Categoría monoidal donde A ⊗ B es naturalmente equivalente a B ⊗ A
En teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal (es decir, una categoría en la que se define un "producto tensorial") tal que el producto tensorial es simétrico (es decir , es, en cierto sentido estricto, naturalmente isomorfo). para todos los objetos y de la categoría). Uno de los ejemplos prototípicos de una categoría monoidal simétrica es la categoría de espacios vectoriales sobre algún campo fijo k, utilizando el producto tensorial ordinario de espacios vectoriales .![{\displaystyle \otimes}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\otimes B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B\otimes A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición
Una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal ( C , ⊗, I ) tal que, para cada par A , B de objetos en C , existe un isomorfismo llamado mapa de intercambio [1] que es natural tanto en A como en B y tal que los siguientes diagramas conmutan:![{\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La coherencia unitaria:
- La coherencia de la asociatividad:
- La ley inversa:
En los diagramas anteriores, a , l y r son el isomorfismo de asociatividad, el isomorfismo de la unidad izquierda y el isomorfismo de la unidad derecha, respectivamente.
Ejemplos
Algunos ejemplos y no ejemplos de categorías monoidales simétricas:
- La categoría de conjuntos . El producto tensorial es el producto cartesiano teórico de conjuntos, y cualquier singleton puede fijarse como objeto unitario.
- La categoría de grupos . Como antes, el producto tensorial es simplemente el producto cartesiano de grupos y el grupo trivial es el objeto unitario.
- De manera más general, cualquier categoría con productos finitos, es decir, una categoría monoidal cartesiana , es monoidal simétrica. El producto tensorial es el producto directo de objetos, y cualquier objeto terminal (producto vacío) es el objeto unitario.
- La categoría de bimódulos sobre un anillo R es monoidal (usando el producto tensor ordinario de módulos), pero no necesariamente simétrica. Si R es conmutativo, la categoría de R izquierdo -módulos es monoidal simétrica. La última clase de ejemplo incluye la categoría de todos los espacios vectoriales en un campo determinado.
- Dado un campo k y un grupo (o un álgebra de Lie sobre k ), la categoría de todas las k -representaciones lineales del grupo (o del álgebra de Lie) es una categoría monoidal simétrica. Aquí se utiliza el producto tensorial estándar de representaciones.
- Las categorías ( Ste , ) y ( Ste , ) de los espacios estereotipados son monoidales simétricas y, además, ( Ste , ) es una categoría monoidal simétrica cerrada con el functor hom interno .
![{\displaystyle \circledast}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\odot}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathbb {C} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \circledast}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\oslash}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
El espacio de clasificación (realización geométrica del nervio ) de una categoría monoidal simétrica es un espacio, por lo que su finalización de grupo es un espacio de bucle infinito . [2]![{\displaystyle E_{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Especializaciones
Una categoría monoidal simétrica de daga es una categoría monoidal simétrica con una estructura de daga compatible .
Un cosmos es una categoría monoidal simétrica cerrada cocompleta y completa .
Generalizaciones
En una categoría monoidal simétrica, los isomorfismos naturales son sus propios inversos en el sentido de que . Si abandonamos este requisito (pero aún requerimos que sea naturalmente isomorfo a ), obtenemos la noción más general de categoría monoidal trenzada .![{\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\otimes B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B\otimes A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ Fong, Brendan; Spivak, David I. (12 de octubre de 2018). "Siete bocetos de composicionalidad: una invitación a la teoría de categorías aplicada". arXiv : 1803.05316 [matemáticas.CT].
- ^ Thomason, RW (1995). "Las categorías monoidales simétricas modelan todos los espectros conectivos" (PDF) . Teoría y Aplicaciones de Categorías . 1 (5): 78-118. CiteSeerX 10.1.1.501.2534 .