mosaico de penrose

Un mosaico de Penrose es un ejemplo de mosaico aperiódico . Aquí, un mosaico es una cobertura del plano mediante polígonos u otras formas que no se superponen, y un mosaico es aperiódico si no contiene regiones o parches periódicos arbitrariamente grandes. Sin embargo, a pesar de su falta de simetría traslacional , los mosaicos de Penrose pueden tener simetría de reflexión y simetría rotacional quíntuple . Los mosaicos de Penrose llevan el nombre del matemático y físico Roger Penrose , quien los investigó en la década de 1970.

Hay varias variantes de mosaicos de Penrose con diferentes formas de mosaico. La forma original del mosaico de Penrose utilizaba mosaicos de cuatro formas diferentes, pero luego se redujo a solo dos formas: dos rombos diferentes o dos cuadriláteros diferentes llamados cometas y dardos. Los mosaicos de Penrose se obtienen restringiendo las formas en que se permite que estas formas encajen entre sí de manera que se evite el mosaico periódico. Esto se puede hacer de varias maneras diferentes, incluidas reglas de coincidencia, mosaicos de sustitución o reglas de subdivisión finita , esquemas de corte y proyecto, y revestimientos. Incluso restringida de esta manera, cada variación produce una infinidad de mosaicos de Penrose diferentes.

Roger Penrose en el vestíbulo del Instituto Mitchell de Física Fundamental y Astronomía de la Universidad Texas A&M , de pie sobre un suelo con un mosaico de Penrose

Los mosaicos de Penrose son autosemejantes : se pueden convertir en mosaicos de Penrose equivalentes con diferentes tamaños de mosaicos, mediante procesos llamados inflación y deflación . El patrón representado por cada parche finito de mosaicos en un mosaico de Penrose ocurre infinitas veces a lo largo del mosaico. Son cuasicristales : implementados como estructura física, un mosaico de Penrose producirá patrones de difracción con picos de Bragg y simetría quíntuple, revelando los patrones repetidos y las orientaciones fijas de sus mosaicos. ^[1] El estudio de estos mosaicos ha sido importante para la comprensión de los materiales físicos que también forman cuasicristales. ^[2] Los revestimientos de Penrose también se han aplicado en arquitectura y decoración, como en el pavimento que se muestra.

Antecedentes e historia

Mosaicos periódicos y aperiódicos.

Figura 1. Parte de un mosaico periódico con dos prototipos

Recubrir una superficie plana ("el plano") con algún patrón de formas geométricas ("baldosas"), sin superposiciones ni espacios, se llama mosaico . Los mosaicos más familiares, como cubrir un piso con cuadrados que se juntan de borde a borde, son ejemplos de mosaicos periódicos . Si un mosaico cuadrado se desplaza a lo ancho de un mosaico, paralelo a los lados del mosaico, el resultado es el mismo patrón de mosaicos que antes del cambio. Un cambio (formalmente, una traducción ) que preserva el mosaico de esta manera se llama período del mosaico. Un mosaico se llama periódico cuando tiene períodos que lo desplazan en dos direcciones diferentes. ^[3]

Los mosaicos del mosaico cuadrado tienen una sola forma, y es común que otros mosaicos tengan solo un número finito de formas. Estas formas se denominan prototiles , y se dice que un conjunto de prototiles admite un mosaico o mosaico del plano si hay un mosaico del plano utilizando únicamente estas formas. Es decir, cada mosaico del mosaico debe ser congruente con uno de estos prototipos. ^[4]

Un mosaico que no tiene puntos no es periódico . Se dice que un conjunto de prototiles es aperiódico si todos sus mosaicos son no periódicos y, en este caso, sus mosaicos también se denominan mosaicos aperiódicos . ^[5] Los mosaicos de Penrose se encuentran entre los ejemplos más simples conocidos de mosaicos aperiódicos del plano por conjuntos finitos de prototiles. ^[3]

Los primeros mosaicos aperiódicos

Un conjunto aperiódico de dominó Wang . ^[6]

El tema de los mosaicos aperiódicos recibió un nuevo interés en la década de 1960 cuando el lógico Hao Wang notó conexiones entre los problemas de decisión y los mosaicos. ^[7] En particular, introdujo mosaicos mediante placas cuadradas con bordes coloreados, ahora conocidas como fichas o fichas de dominó Wang , y planteó el " problema del dominó ": determinar si un conjunto dado de fichas de dominó Wang podía revestir el plano con colores coincidentes en fichas adyacentes. bordes de dominó. Observó que si este problema fuera indecidible , entonces tendría que existir un conjunto aperiódico de fichas de dominó de Wang. En ese momento, esto parecía inverosímil, por lo que Wang conjeturó que tal conjunto no podría existir.

