Potencial gravitacional

Estudio fundamental de la teoría del potencial.

En mecánica clásica , el potencial gravitacional es un campo escalar que asocia a cada punto del espacio el trabajo ( energía transferida) por unidad de masa que sería necesario para mover un objeto hasta ese punto desde un punto de referencia fijo. Es análogo al potencial eléctrico en el que la masa desempeña el papel de carga . El punto de referencia, donde el potencial es cero, está por convención infinitamente lejos de cualquier masa, lo que resulta en un potencial negativo a cualquier distancia finita.

En matemáticas, el potencial gravitacional también se conoce como potencial newtoniano y es fundamental en el estudio de la teoría del potencial . También se puede utilizar para resolver los campos electrostáticos y magnetostáticos generados por cuerpos elipsoidales polarizados o cargados uniformemente. ^[1]

Energía potencial

El potencial gravitacional ( V ) en una ubicación es la energía potencial gravitacional ( U ) en esa ubicación por unidad de masa:

$${\displaystyle V={\frac {U}{m}},}$$

donde m es la masa del objeto. La energía potencial es igual (en magnitud, pero negativa) al trabajo realizado por el campo gravitacional que mueve un cuerpo a su posición determinada en el espacio desde el infinito. Si el cuerpo tiene una masa de 1 kilogramo, entonces la energía potencial que se le debe asignar a ese cuerpo es igual al potencial gravitacional. Entonces, el potencial puede interpretarse como el negativo del trabajo realizado por el campo gravitacional que mueve una unidad de masa desde el infinito.

En algunas situaciones, las ecuaciones se pueden simplificar suponiendo un campo que es casi independiente de la posición. Por ejemplo, en una región cercana a la superficie de la Tierra, la aceleración gravitacional , g , puede considerarse constante. En ese caso, la diferencia de energía potencial de una altura a otra está, en una buena aproximación, linealmente relacionada con la diferencia de altura: $${\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}$$

forma matemática

El potencial gravitacional V a una distancia x de una masa puntual de masa M se puede definir como el trabajo W que debe realizar un agente externo para llevar una unidad de masa desde el infinito hasta ese punto: ^{[2] [3] [ 4] [5]}

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},}$$donde G es la constante gravitacional y F es la fuerza gravitacional. El producto GM es el parámetro gravitacional estándar y, a menudo, se conoce con mayor precisión que G o M por separado. El potencial tiene unidades de energía por masa, p. ej., J/kg en el sistema MKS . Por convención, siempre es negativo donde se define y, cuando x tiende a infinito, se acerca a cero.

El campo gravitacional y, por tanto, la aceleración de un cuerpo pequeño en el espacio alrededor del objeto masivo, es el gradiente negativo del potencial gravitacional. Así, lo negativo de un gradiente negativo produce una aceleración positiva hacia un objeto masivo. Debido a que el potencial no tiene componentes angulares, su gradiente es donde x es un vector de longitud x que apunta desde la masa puntual hacia el cuerpo pequeño y es un vector unitario que apunta desde la masa puntual hacia el cuerpo pequeño. Por tanto, la magnitud de la aceleración sigue una ley del cuadrado inverso : $${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ $${\displaystyle |\mathbf {a} |={\frac {GM}{x^{2}}}.}$$

El potencial asociado con una distribución de masa es la superposición de los potenciales de masas puntuales. Si la distribución de masa es una colección finita de masas puntuales, y si las masas puntuales están ubicadas en los puntos x ₁ , ..., x _n y tienen masas m ₁ , ..., m _n , entonces el potencial de la distribución en el punto x es $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$$

Puntos x y r , con r contenido en la masa distribuida (gris) y la masa diferencial dm ( r ) ubicada en el punto r .

Si la distribución de masa se da como una medida de masa dm en el espacio euclidiano tridimensional R ³ , entonces el potencial es la convolución de − G /| r | con dm . ^{[ cita necesaria ]} En buenos casos ^{[ aclaración necesaria ]} esto es igual a la integral donde | x - r | es la distancia entre los puntos x y r . Si hay una función ρ ( r ) que representa la densidad de la distribución en r , de modo que dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) , donde dv ( r ) es el elemento de volumen euclidiano , entonces el potencial gravitacional es la integral de volumen $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,dm(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$$

Si V es una función potencial proveniente de una distribución de masa continua ρ ( r ), entonces ρ se puede recuperar usando el operador de Laplace , Δ : Esto se cumple puntualmente siempre que ρ sea continua y cero fuera de un conjunto acotado. En general, la medida de masa dm se puede recuperar de la misma forma si se toma el operador de Laplace en el sentido de distribuciones . Como consecuencia, el potencial gravitacional satisface la ecuación de Poisson . Véase también la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables y el potencial newtoniano . $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$$

