54 combinaciones ordenadas cíclicamente de tales ángulos que suman 360 grados en un vértice, pero las reglas del mosaico permiten que aparezcan sólo siete de estas combinaciones (aunque una de ellas surge de dos maneras). [36]
Las diversas combinaciones de ángulos y curvaturas faciales permiten la construcción de mosaicos arbitrariamente complejos, como las gallinas de Penrose . [37]
Varias propiedades y características comunes de los mosaicos de Penrose involucran la proporción áurea (aproximadamente 1.618). [31] [32] Esta es la relación entre las longitudes de las cuerdas y las longitudes de los lados en un pentágono regular , y satisface φ = 1 + 1/ φ .
En consecuencia, la relación entre las longitudes de los lados largos y cortos en los triángulos de Robinson ( isosceles ) es φ :1. De ello se deduce que la relación entre las longitudes de los lados largos y cortos tanto en las fichas de cometa como de dardos también es φ :1, al igual que las relaciones de longitud entre los lados y la diagonal corta en el rombo delgado t , y entre la diagonal larga y los lados en el rombo grueso. T. Tanto en el mosaico P2 como en el P3, la razón entre el área del triángulo de Robinson más grande y el más pequeño es φ :1, por lo tanto, también lo son las razones entre las áreas de la cometa y el dardo, y del rombo grueso con respecto al delgado. rombo. (Tanto los triángulos obtusos de Robinson, más grandes como los más pequeños, se pueden encontrar en el pentágono de la izquierda: los triángulos más grandes en la parte superior – las mitades del rombo grueso – tienen dimensiones lineales aumentadas en φ en comparación con el pequeño triángulo sombreado en la base, y entonces la razón de áreas es φ 2 :1.)
Cualquier mosaico de Penrose tiene simetría pentagonal local, en el sentido de que hay puntos en el mosaico rodeados por una configuración simétrica de mosaicos: tales configuraciones tienen simetría rotacional quíntuple alrededor del punto central, así como cinco líneas especulares de simetría de reflexión que pasan por el punto. , un grupo de simetría diédrico . [9] Esta simetría generalmente preservará solo un parche de mosaicos alrededor del punto central, pero el parche puede ser muy grande: Conway y Penrose demostraron que siempre que las curvas coloreadas en los mosaicos P2 o P3 se cierran en un bucle, la región dentro del El bucle tiene simetría pentagonal y, además, en cualquier mosaico, hay como máximo dos curvas de cada color que no se cierran. [38]
Puede haber como máximo un punto central de simetría quíntuple global: si hubiera más de uno, rotar cada uno alrededor del otro produciría dos centros más cercanos de simetría quíntuple, lo que conduce a una contradicción matemática. [39] Sólo hay dos mosaicos de Penrose (de cada tipo) con simetría pentagonal global: para el mosaico P2 con cometas y dardos, el punto central es un vértice de "sol" o "estrella". [40]
Muchas de las características comunes de los mosaicos de Penrose se derivan de una estructura pentagonal jerárquica dada por reglas de sustitución : esto a menudo se denomina inflación y deflación , o composición y descomposición , de mosaicos o (colecciones de) mosaicos. [9] [23] [41] Las reglas de sustitución descomponen cada mosaico en mosaicos más pequeños de la misma forma que los utilizados en el mosaico (y así permiten que los mosaicos más grandes se "compongan" a partir de otros más pequeños). Esto muestra que el mosaico de Penrose tiene una autosimilitud de escala y, por lo tanto, puede considerarse un fractal , utilizando el mismo proceso que el pentaflake . [42]
Penrose descubrió originalmente el mosaico P1 de esta manera, descomponiendo un pentágono en seis pentágonos más pequeños (la mitad de una red de un dodecaedro ) y cinco medios diamantes; Luego observó que cuando repetía este proceso, todos los espacios entre los pentágonos podían llenarse con estrellas, diamantes, barcos y otros pentágonos. [28] Al iterar este proceso indefinidamente obtuvo uno de los dos mosaicos P1 con simetría pentagonal. [9] [20]
El método de sustitución para mosaicos P2 y P3 se puede describir utilizando triángulos de Robinson de diferentes tamaños. Los triángulos de Robinson que surgen en los mosaicos P2 (al dividir cometas y dardos) se llaman mosaicos A, mientras que los que surgen en los mosaicos P3 (al dividir rombos) se llaman mosaicos B. [31] La ficha A más pequeña, denominada A S , es un triángulo de Robinson obtuso , mientras que la ficha A más grande, A L , es aguda ; por el contrario, una ficha B más pequeña, denominada B S , es un triángulo de Robinson agudo, mientras que la ficha B más grande, B L , es obtusa.