El alumno de Wang, Robert Berger, demostró que el problema del dominó era indecidible (por lo que la conjetura de Wang era incorrecta) en su tesis de 1964, ^[8] y obtuvo un conjunto aperiódico de 20.426 fichas de dominó de Wang. ^[9] También describió una reducción a 104 de estos prototipos; este último no apareció en su monografía publicada, ^[10] pero en 1968, Donald Knuth detalló una modificación del conjunto de Berger que requería sólo 92 fichas de dominó. ^[11]

La combinación de colores requerida en un mosaico de dominó Wang se puede lograr fácilmente modificando los bordes de las fichas como si fueran piezas de un rompecabezas para que puedan encajar entre sí solo según lo prescrito por los colores de los bordes. ^[12] Raphael Robinson , en un artículo de 1971 ^[13] que simplificó las técnicas de Berger y la prueba de indecidibilidad, utilizó esta técnica para obtener un conjunto aperiódico de sólo seis prototiles. ^[14]

Desarrollo de los mosaicos de Penrose

El primer mosaico de Penrose (mosaico P1 a continuación) es un conjunto aperiódico de seis prototiles, presentado por Roger Penrose en un artículo de 1974, ^[16] basado en pentágonos en lugar de cuadrados. Cualquier intento de revestir el plano con pentágonos regulares necesariamente deja espacios, pero Johannes Kepler demostró, en su obra de 1619 Harmonices Mundi , que estos espacios pueden llenarse utilizando pentagramas ( polígonos de estrellas ), decágonos y formas relacionadas. ^[17] Kepler amplió este mosaico en cinco polígonos y no encontró patrones periódicos, y ya conjeturó que cada extensión introduciría una nueva característica ^[18] creando así un mosaico aperiódico. También se pueden encontrar huellas de estas ideas en la obra de Alberto Durero . ^[19] Reconociendo la inspiración de Kepler, Penrose encontró reglas coincidentes para estas formas, obteniendo un conjunto aperiódico. Estas reglas de combinación pueden imponerse mediante decoraciones de los bordes, como ocurre con los azulejos Wang. El mosaico de Penrose puede verse como una finalización del patrón Aa finito de Kepler . ^[20]

Posteriormente, Penrose redujo el número de prototiles a dos, descubriendo el mosaico de cometa y dardo (mosaico P2 a continuación) y el mosaico de rombo (mosaico P3 a continuación). ^[21] El mosaico de rombos fue descubierto de forma independiente por Robert Ammann en 1976. ^[22] Penrose y John H. Conway investigaron las propiedades de los mosaicos de Penrose y descubrieron que una propiedad de sustitución explicaba su naturaleza jerárquica; sus hallazgos fueron publicados por Martin Gardner en su columna " Juegos matemáticos " de enero de 1977 en Scientific American . ^[23]

En 1981, NG de Bruijn proporcionó dos métodos diferentes para construir mosaicos de Penrose. El "método multicuadrícula" de De Bruijn obtiene los mosaicos de Penrose como gráficos duales de disposiciones de cinco familias de líneas paralelas. En su "método de corte y proyecto", los mosaicos de Penrose se obtienen como proyecciones bidimensionales a partir de una estructura cúbica de cinco dimensiones. En estos enfoques, el mosaico de Penrose se ve como un conjunto de puntos, sus vértices, mientras que los mosaicos son formas geométricas obtenidas conectando vértices con aristas. ^[24]

mosaicos de penrose

Los tres tipos de mosaicos de Penrose, P1 – P3, se describen individualmente a continuación. ^[25] Tienen muchas características comunes: en cada caso, las baldosas se construyen a partir de formas relacionadas con el pentágono (y por lo tanto con la proporción áurea ), pero las formas básicas de las baldosas deben complementarse con reglas de coincidencia para poder colocarlas en mosaico de forma aperiódica. Estas reglas pueden describirse utilizando vértices o aristas etiquetadas, o patrones en las caras de las losas; alternativamente, el perfil del borde se puede modificar (por ejemplo, mediante muescas y protuberancias) para obtener un conjunto aperiódico de prototiles. ^[9]^[26]

Mosaico pentagonal original de Penrose (P1)

El primer mosaico de Penrose utiliza pentágonos y otras tres formas: una "estrella" de cinco puntas (un pentagrama), un "barco" (aproximadamente 3/5 de una estrella) y un "diamante" (un rombo delgado). ^[27] Para garantizar que todos los mosaicos no sean periódicos, existenreglas de coincidencia que especifican cómo las fichas pueden encontrarse entre sí, y hay tres tipos diferentes de reglas de coincidencia para las fichas pentagonales. Al tratar estos tres tipos como prototiles diferentes se obtiene un conjunto de seis prototiles en total. Es común indicar los tres tipos diferentes de mosaicos pentagonales usando tres colores diferentes, como en la figura de arriba a la derecha. ^[28]

Mosaico de cometas y dardos (P2)

Parte del plano recubierta por mosaico Penrose de tipo P2 (cometa y dardo). Creado aplicando varias deflaciones, consulte la sección siguiente.

El segundo mosaico de Penrose utiliza cuadriláteros llamados "cometa" y "dardo", que pueden combinarse para formar un rombo. Sin embargo, las reglas de comparación prohíben tal combinación. ^[29] Tanto la cometa como el dardo están compuestos por dos triángulos, llamados triángulos de Robinson , según las notas de 1975 de Robinson. ^[30]

Fichas de cometa y dardos (arriba) y las siete posibles figuras de vértice en un mosaico P2, cada una de las cuales recibe los siguientes apodos: Primera fila: estrella, as, sol. Segunda fila: rey, jota, reina, dos

La cometa es un cuadrilátero cuyos cuatro ángulos interiores miden 72, 72, 72 y 144 grados. La cometa se puede dividir en dos a lo largo de su eje de simetría para formar un par de triángulos Robinson agudos (con ángulos de 36, 72 y 72 grados).
El dardo es un cuadrilátero no convexo cuyos cuatro ángulos interiores miden 36, 72, 36 y 216 grados. El dardo se puede dividir en dos a lo largo de su eje de simetría para formar un par de triángulos de Robinson obtusos (con ángulos de 36, 36 y 108 grados), que son más pequeños que los triángulos agudos.