La integral se puede expresar en términos de funciones trascendentales conocidas para todas las formas elipsoidales, incluidas las simétricas y degeneradas. ^[6] Estos incluyen la esfera, donde los tres semiejes son iguales; los esferoides achatados (ver elipsoide de referencia ) y alargados, donde dos semiejes son iguales; los degenerados donde un semieje es infinito (el cilindro elíptico y circular) y la hoja ilimitada donde dos semiejes son infinitos. Todas estas formas se utilizan ampliamente en las aplicaciones de la integral de potencial gravitacional (aparte de la constante G , siendo 𝜌 una densidad de carga constante) al electromagnetismo.

simetría esférica

Una distribución de masa esféricamente simétrica se comporta ante un observador completamente fuera de la distribución como si toda la masa estuviera concentrada en el centro y, por lo tanto, efectivamente como una masa puntual , según el teorema de la capa . En la superficie de la Tierra, la aceleración viene dada por la llamada gravedad estándar g , aproximadamente 9,8 m/s ² , aunque este valor varía ligeramente con la latitud y la altitud. La magnitud de la aceleración es un poco mayor en los polos que en el ecuador porque la Tierra es un esferoide achatado .

Dentro de una distribución de masa esféricamente simétrica, es posible resolver la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas . Dentro de un cuerpo esférico uniforme de radio R , densidad ρ y masa m , la fuerza gravitacional g dentro de la esfera varía linealmente con la distancia r desde el centro, dando el potencial gravitacional dentro de la esfera, que es ^{[7] [8]} que diferenciablemente se conecta a la función potencial para el exterior de la esfera (ver la figura en la parte superior). $${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}$$

Relatividad general

En la relatividad general , el potencial gravitacional se sustituye por el tensor métrico . Cuando el campo gravitacional es débil y las fuentes se mueven muy lentamente en comparación con la velocidad de la luz, la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana y el tensor métrico se puede expandir en términos del potencial gravitacional. ^[9]

Expansión multipolar

El potencial en un punto x está dado por $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}$$

Ilustración de una distribución de masa (gris) con el centro de masa como origen de los vectores x y r y el punto en el que se calcula el potencial en la cabeza del vector x .

El potencial se puede expandir en una serie de polinomios de Legendre . Representa los puntos x y r como vectores de posición relativos al centro de masa. El denominador de la integral se expresa como la raíz cuadrada del cuadrado para dar donde, en la última integral, r = | r | y θ es el ángulo entre x y r . $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

(Ver "forma matemática".) El integrando se puede expandir como una serie de Taylor en Z = r //| x | , mediante cálculo explícito de los coeficientes. Una forma menos laboriosa de lograr el mismo resultado es utilizando el teorema del binomio generalizado . ^[10] La serie resultante es la función generadora de los polinomios de Legendre: válida para | X | ≤ 1 y | Z | < 1 . Los coeficientes P _n son los polinomios de Legendre de grado n . Por tanto, los coeficientes de Taylor del integrando vienen dados por los polinomios de Legendre en X = cos  θ . Por tanto, el potencial se puede expandir en una serie que sea convergente para posiciones x tal que r < | x | para todos los elementos de masa del sistema (es decir, fuera de una esfera, centrada en el centro de masa, que encierra el sistema): La integral es la componente del centro de masa en la dirección x ; esto desaparece porque el vector x emana del centro de masa. Entonces, llevando la integral bajo el signo de la sumatoria se obtiene $${\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}$ $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }$$

Esto muestra que el alargamiento del cuerpo provoca un potencial menor en la dirección del alargamiento y un potencial mayor en direcciones perpendiculares, en comparación con el potencial debido a una masa esférica, si comparamos casos con la misma distancia al centro de masa. (Si comparamos casos con la misma distancia a la superficie , ocurre lo contrario).

Valores numéricos

El valor absoluto del potencial gravitacional en varios lugares con respecto a la gravitación de ^{[ se necesita aclaración ]} la Tierra , el Sol y la Vía Láctea se proporciona en la siguiente tabla; es decir, un objeto en la superficie de la Tierra necesitaría 60 MJ/kg para "abandonar" el campo gravitatorio de la Tierra, otros 900 MJ/kg para abandonar también el campo gravitatorio del Sol y más de 130 GJ/kg para abandonar el campo gravitatorio de la Vía Láctea. El potencial es la mitad del cuadrado de la velocidad de escape .

