Momento angular relativista

Momento angular en relatividad especial y general

En física , el momento angular relativista se refiere a los formalismos matemáticos y conceptos físicos que definen el momento angular en la relatividad especial (SR) y la relatividad general (GR). La cantidad relativista es sutilmente diferente de la cantidad tridimensional en la mecánica clásica .

El momento angular es una cantidad dinámica importante derivada de la posición y el impulso. Es una medida del movimiento de rotación de un objeto y la resistencia a los cambios en su rotación. Además, de la misma manera que la conservación del momento corresponde a la simetría traslacional, la conservación del momento angular corresponde a la simetría rotacional: la conexión entre simetrías y leyes de conservación se establece mediante el teorema de Noether . Si bien estos conceptos se descubrieron originalmente en la mecánica clásica , también son verdaderos y significativos en la relatividad especial y general. En términos de álgebra abstracta, la invariancia del momento angular, el momento de cuatro y otras simetrías en el espacio-tiempo se describen mediante el grupo de Lorentz , o más generalmente el grupo de Poincaré .

Las cantidades físicas que permanecen separadas en la física clásica se combinan naturalmente en SR y GR al imponer los postulados de la relatividad. En particular, las coordenadas de espacio y tiempo se combinan en las cuatro posiciones , y la energía y el impulso se combinan en las cuatro posiciones . Los componentes de estos cuatro vectores dependen del marco de referencia utilizado y cambian bajo las transformaciones de Lorentz a otros marcos inerciales o marcos acelerados .

El momento angular relativista es menos obvio. La definición clásica de momento angular es el producto cruzado de la posición x con el momento p para obtener un pseudovector x × p , o alternativamente como el producto exterior para obtener un tensor antisimétrico de segundo orden x ∧ p . ¿Con qué se combina esto, en todo caso? Hay otra cantidad vectorial que no se discute a menudo: es el momento de masa vectorial polar variable en el tiempo ( no el momento de inercia ) relacionado con el impulso del centro de masa del sistema, y ​​esto se combina con el pseudovector de momento angular clásico. para formar un tensor antisimétrico de segundo orden, exactamente de la misma manera que el vector polar del campo eléctrico se combina con el pseudovector del campo magnético para formar el tensor antisimétrico del campo electromagnético. Para distribuciones de masa-energía en rotación (como giroscopios , planetas , estrellas y agujeros negros ) en lugar de partículas puntuales, el tensor de momento angular se expresa en términos del tensor de tensión-energía del objeto en rotación.

Sólo en la relatividad especial, en el sistema de reposo de un objeto que gira, hay un momento angular intrínseco análogo al "giro" en la mecánica cuántica y la mecánica cuántica relativista , aunque para un cuerpo extendido en lugar de una partícula puntual. En la mecánica cuántica relativista, las partículas elementales tienen espín y esto es una contribución adicional al operador del momento angular orbital , lo que produce el operador tensor del momento angular total . En cualquier caso, la adición intrínseca de "giro" al momento angular orbital de un objeto se puede expresar en términos del pseudovector de Pauli-Lubanski . ^[1]

Definiciones

El momento de 3 ángulos como bivector (elemento plano) y vector axial , de una partícula de masa m con x instantáneo de 3 posiciones y momento de 3 p .

Momento angular orbital 3d

Como referencia y antecedentes, se dan dos formas de momento angular estrechamente relacionadas.

En mecánica clásica , el momento angular orbital de una partícula con vector de posición tridimensional instantáneo x = ( x , y , z ) y vector de momento p = ( p _x , p _y , p _z ) , se define como el vector axial

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$$

permutaciones cíclicasxyyzzx

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}}$$

Una definición relacionada es concebir el momento angular orbital como un elemento plano . Esto se puede lograr reemplazando el producto cruzado por el producto exterior en el lenguaje del álgebra exterior , y el momento angular se convierte en un tensor antisimétrico contravariante de segundo orden ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }$$

o escribiendo x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ( x , y , z ) y vector de impulso p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ) , el Los componentes se pueden abreviar de forma compacta en notación de índice tensorial.

$${\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}}$$

ijmatriz antisimétrica de 3 × 3

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Esta cantidad es aditiva y, para un sistema aislado, el momento angular total de un sistema se conserva.