Las reglas de coincidencia se pueden describir de varias maneras. Un enfoque es colorear los vértices (con dos colores, por ejemplo, blanco y negro) y exigir que los mosaicos adyacentes tengan vértices coincidentes. ^[31] Otra es utilizar un patrón de arcos circulares (como se muestra arriba a la izquierda en verde y rojo) para restringir la ubicación de los mosaicos: cuando dos mosaicos comparten un borde en un mosaico, los patrones deben coincidir en estos bordes. ^[21]

Estas reglas obligan a menudo a colocar determinadas fichas: por ejemplo, el vértice cóncavo de cualquier dardo está necesariamente ocupado por dos cometas. Conway llama "as" a la figura correspondiente (centro de la fila superior en la imagen inferior a la izquierda); aunque parece una cometa agrandada, no se mosaico de la misma manera. ^[32] De manera similar, el vértice cóncavo que se forma cuando dos cometas se encuentran a lo largo de un borde corto está necesariamente lleno de dos dardos (abajo a la derecha). De hecho, sólo hay siete formas posibles para que las fichas se encuentren en un vértice; dos de estas figuras, a saber, la "estrella" (arriba a la izquierda) y el "sol" (arriba a la derecha), tienen simetría diédrica quíntuple (por rotaciones y reflexiones), mientras que el resto tiene un solo eje de reflexión (vertical en la imagen). ^[33] Aparte del as (arriba en el medio) y el sol, todas estas figuras de vértice obligan a colocar fichas adicionales. ^[34]

Mosaico de rombos (P3)

Un mosaico de Penrose de tipo P3 que utiliza rombos de Penrose con bordes parabólicos

El tercer mosaico utiliza un par de rombos (a menudo denominados "rombos" en este contexto) con lados iguales pero ángulos diferentes. ^[9] Se pueden usar mosaicos comunes en forma de rombo para revestir el plano periódicamente, por lo que se deben establecer restricciones sobre cómo se pueden ensamblar los mosaicos: dos mosaicos no pueden formar un paralelogramo, ya que esto permitiría un mosaico periódico, pero esta restricción no es suficiente para forzar la aperiodicidad, como muestra la figura 1 anterior.

Hay dos tipos de mosaicos y ambos se pueden descomponer en triángulos de Robinson. ^[30]

El rombo delgado t tiene cuatro esquinas con ángulos de 36, 144, 36 y 144 grados. El trombo se puede dividir en dos a lo largo de su diagonal corta para formar un par de triángulos de Robinson agudos .
El rombo grueso T tiene ángulos de 72, 108, 72 y 108 grados. El rombo T puede dividirse en dos a lo largo de su diagonal larga para formar un par de triángulos de Robinson obtusos; a diferencia de los mosaicos P2, estos son más grandes que los triángulos agudos.

Las reglas de coincidencia distinguen los lados de las fichas e implican que las fichas pueden yuxtaponerse de determinadas formas particulares, pero no de otras. En la imagen de la derecha se muestran dos formas de describir estas reglas de coincidencia. En una forma, las baldosas deben ensamblarse de manera que las curvas de las caras coincidan en color y posición a lo largo de un borde. En el otro, las baldosas deben ensamblarse de manera que las protuberancias de sus bordes encajen entre sí. ^[9]

Hay 54 combinaciones ordenadas cíclicamente de tales ángulos que suman 360 grados en un vértice, pero las reglas del mosaico permiten que solo aparezcan siete de estas combinaciones (aunque una de ellas surge de dos maneras). ^[35]

Las diversas combinaciones de ángulos y curvaturas faciales permiten la construcción de mosaicos arbitrariamente complejos, como las gallinas de Penrose . ^[36]

Características y construcciones.

Proporción áurea y simetría pentagonal local.

Varias propiedades y características comunes de los mosaicos de Penrose involucran la proporción áurea (aproximadamente 1.618). ^[30]^[31] Esta es la relación entre las longitudes de las cuerdas y las longitudes de los lados en un pentágono regular , y satisface $φ$ = 1 + 1/ $φ$ . $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

En consecuencia, la relación entre las longitudes de los lados largos y cortos en los triángulos de Robinson ( isosceles ) es $φ$ :1. De ello se deduce que la relación entre las longitudes de los lados largos y cortos tanto en las fichas de cometa como de dardos también es $φ$ :1, al igual que las relaciones de longitud entre los lados y la diagonal corta en el rombo delgado t , y entre la diagonal larga y los lados en el rombo grueso. T. _ Tanto en el mosaico P2 como en el P3, la razón entre el área del triángulo de Robinson más grande y el más pequeño es $φ$ :1, por lo tanto, también lo son las razones entre las áreas de la cometa y el dardo, y del rombo grueso con respecto al delgado. rombo. (Tanto los triángulos obtusos de Robinson, más grandes como los más pequeños, se pueden encontrar en el pentágono de la izquierda: los triángulos más grandes en la parte superior – las mitades del rombo grueso – tienen dimensiones lineales aumentadas en $φ$ en comparación con el pequeño triángulo sombreado en la base, y entonces la razón de áreas es $φ$ ² :1.)