Compare la gravedad en estos lugares .

Ver también

• Aplicaciones de los polinomios de Legendre en física.
• Parámetro gravitacional estándar ( GM )
• geoide
• Geopotencial
• Modelo geopotencial

Notas

1. Solivérez, CE (2016). Electrostática y magnetostática de cuerpos elipsoidales polarizados: el método del tensor de despolarización (1ª ed. en inglés). Información científica gratuita. ISBN 978-987-28304-0-3.
2. Marion, JB; Thornton, ST (1995). Dinámica clásica de partículas y sistemas (4ª ed.). Harcourt Brace y compañía. pag. 192.ISBN​ 0-03-097302-3.
3. Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). Métodos matemáticos para físicos Edición para estudiantes internacionales (6ª ed.). Prensa académica . pag. 72.ISBN​ 978-0-08-047069-6.
4. Cantó, David; Jones, Graham; Chadha, Gurinder; Woodside, Richard; Rígido, voluntad; Gill, Aidan (2014). Libro de texto de Cambridge International AS y A Level Physics (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 276.ISBN​ 978-1-107-69769-0.
5. Muncaster, Roger (1993). Física de nivel A (edición ilustrada). Nelson Thornes . pag. 106.ISBN​ 978-0-7487-1584-8.
6. MacMillan, WD (1958). La Teoría del Potencial . Prensa de Dover.
7. Lowrie, William Lowrie (2011). Una guía para estudiantes sobre ecuaciones geofísicas. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 69.ISBN​ 978-1-139-49924-8.Extracto de la página 68
8. Sánchez-Lavega, Agustín (2011). Introducción a las atmósferas planetarias (edición ilustrada). Prensa CRC. pag. 19.ISBN​ 978-1-4200-6735-4.Extracto de la página 19
9. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007), Teoría general de la relatividad de Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología, Springer Science & Business Media, pág. 201, ISBN 978-0-387-69200-5
10. Wylie, CR Jr. (1960). Matemáticas de ingeniería avanzada (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . pag. 454 [Teorema 2, Sección 10.8].

Referencias

• Vladimirov, VS (1971), Ecuaciones de física matemática , Traducido del ruso por Audrey Littlewood. Editado por Alan Jeffrey. Matemática pura y aplicada, vol. 3, Nueva York: Marcel Dekker Inc., SEÑOR  0268497.
• Wang, WX (1988). "El potencial de un esferoide homogéneo en un sistema de coordenadas esferoidales. I. En un punto exterior". J. Física. R: Matemáticas. Gen.​ 21 (22): 4245–4250. Código Bib : 1988JPhA...21.4245W. doi :10.1088/0305-4470/21/22/026.
• Milón, T. (1990). "Una nota sobre el potencial de un elipsoide homogéneo en coordenadas elipsoidales". J. Física. R: Matemáticas. Gen.​ 23 (4): 581–584. doi :10.1088/0305-4470/23/4/027.
• Rastall, Peter (1991). Postprincipia: Gravitación para físicos y astrónomos . Científico Mundial . págs. 7 y siguientes. ISBN 981-02-0778-6.
• Conway, John T. (2000). "Soluciones exactas para el potencial gravitacional de una familia de esferoides heterogéneos". Lun. No. R. Astron. Soc . 316 (3): 555–558. Código Bib : 2000MNRAS.316..555C. doi : 10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x .
• Cohl, HS; Tohline, JE; Rau, ARP (2000). "Avances en la determinación del potencial grativacional mediante funciones toroidales". Astron. Nachr . 321 (5/6): 363–372. Código Bib : 2000AN....321..363C. doi :10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003), Dinámica clásica de partículas y sistemas (5ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-40896-1.
• Zhu, Lupeia (1988). "Estructura de gravedad y densidad de la Tierra". Departamento de Ciencias de la Tierra y la Atmósfera. EAS-437 Dinámica de la Tierra . Universidad de San Luis. Instituto de Tecnología de California. Archivado desde el original el 26 de julio de 2011 . Consultado el 25 de marzo de 2009 .
• Charles D. Ghilani (28 de noviembre de 2006). "El campo de gravedad de la Tierra". Programa de Ingeniería Topográfica de Penn State. Archivado desde el original el 18 de julio de 2011 . Consultado el 25 de marzo de 2009 .
• Fukushima, Toshio (2014). "Expansión armónica esferoidal prolata del campo gravitacional". Astrofia. J.​ 147 (6): 152. Código bibliográfico : 2014AJ....147..152F. doi : 10.1088/0004-6256/147/6/152 .