Concretamente, si A S tiene longitudes de lados (1, 1, φ ), entonces A L tiene longitudes de lados ( φ , φ , 1). Los mosaicos B se pueden relacionar con los mosaicos A de dos maneras:
En estas descomposiciones, parece haber una ambigüedad: los triángulos de Robinson se pueden descomponer de dos maneras, que son imágenes especulares entre sí en el eje de simetría (isosceles) del triángulo. En un mosaico de Penrose, esta elección está fijada por las reglas de coincidencia. Además, las reglas de coincidencia también determinan cómo se componen los triángulos más pequeños del mosaico para dar lugar a los más grandes. [31]
De ello se deduce que los mosaicos P2 y P3 son mutuamente derivables localmente : un mosaico de un conjunto de mosaicos se puede utilizar para generar un mosaico de otro. Por ejemplo, un mosaico de cometas y dardos se puede subdividir en mosaicos A, y estos se pueden componer de manera canónica para formar mosaicos B y, por lo tanto, rombos. [15] Los mosaicos P2 y P3 también son mutuamente derivables localmente con el mosaico P1 (ver figura 2 arriba). [43]
La descomposición de las fichas B en fichas A se puede escribir
(asumiendo la convención de tamaño mayor para los mosaicos B), que se puede resumir en una ecuación matricial de sustitución : [44]
Combinando esto con la descomposición de mosaicos φ A ampliados en mosaicos B se obtiene la sustitución
de modo que la ficha ampliada φ A L se descomponga en dos fichas A L y una ficha A S. Las reglas de coincidencia obligan a una sustitución particular: las dos fichas A L en una ficha φ A L deben formar una cometa y, por lo tanto, una cometa se descompone en dos cometas y dos medios dardos, y un dardo se descompone en una cometa y dos medios dardos. dardos. [45] [46] Los mosaicos φ B ampliados se descomponen en mosaicos B de manera similar (a través de mosaicos φ A).
La composición y descomposición se pueden iterar, de modo que, por ejemplo
El número de cometas y dardos en la enésima iteración de la construcción está determinado por la enésima potencia de la matriz de sustitución:
donde F n es el enésimo número de Fibonacci . Por lo tanto, la proporción entre el número de cometas y dardos en cualquier patrón de mosaico de Penrose P2 suficientemente grande se aproxima a la proporción áurea φ . [47] Un resultado similar se aplica a la relación entre el número de rombos gruesos y rombos delgados en el mosaico P3 Penrose. [45]
Comenzando con una colección de mosaicos de un mosaico determinado (que puede ser un mosaico único, un mosaico del plano o cualquier otra colección), la deflación continúa con una secuencia de pasos llamados generaciones. En una generación de deflación, cada mosaico se reemplaza con dos o más mosaicos nuevos que son versiones reducidas de los mosaicos utilizados en el mosaico original. Las reglas de sustitución garantizan que las nuevas fichas se organizarán de acuerdo con las reglas de coincidencia. [45] Las generaciones repetidas de deflación producen un mosaico de la forma del axioma original con mosaicos cada vez más pequeños.
Esta regla para dividir las fichas es una regla de subdivisión .
La tabla anterior debe utilizarse con precaución. La deflación mitad cometa y mitad dardo son útiles sólo en el contexto de desinflar un patrón más grande como se muestra en las deflaciones del sol y las estrellas. Dan resultados incorrectos si se aplican a cometas y dardos individuales.
Además, la simple regla de subdivisión genera agujeros cerca de los bordes del mosaico que son apenas visibles en las ilustraciones superior e inferior de la derecha. Son útiles reglas de forzamiento adicionales.
La inflación y la deflación producen un método para construir mosaicos de cometa y dardo (P2), o mosaicos de rombo (P3), conocido como generación arriba-abajo . [33] [45] [46]
Los mosaicos de Penrose, al no ser periódicos, no tienen simetría de traslación: el patrón no se puede desplazar para coincidir en todo el plano. Sin embargo, cualquier región delimitada, sin importar cuán grande sea, se repetirá un número infinito de veces dentro del mosaico. Por lo tanto, ningún parche finito puede determinar de forma única un mosaico de Penrose completo, ni siquiera determinar qué posición dentro del mosaico se muestra. [48]
Esto muestra en particular que el número de teselaciones distintas de Penrose (de cualquier tipo) es incontablemente infinito . La generación ascendente produce un método para parametrizar los mosaicos, pero otros métodos utilizan barras de Ammann, pentágridas o esquemas de corte y proyecto. [45]
En 1996, la matemática alemana Petra Gummelt demostró que se puede construir una cubierta (llamada así para distinguirla de un mosaico no superpuesto) equivalente al mosaico de Penrose utilizando una sola losa decagonal si se permiten dos tipos de regiones superpuestas. [50] El azulejo decagonal está decorado con parches de colores, y la regla de recubrimiento permite sólo aquellas superposiciones compatibles con la coloración. Una descomposición adecuada de la losa decagonal en cometas y dardos transforma dicho revestimiento en un mosaico de Penrose (P2). De manera similar, se puede obtener un mosaico P3 inscribiendo un rombo grueso en cada decágono; el espacio restante se llena con finos rombos.