Cualquier mosaico de Penrose tiene simetría pentagonal local, en el sentido de que hay puntos en el mosaico rodeados por una configuración simétrica de mosaicos: tales configuraciones tienen simetría rotacional quíntuple alrededor del punto central, así como cinco líneas especulares de simetría de reflexión que pasan por el punto. , un grupo de simetría diédrico . ^[9] Esta simetría generalmente preservará solo un parche de mosaicos alrededor del punto central, pero el parche puede ser muy grande: Conway y Penrose demostraron que siempre que las curvas coloreadas en los mosaicos P2 o P3 se cierran en un bucle, la región dentro del El bucle tiene simetría pentagonal y, además, en cualquier mosaico, hay como máximo dos curvas de cada color que no se cierran. ^[37]

Puede haber como máximo un punto central de simetría quíntuple global: si hubiera más de uno, rotar cada uno alrededor del otro produciría dos centros más cercanos de simetría quíntuple, lo que conduce a una contradicción matemática. ^[38] Sólo hay dos mosaicos de Penrose (de cada tipo) con simetría pentagonal global: para el mosaico P2 con cometas y dardos, el punto central es un vértice de "sol" o "estrella". ^[39]

Inflación y deflación

Muchas de las características comunes de los mosaicos de Penrose se derivan de una estructura pentagonal jerárquica dada por reglas de sustitución : esto a menudo se denomina inflación y deflación , o composición y descomposición , de mosaicos o (colecciones de) mosaicos. ^[9]^[23]^[40] Las reglas de sustitución descomponen cada mosaico en mosaicos más pequeños de la misma forma que los utilizados en el mosaico (y así permiten que los mosaicos más grandes se "compongan" a partir de otros más pequeños). Esto muestra que el mosaico de Penrose tiene una autosimilitud de escala y, por lo tanto, puede considerarse un fractal , utilizando el mismo proceso que el pentaflake . ^[41]

Penrose descubrió originalmente el mosaico P1 de esta manera, descomponiendo un pentágono en seis pentágonos más pequeños (la mitad de una red de un dodecaedro ) y cinco medios diamantes; Luego observó que cuando repetía este proceso, todos los espacios entre los pentágonos podían llenarse con estrellas, diamantes, barcos y otros pentágonos. ^[27] Al iterar este proceso indefinidamente obtuvo uno de los dos mosaicos P1 con simetría pentagonal. ^[9]^[20]

Descomposiciones del triángulo de Robinson

El método de sustitución para mosaicos P2 y P3 se puede describir utilizando triángulos de Robinson de diferentes tamaños. Los triángulos de Robinson que surgen en los mosaicos P2 (al dividir cometas y dardos) se llaman mosaicos A, mientras que los que surgen en los mosaicos P3 (al dividir rombos) se llaman mosaicos B. ^[30] La ficha A más pequeña, denominada A _S , es un triángulo de Robinson obtuso , mientras que la ficha A más grande, A _L , es aguda ; por el contrario, una ficha B más pequeña, denominada B _S , es un triángulo de Robinson agudo, mientras que la ficha B más grande, B _L , es obtusa.

Concretamente, si A _S tiene longitudes de lados (1, 1, $φ$ ), entonces A _L tiene longitudes de lados ( $φ$ , $φ$ , 1). Los mosaicos B se pueden relacionar con los mosaicos A de dos maneras:

Si B _S tiene el mismo tamaño que A _L entonces B _L es una versión ampliada $φ$ A _S de A _S , con longitudes de lados ( $φ$ , $φ$ , $φ$ ² = 1 + $φ$ ) – esto se descompone en un mosaico de A _L y A _S Baldosa unida por un lado común de longitud 1.
Si en cambio B _L se identifica con A _S , entonces B _S es una versión reducida (1/ $φ$ )A _L de A _L con longitudes de lados (1/ $φ$ ,1/ $φ$ ,1) – uniendo una loseta B _S y una B La baldosa _L a lo largo de un lado común de longitud 1 produce (una descomposición de) una baldosa A _L.

En estas descomposiciones, parece haber una ambigüedad: los triángulos de Robinson se pueden descomponer de dos maneras, que son imágenes especulares entre sí en el eje de simetría (isosceles) del triángulo. En un mosaico de Penrose, esta elección está fijada por las reglas de coincidencia. Además, las reglas de coincidencia también determinan cómo se componen los triángulos más pequeños del mosaico para dar lugar a los más grandes. ^[30]

Inflación parcial de una estrella para obtener rombos y de un conjunto de rombos para obtener un as.

De ello se deduce que los mosaicos P2 y P3 son mutuamente derivables localmente : un mosaico de un conjunto de mosaicos se puede utilizar para generar un mosaico de otro. Por ejemplo, un mosaico formado por cometas y dardos se puede subdividir en mosaicos A, y estos se pueden componer de manera canónica para formar mosaicos B y, por lo tanto, rombos. ^[15] Los mosaicos P2 y P3 también son mutuamente derivables localmente con el mosaico P1 (ver figura 2 arriba). ^[42]

La descomposición de las fichas B en fichas A se puede escribir

B _S = A _L , B _L = A _L + A _S

(asumiendo la convención de tamaño mayor para los mosaicos B), que se puede resumir en una ecuación matricial de sustitución : ^[43]

{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{ L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.

Combinando esto con la descomposición de mosaicos A $φ$ ampliados en mosaicos B se obtiene la sustitución

{\begin{pmatrix}\varphi A_{L}\\\varphi A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S }\end{pmatrix}}\,,

de modo que la ficha ampliada $φ$ A _L se descomponga en dos fichas A _L y una ficha A _S.Las reglas de emparejamiento obligan a una sustitución particular: las dos fichas A _L en una ficha $φ$ A _L deben formar una cometa y, por lo tanto, una cometa se descompone en dos cometas y dos medios dardos, y un dardo se descompone en una cometa y dos medios dardos. dardos. ^[44]^{[45] Los mosaicos} $φ$ B ampliados se descomponen en mosaicos B de manera similar (a través de mosaicos $φ$ A).

