Modelo de Ising crítico bidimensional

Teoría de campo conforme del punto crítico del modelo 2D de Ising

El modelo de Ising crítico bidimensional es el límite crítico del modelo de Ising en dos dimensiones. Es una teoría de campos conforme bidimensional cuyo álgebra de simetría es el álgebra de Virasoro con carga central . Las funciones de correlación de los operadores de espín y energía se describen mediante el modelo mínimo . Si bien el modelo mínimo se ha resuelto exactamente (véase también, por ejemplo, el artículo sobre exponentes críticos de Ising) , la solución no cubre otros observables como las conectividades de los clústeres. ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle (4,3)}$

El modelo mínimo

Espacio de estados y dimensiones conformes.

La tabla Kac del modelo mínimo es: ${\displaystyle (4,3)}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}}$

Esto significa que el espacio de estados es generado por tres estados primarios , que corresponden a tres campos u operadores primarios: ^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\hline {\text{Kac table indices}}&{\text{Dimension}}&{\text{Primary field}}&{\text{Name}}\\\hline (1,1){\text{ or }}(3,2)&0&\mathbf {1} &{\text{Identity}}\\(2,1){\text{ or }}(2,2)&{\frac {1}{16}}&\sigma &{\text{Spin}}\\(1,2){\text{ or }}(3,1)&{\frac {1}{2}}&\epsilon &{\text{Energy}}\\\hline \end{array}}}$

La descomposición del espacio de estados en representaciones irreductibles del producto de las álgebras de Virasoro que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha es

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}_{0}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{0}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{16}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{16}}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{2}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{2}}}$

donde está la representación irreducible de mayor peso del álgebra de Virasoro con la dimensión conforme . En particular, el modelo de Ising es diagonal y unitario. ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$

Caracteres y función de partición.

Los caracteres de las tres representaciones del álgebra de Virasoro que aparecen en el espacio de estados son ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{0}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+1)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+7)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}+{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{16}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+2)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+10)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}-{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{2}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+5)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+11)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\eta (q)}}}{\sqrt {\theta _{2}(0|q)}}\end{aligned}}}$

donde está la función eta de Dedekind y son las funciones theta del nomo , por ejemplo . La matriz S modular , es decir, la matriz tal que , es ^[1] ${\displaystyle \eta (q)}$ ${\displaystyle \theta _{i}(0|q)}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \theta _{3}(0|q)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{\frac {n^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \chi _{i}(-{\tfrac {1}{\tau }})=\sum _{j}{\mathcal {S}}_{ij}\chi _{j}(\tau )}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{ccc}1&1&{\sqrt {2}}\\1&1&-{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0\end{array}}\right)}$

donde los campos están ordenados como . La función de partición modular invariante es ${\displaystyle 1,\epsilon ,\sigma }$

${\displaystyle Z(q)=\left|\chi _{0}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{16}}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{2}}(q)\right|^{2}={\frac {|\theta _{2}(0|q)|+|\theta _{3}(0|q)|+|\theta _{4}(0|q)|}{2|\eta (q)|}}}$

Reglas de fusión y ampliaciones de productos de operador

Las reglas de fusión del modelo son

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} \times \mathbf {1} &=\mathbf {1} \\\mathbf {1} \times \sigma &=\sigma \\\mathbf {1} \times \epsilon &=\epsilon \\\sigma \times \sigma &=\mathbf {1} +\epsilon \\\sigma \times \epsilon &=\sigma \\\epsilon \times \epsilon &=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

Las reglas de fusión son invariantes bajo la simetría . Las constantes de la estructura de tres puntos son ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \sigma \to -\sigma }$

${\displaystyle C_{\mathbf {1} \mathbf {1} \mathbf {1} }=C_{\mathbf {1} \epsilon \epsilon }=C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }=1\quad ,\quad C_{\sigma \sigma \epsilon }={\frac {1}{2}}}$