Momento de masa dinámico

En mecánica clásica, la cantidad tridimensional de una partícula de masa m que se mueve con velocidad u ^{[2] [3]}

$${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p} }$$

dimensionesmomento de masacentro de masat = 0marco del laboratorioμNtransformación galileana

Este vector también es aditivo: para un sistema de partículas, la suma vectorial es la resultante

$${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)}$$

donde la posición del centro de masa

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}}$$

Para un sistema aislado, N se conserva en el tiempo, lo que se puede ver diferenciando con respecto al tiempo. El momento angular L es un pseudovector, pero N es un vector "ordinario" (polar) y, por tanto, es invariante bajo inversión.

El N _tot resultante para un sistema multipartícula tiene la visualización física de que, cualquiera que sea el complicado movimiento de todas las partículas, se mueven de tal manera que el COM del sistema se mueve en línea recta. Esto no significa necesariamente que todas las partículas "sigan" el COM, ni que todas las partículas se muevan casi en la misma dirección simultáneamente, sólo que el movimiento colectivo de las partículas está restringido en relación con el centro de masa.

En relatividad especial, si la partícula se mueve con velocidad u relativa al marco del laboratorio, entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$

factor de LorentzmmupE

$${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).}$$

Los componentes cartesianos son

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}}$$

Relatividad especial

Transformaciones de coordenadas para un impulso en la dirección x

Considere un sistema de coordenadas F′ que se mueve con velocidad v = ( v , 0, 0) con respecto a otro sistema F, a lo largo de la dirección de los ejes xx′ coincidentes . Los orígenes de los dos sistemas de coordenadas coinciden en los momentos t = t ′ = 0 . Las componentes masa-energía E = mc ^{2 y momento} p = ( p _x , p _y , p _z ) de un objeto, así como las coordenadas de posición x = ( x , y , z ) y el tiempo t en el cuadro F se transforman en E ′ = m ′ c ² , p ′ = ( p _x ′, p _y ′, p _z ′ ) , x ′ = ( x ′, y ′, z ′ ) y t ′ en F′ según las transformaciones de Lorentz

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}}$$

El factor de Lorentz aquí se aplica a la velocidad v , la velocidad relativa entre los fotogramas. Esto no es necesariamente lo mismo que la velocidad u de un objeto.

Para el momento orbital de 3 ángulos L como pseudovector, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}}$$

Derivación

Para el componente x

$${\displaystyle L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}}$$

el componente y

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}$$

y componente z

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}$$

En los segundos términos de L _y ′ y L _z ′ , los componentes y y z del producto cruzado v × N se pueden inferir reconociendo permutaciones cíclicas de v _x = v y v _y = v _z = 0 con los componentes de N ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}}$$

Ahora, L _x es paralela a la velocidad relativa v , y los otros componentes L _y y L _z son perpendiculares a v . La correspondencia paralelo-perpendicular se puede facilitar dividiendo todo el pseudovector de momento angular de 3 en componentes paralelos (∥) y perpendiculares (⊥) a v , en cada cuadro,

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.}$$

Luego, las ecuaciones componentes se pueden recopilar en ecuaciones pseudovectoriales.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, las componentes del momento angular a lo largo de la dirección del movimiento no cambian, mientras que las componentes perpendiculares sí cambian. A diferencia de las transformaciones del espacio y el tiempo, el tiempo y las coordenadas espaciales cambian a lo largo de la dirección del movimiento, mientras que las perpendiculares no.

Estas transformaciones son válidas para todo v , no sólo para el movimiento a lo largo de los ejes xx′ .

Considerando L como tensor, obtenemos un resultado similar

$${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}}$$

El impulso del momento de masa dinámico a lo largo de la dirección x es

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Derivación

Para el componente x

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}$$

el componente y

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}$$

y componente z

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}$$

Recolectando componentes paralelos y perpendiculares como antes

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}}$$

Nuevamente, las componentes paralelas a la dirección del movimiento relativo no cambian, las perpendiculares sí cambian.

Transformaciones vectoriales para un impulso en cualquier dirección.

Hasta ahora estas son sólo las descomposiciones paralelas y perpendiculares de los vectores. Las transformaciones en los vectores completos se pueden construir a partir de ellos de la siguiente manera (aquí L es un pseudovector para mayor concreción y compatibilidad con el álgebra vectorial).