La composición y descomposición se pueden iterar, de modo que, por ejemplo

\varphi ^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{ n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.

El número de cometas y dardos en la enésima iteración de la construcción está determinado por la enésima potencia de la matriz de sustitución:

{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n- 1}\end{pmatrix}}\,,

donde F _n es el enésimo número de Fibonacci . Por lo tanto, la proporción entre el número de cometas y dardos en cualquier patrón de mosaico de Penrose P2 suficientemente grande se aproxima a la proporción áurea $φ$ . ^[46] Un resultado similar se aplica a la relación entre el número de rombos gruesos y rombos delgados en el mosaico P3 Penrose. ^[44]

Deflación para mosaicos P2 y P3

Deflaciones consecutivas del vértice del 'sol' en un mosaico de Penrose de tipo P2

Comenzando con una colección de mosaicos de un mosaico determinado (que puede ser un mosaico único, un mosaico del plano o cualquier otra colección), la deflación continúa con una secuencia de pasos llamados generaciones. En una generación de deflación, cada mosaico se reemplaza con dos o más mosaicos nuevos que son versiones reducidas de los mosaicos utilizados en el mosaico original. Las reglas de sustitución garantizan que las nuevas fichas se organizarán de acuerdo con las reglas de coincidencia. ^[44] Las generaciones repetidas de deflación producen un mosaico de la forma del axioma original con mosaicos cada vez más pequeños.

Esta regla para dividir las fichas es una regla de subdivisión .

La tabla anterior debe utilizarse con precaución. La deflación mitad cometa y mitad dardo son útiles sólo en el contexto de desinflar un patrón más grande como se muestra en las deflaciones del sol y las estrellas. Dan resultados incorrectos si se aplican a cometas y dardos individuales.

Además, la simple regla de subdivisión genera agujeros cerca de los bordes del mosaico que son apenas visibles en las ilustraciones superior e inferior de la derecha. Son útiles reglas de forzamiento adicionales.

Consecuencias y aplicaciones

La inflación y la deflación producen un método para construir mosaicos de cometa y dardo (P2), o mosaicos de rombo (P3), conocido como generación arriba-abajo . ^[32]^[44]^[45]

Los mosaicos de Penrose, al no ser periódicos, no tienen simetría de traslación: el patrón no se puede desplazar para coincidir en todo el plano. Sin embargo, cualquier región delimitada, sin importar cuán grande sea, se repetirá un número infinito de veces dentro del mosaico. Por lo tanto, ningún parche finito puede determinar de forma única un mosaico de Penrose completo, ni siquiera determinar qué posición dentro del mosaico se muestra. ^[47]

Esto muestra en particular que el número de teselaciones distintas de Penrose (de cualquier tipo) es incontablemente infinito . La generación ascendente produce un método para parametrizar los mosaicos, pero otros métodos utilizan barras de Ammann, pentágridas o esquemas de corte y proyecto. ^[44]

Mosaicos y temas relacionados

Revestimientos decagonales y cuasicristales.

En 1996, la matemática alemana Petra Gummelt demostró que se puede construir una cubierta (llamada así para distinguirla de un mosaico no superpuesto) equivalente al mosaico de Penrose utilizando una sola losa decagonal si se permiten dos tipos de regiones superpuestas. ^[49] El azulejo decagonal está decorado con parches de colores, y la regla de recubrimiento permite sólo aquellas superposiciones compatibles con la coloración. Una descomposición adecuada de la losa decagonal en cometas y dardos transforma dicho revestimiento en un mosaico de Penrose (P2). De manera similar, se puede obtener un mosaico P3 inscribiendo un rombo grueso en cada decágono; el espacio restante se llena con finos rombos.

Estas cubiertas se han considerado como un modelo realista para el crecimiento de los cuasicristales : los decágonos superpuestos son "celdas cuasi unitarias" análogas a las celdas unitarias a partir de las cuales se construyen los cristales, y las reglas de coincidencia maximizan la densidad de ciertos grupos atómicos. ^[48]^[50] La naturaleza aperiódica de las cubiertas puede dificultar los estudios teóricos de propiedades físicas, como la estructura electrónica, debido a la ausencia del teorema de Bloch . Sin embargo, los espectros de los cuasicristales todavía se pueden calcular con control de errores. ^[51]

Azulejos relacionados

Las tres variantes del mosaico de Penrose son mutuamente derivables localmente. Seleccionar algunos subconjuntos de los vértices de un mosaico P1 permite producir otros mosaicos no periódicos. Si las esquinas de un pentágono en P1 están etiquetadas sucesivamente con 1,3,5,2,4 , se establece un etiquetado inequívoco en todos los pentágonos, siendo el orden en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj. Los puntos con la misma etiqueta definen un mosaico formado por triángulos de Robinson, mientras que los puntos con los números 3 y 4 definen los vértices de un mosaico Tie-and-Navette. ^[52]

También hay otros mosaicos no equivalentes relacionados, como los mosaicos hexagonal-barco-estrella y Mikulla-Roth. Por ejemplo, si las reglas de coincidencia para el mosaico de rombos se reducen a una restricción específica sobre los ángulos permitidos en cada vértice, se obtiene un mosaico binario. ^[53] Su simetría subyacente también es quíntuple, pero no es un cuasicristal. Se puede obtener decorando los rombos del mosaico original con otros más pequeños o aplicando reglas de sustitución, pero no mediante el método de cortar y proyectar de De Bruijn. ^[54]