Conociendo las reglas de fusión y las constantes de la estructura de tres puntos, es posible escribir expansiones de productos de operadores, por ejemplo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (z)\sigma (0)&=|z|^{2\Delta _{\mathbf {1} }-4\Delta _{\sigma }}C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+|z|^{2\Delta _{\epsilon }-4\Delta _{\sigma }}C_{\sigma \sigma \epsilon }{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\\&=|z|^{-{\frac {1}{4}}}{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+{\frac {1}{2}}|z|^{\frac {3}{4}}{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\end{aligned}}}$

donde están las dimensiones conformes de los campos primarios y los términos omitidos son contribuciones de los campos descendientes . ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {1} },\Delta _{\sigma },\Delta _{\epsilon }}$ ${\displaystyle O(z)}$

Funciones de correlación en la esfera.

Cualquier función de campos primarios de uno, dos y tres puntos está determinada por simetría conforme hasta una constante multiplicativa. Esta constante se establece en uno para funciones de uno y dos puntos mediante una selección de normalizaciones de campo. Las únicas cantidades dinámicas no triviales son las constantes de estructura de tres puntos, que se dieron anteriormente en el contexto de las expansiones de productos del operador.

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\right\rangle =0\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}}$

con . ${\displaystyle z_{ij}=z_{i}-z_{j}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}}$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\epsilon (z_{3})\right\rangle ={\frac {1}{2}}|z_{12}|^{\frac {3}{4}}|z_{13}|^{-1}|z_{23}|^{-1}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \mathbf {1} \sigma \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \epsilon \rangle =\langle \sigma \sigma \sigma \rangle =\langle \epsilon \epsilon \epsilon \rangle =0}$

Las tres funciones no triviales de cuatro puntos son del tipo . Para una función de cuatro puntos , sean y los bloques conformes de Virasoro de canal s y t , que corresponden respectivamente a las contribuciones de (y sus descendientes) en la expansión del producto del operador , y de (y sus descendientes) en el producto del operador. expansión . Sea la razón cruzada. ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle ,\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle ,\langle \epsilon ^{4}\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(s)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(t)}}$ ${\displaystyle V_{j}(z_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})}$ ${\displaystyle V_{j}(z_{4})}$ ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{4}(z_{4})}$ ${\displaystyle x={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}}$

En el caso de , las reglas de fusión permiten solo un campo primario en todos los canales, a saber, el campo de identidad. ^[2] ${\displaystyle \langle \epsilon ^{4}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \epsilon ^{4}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}=\left[\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{3}}}\right]{\frac {1-x+x^{2}}{x^{\frac {2}{3}}(1-x)^{\frac {2}{3}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1}{x(1-x)}}-1\end{aligned}}}$

En el caso de , las reglas de fusión permiten solo el campo de identidad en el canal s y el campo de giro en el canal t. ^[2] ${\displaystyle \langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=C_{\sigma \sigma \epsilon }^{2}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}={\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {1}{2}}{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}=\left[z_{12}^{\frac {1}{4}}z_{34}^{-{\frac {5}{8}}}\left(z_{13}z_{24}z_{14}z_{23}\right)^{-{\frac {3}{16}}}\right]{\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {3}{8}}(1-x)^{\frac {5}{16}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{2}}}}\end{aligned}}}$

En el caso de , las reglas de fusión permiten dos campos principales en todos los canales: el campo de identidad y el campo de energía. ^[2] En este caso escribimos los bloques conformes solo en el caso: el caso general se obtiene insertando el prefactor e identificándolo con la relación cruzada. ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle }$ ${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=(x,0,\infty ,1)}$ ${\displaystyle x^{\frac {1}{24}}(1-x)^{\frac {1}{24}}\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{24}}}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \sigma ^{4}\rangle &=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}\right|^{2}\\&={\frac {|1+{\sqrt {x}}|+|1-{\sqrt {x}}|}{2|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\ {\underset {x\in (0,1)}{=}}\ {\frac {1}{|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\end{aligned}}}$