Introduzca un vector unitario en la dirección de v , dado por n = v / v . Las componentes paralelas están dadas por la proyección vectorial de L o N en n

$${\displaystyle \mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

rechazo vectorialLNn

$${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}}$$

v = v n

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Éstas son muy similares a las transformaciones de Lorentz del campo eléctrico E y del campo magnético B , véase Electromagnetismo clásico y relatividad especial .

Alternativamente, a partir de las transformaciones vectoriales de Lorentz de tiempo, espacio, energía y momento, para un impulso con velocidad v ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned}}}$$

Derivación de transformaciones vectoriales directamente.

El momento angular orbital en cada cuadro es

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$

entonces tomando el producto cruzado de las transformaciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}}$$

Usando la regla del triple producto

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}}$$

da

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}}$$

y junto con la definición de N tenemos

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}$$

Restableciendo el vector unitario n ,

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]}$$

Dado que en la transformación hay un producto cruzado a la izquierda con n ,

$${\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$

entonces

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$

Momento angular 4d como bivector

En mecánica relativista, el impulso COM y el momento angular orbital de 3 espacios de un objeto en rotación se combinan en un bivector de cuatro dimensiones en términos de las cuatro posiciones X y el cuatro momento P del objeto ^{[4] [5]}

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$$

En componentes

$${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$$

XPM.

$${\displaystyle M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}}$$

$${\displaystyle M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}}$$

− c

$${\displaystyle M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }}$$

Los componentes del tensor se pueden representar sistemáticamente como una matriz.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}$$

matriz de bloquesa Nvector de filamatriz se transponevector de columna N ^Tx ∧ pmatriz antisimétrica de

Nuevamente, este tensor es aditivo: el momento angular total de un sistema es la suma de los tensores de momento angular para cada constituyente del sistema:

$${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.}$$

Cada uno de los seis componentes forma una cantidad conservada cuando se agrega con los componentes correspondientes de otros objetos y campos.

El tensor de momento angular M es de hecho un tensor, los componentes cambian de acuerdo con una matriz de transformación de Lorentz Λ, como se ilustra de la manera habitual mediante la notación del índice tensorial.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},}$$

β = v / c

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}}$$

β _iβ ⁱβ

En otras palabras, uno puede transformar Lorentz las cuatro posiciones y los cuatro momentos por separado, y luego antisimetrizar esos componentes recién encontrados para obtener el tensor de momento angular en el nuevo marco.

Transformaciones vectoriales derivadas de las transformaciones tensoriales.

La transformación de los componentes de impulso son

$${\displaystyle {\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}}$$

en cuanto al momento angular orbital

$${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}}$$

Las expresiones en las entradas de la transformación de Lorentz son

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}$$

da

$${\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}$$

o en forma vectorial, dividiendo por c

$${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} }$$

o restableciendo β = v / c ,

$${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L} }$$

y

$${\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}$$

o convertir a forma pseudovectorial

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}}$$

en notación vectorial

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )}$$

o restableciendo β = v / c ,

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)}$$

Rotación del cuerpo rígido

Para una partícula que se mueve en una curva, el producto cruzado de su velocidad angular ω (un pseudovector) y la posición x dan su velocidad tangencial.

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$$

que no puede exceder una magnitud de c , ya que en SR la velocidad de traslación de cualquier objeto masivo no puede exceder la velocidad de la luz c . Matemáticamente esta restricción es 0 ≤ | tu | < c , las barras verticales denotan la magnitud del vector. Si el ángulo entre ω y x es θ (se supone que es distinto de cero; de lo contrario, u sería cero correspondiente a ningún movimiento), entonces | tu | = | ω | | x | sen θ y la velocidad angular está restringida por

$${\displaystyle 0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}}$$

Por tanto, la velocidad angular máxima de cualquier objeto masivo depende del tamaño del objeto. Para un determinado | x |, el límite superior mínimo ocurre cuando ω y x son perpendiculares, de modo que θ = π /2 y sen θ = 1 .

Para un cuerpo rígido que gira con una velocidad angular ω , la u es la velocidad tangencial en un punto x dentro del objeto. Para cada punto del objeto, existe una velocidad angular máxima.