Arte y arquitectura

Patrón de mosaico Girih pentagonal y decagonal en una enjuta del santuario Darb-i Imam , Isfahán , Irán (1453 d. C.)
Centro de tránsito de Salesforce en San Francisco. La "piel" exterior, hecha de aluminio blanco, está perforada siguiendo el patrón de un mosaico de Penrose.
Baldosas de Penrose en el suelo del Computer Center 3 (CC-3), IIIT Allahabad

El valor estético de los mosaicos se ha apreciado desde hace mucho tiempo y sigue siendo motivo de interés para ellos; de ahí que la apariencia visual (más que las propiedades formales definitorias) de los mosaicos de Penrose haya llamado la atención. Se ha observado la similitud con ciertos patrones decorativos utilizados en el norte de África y Oriente Medio; ^[55]^[56] Los físicos Peter J. Lu y Paul Steinhardt han presentado evidencia de que un mosaico de Penrose subyace a ejemplos de patrones geométricos islámicos medievales , como los mosaicos girih (trabajo de correas) en el santuario Darb-e Imam en Isfahán . ^[57]

El artista de Drop City, Clark Richert, utilizó rombos de Penrose en obras de arte en 1970, obtenidos al proyectar la sombra del triacontaedro rómbico en un plano observando los rombos "gordos" y los rombos "delgados" incrustados que se unen para producir la teselación no periódica. El historiador de arte Martin Kemp ha observado que Alberto Durero esbozó motivos similares de mosaicos en forma de rombo. ^[58]

En 1979, la Universidad de Miami utilizó un mosaico de Penrose ejecutado en terrazo para decorar el patio del Bachelor Hall de su Departamento de Matemáticas y Estadística. ^[59]

En el Instituto Indio de Tecnología de la Información de Allahabad , desde la primera fase de construcción en 2001, los edificios académicos se diseñaron sobre la base de la "Geometría de Penrose", diseñada a partir de teselaciones desarrolladas por Roger Penrose. En muchos lugares de esos edificios, el suelo tiene patrones geométricos compuestos de baldosas de Penrose. ^[60]

El suelo del atrio del edificio Bayliss de la Universidad de Australia Occidental está revestido con baldosas de Penrose. ^[61]

El edificio Andrew Wiles , donde se encuentra el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Oxford en octubre de 2013, ^[62] incluye una sección de azulejos de Penrose como pavimento de su entrada. ^[63]

La parte peatonal de la calle Keskuskatu en el centro de Helsinki está pavimentada con baldosas de Penrose. La obra finalizó en 2014. ^[64]

El Transbay Transit Center 2018 de San Francisco presenta perforaciones en la ondulada piel de metal blanco de su exterior con el patrón Penrose. ^{[sesenta y cinco]}