Estas cubiertas se han considerado como un modelo realista para el crecimiento de los cuasicristales : los decágonos superpuestos son "celdas cuasi unitarias" análogas a las celdas unitarias a partir de las cuales se construyen los cristales, y las reglas de coincidencia maximizan la densidad de ciertos grupos atómicos. [49] [51] La naturaleza aperiódica de las cubiertas puede dificultar los estudios teóricos de propiedades físicas, como la estructura electrónica, debido a la ausencia del teorema de Bloch . Sin embargo, los espectros de los cuasicristales todavía se pueden calcular con control de errores. [52]
Las tres variantes del mosaico de Penrose son mutuamente derivables localmente. Seleccionar algunos subconjuntos de los vértices de un mosaico P1 permite producir otros mosaicos no periódicos. Si las esquinas de un pentágono en P1 están etiquetadas sucesivamente con 1,3,5,2,4, se establece un etiquetado inequívoco en todos los pentágonos, siendo el orden en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj. Los puntos con la misma etiqueta definen un mosaico formado por triángulos de Robinson, mientras que los puntos con los números 3 y 4 definen los vértices de un mosaico Tie-and-Navette. [53]
También hay otros mosaicos no equivalentes relacionados, como los mosaicos hexagonal-barco-estrella y Mikulla-Roth. Por ejemplo, si las reglas de coincidencia para el mosaico de rombos se reducen a una restricción específica sobre los ángulos permitidos en cada vértice, se obtiene un mosaico binario. [54] Su simetría subyacente también es quíntuple, pero no es un cuasicristal. Se puede obtener decorando los rombos del mosaico original con otros más pequeños o aplicando reglas de sustitución, pero no mediante el método de cortar y proyectar de De Bruijn. [55]
El valor estético de los mosaicos se ha apreciado desde hace mucho tiempo y sigue siendo motivo de interés para ellos; de ahí que la apariencia visual (más que las propiedades formales definitorias) de los mosaicos de Penrose haya llamado la atención. Se ha observado la similitud con ciertos patrones decorativos utilizados en el norte de África y Oriente Medio; [56] [57] Los físicos Peter J. Lu y Paul Steinhardt han presentado evidencia de que un mosaico de Penrose subyace a ejemplos de patrones geométricos islámicos medievales , como los mosaicos girih (trabajo de correas) en el santuario Darb-e Imam en Isfahán . [58]
El artista de Drop City, Clark Richert, utilizó rombos de Penrose en obras de arte en 1970, obtenidos al proyectar la sombra del triacontaedro rómbico en un plano observando los rombos "gordos" y los rombos "delgados" incrustados que se unen para producir la teselación no periódica. El historiador de arte Martin Kemp ha observado que Alberto Durero esbozó motivos similares de mosaicos en forma de rombo. [59]
En 1979, la Universidad de Miami utilizó un mosaico de Penrose ejecutado en terrazo para decorar el patio del Bachelor Hall de su Departamento de Matemáticas y Estadística. [60]
En el Instituto Indio de Tecnología de la Información de Allahabad , desde la primera fase de construcción en 2001, los edificios académicos se diseñaron sobre la base de la "Geometría de Penrose", diseñada a partir de teselaciones desarrolladas por Roger Penrose. En muchos lugares de esos edificios, el piso tiene patrones geométricos compuestos de mosaicos de Penrose. [61]
El suelo del atrio del edificio Bayliss de la Universidad de Australia Occidental está revestido con baldosas de Penrose. [62]
El edificio Andrew Wiles , donde se encuentra el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Oxford en octubre de 2013, [63] incluye una sección de mosaicos de Penrose como pavimento de su entrada. [64]
La parte peatonal de la calle Keskuskatu en el centro de Helsinki está pavimentada con baldosas de Penrose. La obra finalizó en 2014. [65]
El Transbay Transit Center 2018 de San Francisco presenta perforaciones en la ondulada piel de metal blanco de su exterior con el patrón Penrose. [66]