La velocidad angular (pseudovector) está relacionada con el momento angular (pseudovector) a través del tensor de momento de inercia I.

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}}$$

·contracción tensorial

Giro en relatividad especial

cuatro giros

Una partícula puede tener un momento angular "incorporado" independiente de su movimiento, llamado espín y denotado como s . Es un pseudovector 3D similar al momento angular orbital L.

El espín tiene un momento magnético de espín correspondiente , por lo que si la partícula está sujeta a interacciones (como campos electromagnéticos o acoplamiento espín-órbita ), la dirección del vector de espín de la partícula cambiará, pero su magnitud será constante.

La extensión a la relatividad especial es sencilla. ^[6] Para algún marco de laboratorio F, sea F′ el marco de reposo de la partícula y supongamos que la partícula se mueve con una velocidad constante de 3 u . Entonces F′ se impulsa con la misma velocidad y las transformaciones de Lorentz se aplican como de costumbre; es más conveniente utilizar β = u / c . Como cuatro vectores en la relatividad especial, el S de cuatro espines generalmente toma la forma habitual de un vector de cuatro con un componente temporal s _t y componentes espaciales s , en el marco del laboratorio.

$${\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})}$$

s

$${\displaystyle \mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)}$$

La equiparación de normas conduce a la relación invariante

$${\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '}$$

s _t

Transformaciones vectoriales derivadas de las transformaciones tensoriales.

Los componentes potenciados de los cuatro giros en relación con el marco del laboratorio son

$${\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}$$

Aquí γ = γ ( u ) . S ′ está en el sistema de reposo de la partícula, por lo que su componente temporal es cero, S ′ ⁰ = 0 , no S ⁰ . Además, el primero es equivalente al producto interno de las cuatro velocidades (dividido por c ) y los cuatro giros. La combinación de estos hechos conduce a

$${\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$

que es una invariante. Luego, esto, combinado con la transformación del componente temporal, conduce al componente percibido en el marco del laboratorio;

$${\displaystyle S^{0}=\beta _{i}S^{i}}$$

Las relaciones inversas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}}$$

La restricción covariante del giro es la ortogonalidad al vector velocidad,

$${\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$

En notación de 3 vectores para mayor claridad, las transformaciones son

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}}$$

Las relaciones inversas

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}}$$

El pseudovector de Pauli-Lubanski

El pseudovector de Pauli-Lubanski

$${\displaystyle S_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$$

a partículas sin masa

Descomposición espín-orbital

En general, el tensor de momento angular total se divide en un componente orbital y un componente de espín .

$${\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.}$$

Momento angular de una distribución masa-energía-momento

Momento angular del tensor masa-energía-momento

El siguiente es un resumen de MTW . ^[7] Para simplificar, se suponen coordenadas cartesianas. En la relatividad especial y general, una distribución de masa-energía-momento, por ejemplo, un fluido o una estrella, se describe mediante el tensor de tensión-energía T ^βγ (un campo tensor de segundo orden que depende del espacio y el tiempo). Dado que T ⁰⁰ es la densidad de energía, T ^{j 0} para j = 1, 2, 3 es el jésimo componente del momento 3d del objeto por unidad de volumen, y Ti ^j forma componentes del tensor de tensión , incluidas las tensiones cortante y normal, el orbital La densidad del momento angular alrededor de la posición del 4-vector X ^β está dada por un tensor de tercer orden.

$${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }}$$

Esto es antisimétrico en α y β . En la relatividad especial y general, T es un tensor simétrico, pero en otros contextos (por ejemplo, la teoría cuántica de campos), puede que no lo sea.

Sea Ω una región del espacio-tiempo 4d. El límite es una hipersuperficie del espacio-tiempo tridimensional ("volumen de superficie del espacio-tiempo" en contraposición a "área de superficie espacial"), denominada ∂Ω donde "∂" significa "límite". La integración de la densidad del momento angular sobre una hipersuperficie del espacio-tiempo 3D produce el tensor del momento angular alrededor de X ,

$${\displaystyle M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }}$$

_γforma 1vector unitarioXX

$${\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz}$$

Momento angular respecto al centro de masa

Hay un momento angular intrínseco en el marco del centro de masa; en otras palabras, el momento angular respecto de cualquier evento.

$${\displaystyle \mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)}$$

enT ⁰⁰centro de masa

$${\displaystyle X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz}$$

Al configurar Y = X _COM se obtiene la densidad del momento angular orbital alrededor del centro de masa del objeto.