Ver también

Notas

^ Senechal 1996, págs. 241-244.
^ Radin 1996.
^ ab Las referencias generales para este artículo incluyen Gardner 1997, págs. 1–30, Grünbaum & Shephard 1987, págs. 520–548 y 558–579, y Senechal 1996, págs.
^ Gardner 1997, págs.20, 23
^ Grünbaum y Shephard 1987, pág. 520
^ Culik y Kari 1997
^ Wang 1961
^ Robert Berger en el Proyecto de genealogía de matemáticas
^ abcdefgAustin 2005a
^ Berger 1966
^ Grünbaum y Shephard 1987, pág. 584
^ Gardner 1997, pág. 5
^ Robinson 1971
^ Grünbaum y Shephard 1987, pág. 525
^ ab Senechal 1996, págs. 173-174
^ Penrose 1974
^ Grünbaum y Shephard 1987, sección 2.5
^ Kepler, Johannes (1997). La armonía del mundo. Sociedad Filosófica Estadounidense. pag. 108.ISBN _ 0871692090.
^ Suerte 2000
^ ab Senechal 1996, pag. 171
^ ab Gardner 1997, pág. 6
^ Gardner 1997, pág. 19
^ ab Gardner 1997, capítulo 1
^ de Bruijn 1981
^ La notación P1-P3 está tomada de Grünbaum & Shephard 1987, sección 10.3.
^ Grünbaum y Shephard 1987, sección 10.3
^ ab Penrose 1978, pág. 32
^ "Sin embargo, como se explicará en un momento, los pentágonos de diferentes colores se considerarán diferentes tipos de mosaicos". Austin 2005a; Grünbaum & Shephard 1987, figura 10.3.1, muestra las modificaciones de los bordes necesarias para producir un conjunto aperiódico de prototiles.
^ "El rombo, por supuesto, se mosaico periódicamente, pero no se nos permite unir las piezas de esta manera". Gardner 1997, págs. 6-7
^ abcde Grünbaum y Shephard 1987, págs. 537–547
^ ab Senechal 1996, pag. 173
^ ab Gardner 1997, pág. 8
^ Gardner 1997, págs. 10-11
^ Gardner 1997, pág. 12
^ Sénéchal 1996, pag. 178
^ "Los azulejos de Penrose". Matemáticas asesinas . Consultado el 20 de enero de 2020 .
^ Gardner 1997, pág. 9
^ Gardner 1997, pág. 27
^ Grünbaum y Shephard 1987, pág. 543
^ En Grünbaum & Shephard 1987, el término "inflación" se utiliza donde otros autores usarían "deflación" (seguido de reescalamiento). Los términos "composición" y "descomposición", que también utilizan muchos autores, son menos ambiguos.
^ Ramachandrarao, P (2000). "Sobre la naturaleza fractal del mosaico de Penrose" (PDF) . Ciencia actual . 79 : 364.
^ Grünbaum y Shephard 1987, pág. 546
^ Senechal 1996, págs. 157-158
^ abcdeaustin 2005b
^ ab Senechal 1996, pag. 183
^ Gardner 1997, pág. 7
^ "... cualquier parche finito que elijamos en un mosaico quedará dentro de un solo mosaico inflado si continuamos avanzando lo suficiente en la jerarquía de inflación. Esto significa que en cualquier lugar donde ese mosaico se encuentre en ese nivel de la jerarquía, nuestro parche original "También debe ocurrir en el mosaico original. Por lo tanto, el parche aparecerá infinitamente a menudo en el mosaico original y, de hecho, también en todos los demás mosaicos". Austin 2005a
^ ab Señor y Ranganathan 2001
^ Gominola 1996
^ Steinhardt y Jeong 1996; ver también Steinhardt, Paul J. "Un nuevo paradigma para la estructura de los cuasicristales".
^ Colbrook; Romano; Hansen (2019). "Cómo calcular espectros con control de errores". Cartas de revisión física . 122 (25): 250201. Código bibliográfico : 2019PhRvL.122y0201C. doi : 10.1103/PhysRevLett.122.250201. PMID 31347861. S2CID 198463498.
^ Suerte, R (1990). "Subredes de Penrose". Revista de sólidos no cristalinos . 117–8 (90): 832–5. Código bibliográfico : 1990JNCS..117..832L. doi :10.1016/0022-3093(90)90657-8.
^ Lancon y Billard 1988
^ Godrèche y Lançon 1992; véase también Dirk Frettlöh; F. Gähler y Edmund Harriss . "Binario". Enciclopedia de mosaicos . Departamento de Matemáticas, Universidad de Bielefeld.
^ Zaslavskiĭ y col. 1988; Makovický 1992
^ Prange, Sebastián R.; Peter J. Lu (1 de septiembre de 2009). "Los Azulejos del Infinito". Mundo de Saudi Aramco . Empresa de Servicios Aramco. págs. 24-31 . Consultado el 22 de febrero de 2010 .
^ Lu y Steinhardt 2007
^ Kemp 2005
^ The Penrose Tiling en la Universidad de Miami Archivado el 14 de agosto de 2017 en Wayback Machine por David Kullman, presentado en la reunión de la sección de Ohio de la Asociación Matemática de América Universidad Estatal Shawnee , 24 de octubre de 1997
^ "Instituto Indio de Tecnología de la Información, Allahabad". ArchNet .
^ "Centenario: Universidad de Australia Occidental". www.tesoros.uwa.edu.au .
^ "Proyecto de nueva construcción". Archivado desde el original el 22 de noviembre de 2012 . Consultado el 30 de noviembre de 2013 .
^ "Roger Penrose explica las matemáticas del pavimento Penrose". Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford .
^ "Keskuskadun kävelykadusta voi tulla matemaattisen hämmästelyn kohde". Helsingin Sanomat . 6 de agosto de 2014.
^ Kuchar, Sally (11 de julio de 2013). "Consulte el diseño propuesto para el Transbay Transit Center". Frenado .

Referencias

Fuentes primarias

Berger, R. (1966). La indecidibilidad del problema del dominó. Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense. vol. 66.ISBN _ 9780821812662..
de Bruijn, NG (1981). "Teoría algebraica de los mosaicos no periódicos del plano de Penrose, I, II" (PDF) . Indagaciones Mathematicae . 43 (1): 39–66. doi : 10.1016/1385-7258(81)90017-2 ..
Gummelt, Petra (1996). "Azulejos de Penrose como revestimientos de decágonos congruentes". Geometriae Dedicata . 62 (1): 1–17. doi :10.1007/BF00239998. SEÑOR 1400977. Zbl 0893.52011.
Penrose, Roger (1974). "El papel de la estética en la investigación matemática pura y aplicada". Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones . 10 : 266 y siguientes..
US 4133152, Penrose, Roger , "Conjunto de azulejos para cubrir una superficie", publicado el 9 de enero de 1979 .
Robinson, RM (1971). "Indecidibilidad y no periodicidad de las teselas del avión". Invenciones Mathematicae . 12 (3): 177–190. Código Bib : 1971 InMat..12..177R. doi :10.1007/BF01418780. S2CID 14259496..
Schechtman, D.; Blech, I.; Gracias, D.; Cahn, JW (1984). "Fase metálica con orden de orientación de largo alcance y sin simetría de traslación". Cartas de revisión física . 53 (20): 1951-1953. Código bibliográfico : 1984PhRvL..53.1951S. doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 .
Wang, H. (1961). "Demostración de teoremas mediante reconocimiento de patrones II". Revista técnica del sistema Bell . 40 : 1–42. doi :10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x..