En el caso de , los bloques conformes son: ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {1-x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {1-x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}={\frac {{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}}{\sqrt {2}}}+{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}={\sqrt {2}}{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}-{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\end{aligned}}}$

A partir de la representación del modelo en términos de fermiones de Dirac , es posible calcular funciones de correlación de cualquier número de operadores de espín o energía: ^[1]

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\epsilon (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left|\det \left({\frac {1}{z_{ij}}}\right)_{1\leq i\neq j\leq 2n}\right|^{2}}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{\begin{array}{c}\epsilon _{i}=\pm 1\\\sum _{i=1}^{2n}\epsilon _{i}=0\end{array}}\prod _{1\leq i<j\leq 2n}|z_{ij}|^{\frac {\epsilon _{i}\epsilon _{j}}{2}}}$

Estas fórmulas tienen generalizaciones a funciones de correlación en el toro, que involucran funciones theta . ^[1]

Otros observables

Operador de trastorno

El modelo bidimensional de Ising se asigna a sí mismo mediante una dualidad de temperatura alta-baja. La imagen del operador de espín bajo esta dualidad es un operador de desorden , que tiene las mismas dimensiones conformes izquierda y derecha . Aunque el operador de desorden no pertenece al modelo mínimo, las funciones de correlación que involucran al operador de desorden se pueden calcular exactamente, por ejemplo ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\Delta _{\mu },{\bar {\Delta }}_{\mu })=(\Delta _{\sigma },{\bar {\Delta }}_{\sigma })=({\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{16}})}$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\mu (z_{2})\sigma (z_{3})\mu (z_{4})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|-1{\Big )}}$

mientras

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\mu (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left\langle \prod _{i=1}^{4}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|+1{\Big )}}$

Conectividades de clusters

El modelo de Ising tiene una descripción como modelo de conglomerado aleatorio debido a Fortuin y Kasteleyn. En esta descripción, los observables naturales son conectividades de conglomerados, es decir, probabilidades de que varios puntos pertenezcan al mismo conglomerado. El modelo de Ising puede verse entonces como el caso del modelo de Potts de estado , cuyo parámetro puede variar continuamente, y está relacionado con la carga central del álgebra de Virasoro . ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

En el límite crítico, las conectividades de los clusters tienen el mismo comportamiento bajo transformaciones conformes que las funciones de correlación del operador de espín. Sin embargo, las conectividades no coinciden con las funciones de correlación de espín: por ejemplo, la conectividad de tres puntos no desaparece, mientras que . Hay cuatro conectividades independientes de cuatro puntos y su suma coincide con . ^[3] Otras combinaciones de conectividades de cuatro puntos no se conocen analíticamente. En particular, no están relacionados con las funciones de correlación del modelo mínimo, ^[4] aunque sí con el límite de los correlacionadores de espín en el modelo de Potts de estado. ^[3] ${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma \sigma \rangle }$ ${\displaystyle q\to 2}$ ${\displaystyle q}$

Referencias

1. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN  0-387-94785-X
2. Cheng, Miranda CN; Gannon, Terry; Lockhart, Guglielmo (25 de febrero de 2020). "Ejercicios Modulares para Bloques de Cuatro Puntos - I". arXiv : 2002.11125v1 [hep-th].
3. Delfino, Gesualdo; Viti, Jacopo (21 de abril de 2011). "Teoría de campos de color q de Potts y modelo de conglomerado aleatorio de escala". Física Nuclear B. 852 (1): 149-173. arXiv : 1104.4323v2 . Código bibliográfico : 2011NuPhB.852..149D. doi :10.1016/j.nuclphysb.2011.06.012. S2CID  119183802.
4. Delfino, Gesualdo; Viti, Jacopo (7 de septiembre de 2010). "Sobre la conectividad de tres puntos en percolación bidimensional". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 44 (3): 032001. arXiv : 1009.1314v1 . doi :10.1088/1751-8113/44/3/032001. S2CID  119246430.