Conservación del momento angular

La conservación de la energía-momento viene dada en forma diferencial por la ecuación de continuidad

$${\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0}$$

_γcuatro gradientederivada covariante

$${\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0}$$

Las ecuaciones integrales utilizan el teorema de Gauss en el espacio-tiempo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}}$$

Torque en relatividad especial

El par que actúa sobre una partícula puntual se define como la derivada del tensor del momento angular dado anteriormente con respecto al tiempo propio: ^{[8] [9]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$$

$${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$$

FX.

El impulso angular como generador de impulsos y rotaciones del espacio-tiempo.

El tensor de momento angular es el generador de impulsos y rotaciones del grupo de Lorentz . ^{[10] [11]} Los impulsos de Lorentz se pueden parametrizar mediante la rapidez y un vector unitario 3d n que apunta en la dirección del impulso, que se combinan en el "vector de rapidez".

$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta }$$

β = v / crepresentación eje-ánguloθa que

$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a} }$$

Cada vector unitario sólo tiene dos componentes independientes, el tercero se determina a partir de la magnitud unitaria. En total hay seis parámetros del grupo de Lorentz; tres para rotaciones y tres para impulsos. El grupo de Lorentz (homogéneo) tiene 6 dimensiones.

Los generadores de impulso K y los generadores de rotación J se pueden combinar en un generador para transformaciones de Lorentz; M el tensor de momento angular antisimétrico, con componentes

$${\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.}$$

ω

$${\displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,}$$

convención de sumai, j, k para evitar signos de suma torpes. La transformaciónmatriz exponencial

$${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

αβ

La transformación general de Lorentz Λ es la ley de transformación para cuatro vectores cualesquiera A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ), dando los componentes de este mismo 4 vectores en otro marco de referencia inercial.

$${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A} }$$

El tensor de momento angular forma 6 de los 10 generadores del grupo de Poincaré , los otros cuatro son los componentes del impulso de cuatro para las traslaciones espacio-temporales.

Momento angular en relatividad general

El momento angular de las partículas de prueba en un fondo suavemente curvado es más complicado en GR, pero se puede generalizar de manera sencilla. Si el lagrangiano se expresa con respecto a variables angulares como coordenadas generalizadas , entonces los momentos angulares son las derivadas funcionales del lagrangiano con respecto a las velocidades angulares . Conocidas como coordenadas cartesianas, generalmente están dadas por los términos de corte fuera de la diagonal de la parte espacial del tensor tensión-energía . Si el espacio-tiempo admite un campo vectorial Killing tangente a un círculo, entonces se conserva el momento angular alrededor del eje.

También se desea estudiar el efecto de una masa compacta en rotación sobre el espacio-tiempo que la rodea. La solución prototipo es la métrica de Kerr , que describe el espacio-tiempo alrededor de un agujero negro con simetría axial . Obviamente es imposible dibujar un punto en el horizonte de sucesos de un agujero negro de Kerr y observar cómo gira. Sin embargo, la solución admite una constante del sistema que actúa matemáticamente de manera similar a un momento angular.

Ver también

• Precesión de Thomas  – Corrección relativista
• Momento angular de la luz  : cantidad física transportada en fotones
• Problema de dos cuerpos en la relatividad general  - Interacción de dos cuerpos en la relatividad general
• Mecánica relativista  : teoría del movimiento y fuerzas de objetos cercanos a la velocidad de la luz.
• Ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon

Referencias

1. DSA liberado; KKA Uhlenbeck (1995). Geometría y teoría cuántica de campos (2ª ed.). Instituto de Estudios Avanzados (Princeton, Nueva Jersey): Sociedad Estadounidense de Matemáticas . ISBN 0-8218-8683-5.
2. R. Penrose (2005). El camino a la realidad . libros antiguos. pag. 433.ISBN _ 978-0-09-944068-0.Penrose incluye un factor de 2 en el producto de la cuña; otros autores también pueden hacerlo.
3. M. Fayngold (2008). Relatividad especial y cómo funciona. John Wiley e hijos . pag. 138.ISBN _ 978-3-527-40607-4.
4. R. Penrose (2005). El camino a la realidad . libros antiguos. págs. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Nota: Algunos autores, incluido Penrose, utilizan letras latinas en esta definición, aunque es convencional utilizar índices griegos para vectores y tensores en el espacio-tiempo.
5. M. Fayngold (2008). Relatividad especial y cómo funciona. John Wiley e hijos. págs. 137-139. ISBN 978-3-527-40607-4.
6. Jackson, JD (1975) [1962]. "Capítulo 11" . Electrodinámica clásica (2ª ed.). John Wiley e hijos . págs. 556–557. ISBN 0-471-43132-X.Notación de Jackson: S (giro en F, marco de laboratorio), s (giro en F′, marco de reposo de la partícula), S ⁰ (componente temporal en el marco de laboratorio), S′ ⁰ = 0 (componente temporal en el marco de reposo de la partícula) , no hay símbolo para 4 giros como 4 vectores
7. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 156-159, §5.11. ISBN 0-7167-0344-0.
8. S. Aranoff (1969). "Par y momento angular en un sistema en equilibrio en relatividad especial". Revista Estadounidense de Física . 37 (4): 453–454. Código bibliográfico : 1969AmJPh..37..453A. doi :10.1119/1.1975612.Este autor usa T para torque, aquí usamos Gamma Γ mayúscula ya que T se reserva con mayor frecuencia para el tensor de tensión-energía .
9. S. Aranoff (1972). "Equilibrio en relatividad especial" (PDF) . Nuevo Cimento . 10 (1): 159. Código bibliográfico : 1972NCimB..10..155A. doi :10.1007/BF02911417. S2CID  117291369. Archivado desde el original (PDF) el 28 de marzo de 2012 . Consultado el 27 de octubre de 2013 .
10. E. Abers (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. págs.11, 104, 105, 410–411. ISBN 978-0-13-146100-0.
11. HL Berk; K. Chaicherdsakul; T. Udagawa (2001). "El operador de transformación de Lorentz homogéneo adecuado eL = e− ω·S − ξ·K, hacia dónde va, cuál es el giro" (PDF) . Revista Estadounidense de Física . 69 (996). doi :10.1119/1.1371919.

• C. Chryssomalakos; H. Hernández-Coronado; E. Okon (2009). "Centro de masa en la relatividad especial y general y su papel en una descripción eficaz del espacio-tiempo". J. Física. Conf. Ser . México. 174 (1): 012026. arXiv : 0901.3349 . Código Bib : 2009JPhCS.174a2026C. doi :10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.
• UE Schröder (1990). Relatividad especial. Serie de notas de conferencias sobre física. vol. 33. Científico mundial . pag. 139.ISBN _ 981-02-0132-X.

Otras lecturas

Relatividad especial

• R. Torretti (1996). Relatividad y Geometría. Serie de libros de física de Dover. Publicaciones de Courier Dover. ISBN 0-486-69046-6.

Relatividad general

• L. Blanchet; A. Spallici; B. Merlán (2011). Masa y movimiento en la relatividad general. Teorías fundamentales de la física. vol. 162. Saltador. pag. 87.ISBN _ 978-90-481-3015-3.
• M. Ludvigsen (1999). Relatividad general: un enfoque geométrico. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 77.ISBN _ 0-521-63976-X.
• N. Ashby, DF Bartlett, W. Wyss (1990). Relatividad general y gravitación 1989: Actas de la XII Conferencia Internacional sobre Relatividad General y Gravitación. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38428-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• BL Hu; el diputado Ryan; el diputado Ryan; CV Vishveshwara (2005). Direcciones en la relatividad general: Volumen 1: Actas del Simposio Internacional de 1993. Direcciones en la relatividad general: Actas del Simposio Internacional de 1993, Maryland: Artículos en honor a Charles Misner. vol. 1. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 347.ISBN _ 0-521-02139-1.
• A. Papapetrou (1974). Conferencias sobre Relatividad General. Saltador. ISBN 90-277-0514-3.

enlaces externos

• N. Menicucci (2001). "Momento angular relativista" (PDF) .
• "Relatividad Especial" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 4 de noviembre de 2013 . Consultado el 30 de octubre de 2013 .