Fuentes secundarias

Austin, David (2005a). "Penrose Tiles habla a través de millas". Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense..
Austin, David (2005b). "Penrose Tilings atados con cintas". Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense..
Colbrook, Mateo; Romano, Bogdan; Hansen, Anders (2019). "Cómo calcular espectros con control de errores". Cartas de revisión física . 122 (25): 250201. Código bibliográfico : 2019PhRvL.122y0201C. doi : 10.1103/PhysRevLett.122.250201. PMID 31347861. S2CID 198463498.
Culik, Karel; Kari, Jarkko (1997). "Sobre conjuntos aperiódicos de mosaicos Wang". Fundamentos de la Informática . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 1337, págs. 153-162. doi :10.1007/BFb0052084. ISBN 978-3-540-63746-2.
Gardner, Martín (1997). "Penrose Tiles hasta cifrados de trampilla" . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-88385-521-8.. (Publicado por primera vez por WH Freeman, Nueva York (1989), ISBN 978-0-7167-1986-1 .)
- El capítulo 1 (págs. 1 a 18) es una reimpresión de Gardner, Martin (enero de 1977). "Extraordinario mosaico no periódico que enriquece la teoría de los mosaicos". Científico americano . vol. 236, núm. 1. págs. 110-121. Código bibliográfico : 1977SciAm.236a.110G. doi : 10.1038/scientificamerican0177-110..
Godrèche, C; Lanzón, F. (1992). "Un ejemplo sencillo de mosaico que no es de Pisot y con simetría quíntuple" (PDF) . Revista de Física I. 2 (2): 207–220. Código Bib : 1992JPhy1...2..207G. doi :10.1051/jp1:1992134. S2CID 120168483..
Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3..
Kemp, Martín (2005). "Ciencia en la cultura: Un truco de las tejas". Naturaleza . 436 (7049): 332. Bibcode :2005Natur.436..332K. doi : 10.1038/436332a ..
Lançon, Frédéric; Billar, Luc (1988). "Sistema bidimensional con un estado fundamental cuasicristalino" (PDF) . Revista de físico . 49 (2): 249–256. CiteSeerX 10.1.1.700.3611 . doi :10.1051/jphys:01988004902024900..
Señor, EA; Ranganathan, S. (2001). "El decágono de Gummelt como 'cuasi celda unitaria'" (PDF) . Acta Cristalográfica . A57 (5): 531–539. CiteSeerX 10.1.1.614.3786 . doi :10.1107/S0108767301007504. PMID 11526302.
Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. (2007). "Azulejos decagonales y cuasicristalinos en la arquitectura islámica medieval" (PDF) . Ciencia . 315 (5815): 1106–1110. Código Bib : 2007 Ciencia... 315.1106L. doi : 10.1126/ciencia.1135491. PMID 17322056. S2CID 10374218..
Suerte, R. (2000). "Durero-Kepler-Penrose: el desarrollo de mosaicos pentagonales". Ciencia e Ingeniería de los Materiales . 294 (6): 263–267. doi :10.1016/S0921-5093(00)01302-2..
Makovický, E. (1992). "Azulejos pentagonales de 800 años de antigüedad de Maragha, Irán, y las nuevas variedades de mosaicos aperiódicos que inspiró". En I. Hargittai (ed.). Quíntuple Simetría . Singapur-Londres: World Scientific. págs. 67–86. ISBN 9789810206000..
Penrose, Roger (1978). "Pentaplexidad" (PDF) . Eureka . vol. 39, págs. 16-22.. (Los números de página citados aquí provienen de la reproducción de Penrose, R. (1979–80). "Pentaplexity: A class of non-periodic tilings of the plane". The Mathematical Intelligencer . 2 : 32–37. doi :10.1007/BF03024384 S2CID 120305260 ..)
Radin, Charles (abril de 1996). "Reseña del libro: cuasicristales y geometría" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 43 (4): 416–421.
Sénéchal, Marjorie (1996). Cuasicristales y geometría . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57541-6..
Steinhardt, Paul J.; Jeong, Hyeong-Chai (1996). "Un enfoque más simple para el mosaico de Penrose con implicaciones para la formación de cuasicristales". Naturaleza . 382 (1 de agosto): 431–433. Código Bib :1996Natur.382..431S. doi :10.1038/382431a0. S2CID 4354819..
Zaslavskiĭ, GM; Sagdeev, Roal'd Z.; Usikov, DA; Chernikov, AA (1988). "Caos mínimo, red estocástica y estructuras de simetría cuasicristalina". Física soviética Uspekhi . 31 (10): 887–915. Código bibliográfico : 1988SvPhU..31..887Z. doi :10.1070/PU1988v031n10ABEH005632..

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los mosaicos de Penrose .

Weisstein, Eric W. "Azulejos de Penrose". MundoMatemático .
Juan Savard. "Azulejos de Penrose". quadibloc.com . Consultado el 28 de noviembre de 2009 .
Eric Hwang. "Azulejos de Penrose". intendo.net . Consultado el 28 de noviembre de 2009 .
F. Gähler; E. Harriss y D. Frettlöh. "Rombo de Penrose". Enciclopedia de mosaicos . Departamento de Matemáticas, Universidad de Bielefeld . Consultado el 28 de noviembre de 2009 .
Kevin Brown. "Sobre las rejillas y mosaicos de de Bruijn". mathpages.com . Consultado el 28 de noviembre de 2009 .
David Epstein . "Azulejos de Penrose". El depósito de chatarra de geometría . ics.uci.edu/~eppstein . Consultado el 28 de noviembre de 2009 .Esto tiene una lista de recursos adicionales.
Guillermo Chow. "Azulejo de Penrose en la arquitectura" . Consultado el 28 de diciembre de 2009 .
"Visor de mosaicos de Penrose".