bloque conforme virasoro

Funciones especiales utilizadas para construir funciones de correlación en CFT 2D

En la teoría de campos conformes bidimensionales , los bloques conformes de Virasoro (llamados así en honor a Miguel Ángel Virasoro ) son funciones especiales que sirven como componentes básicos de funciones de correlación . En una superficie de Riemann perforada dada , los bloques conformes de Virasoro forman una base particular del espacio de soluciones de las identidades conformes de Ward . Los bloques de punto cero sobre el toroide son caracteres de representaciones del álgebra de Virasoro ; Los bloques de cuatro puntos en la esfera se reducen a funciones hipergeométricas en casos especiales, pero en general son mucho más complicados. En dos dimensiones como en otras dimensiones, los bloques conformes desempeñan un papel esencial en el enfoque de arranque conforme de la teoría de campos conforme .

Definición

Definición de OPE

Utilizando expansiones de productos de operadores (OPE), una función de punto en la esfera se puede escribir como una combinación de constantes de estructura de tres puntos y cantidades universales llamadas bloques conformes de punto . ^{[1] [2]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Dada una función de punto, existen varios tipos de bloques conformes, según los OPE que se utilicen. En el caso , existen tres tipos de bloques conformes, correspondientes a tres posibles descomposiciones de la misma función de cuatro puntos. Esquemáticamente, estas descomposiciones leen ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=4}$

${\displaystyle \left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{s}^{\text{(s-channel)}}=\sum _{t}C_{14t}C_{t23}{\mathcal {F}}_{t}^{\text{(t-channel)}}=\sum _{u}C_{13u}C_{24u}{\mathcal {F}}_{u}^{\text{(u-channel)}}\ ,}$

donde son constantes de estructura y son bloques conformes. Las sumas son representaciones del álgebra conforme que aparecen en el espectro del CFT. Las OPE implican sumas en todo el espectro, es decir, sobre representaciones y sobre estados en representaciones, pero las sumas sobre estados se absorben en los bloques conformes. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

En dos dimensiones, el álgebra de simetría se factoriza en dos copias del álgebra de Virasoro, llamadas movimiento hacia la izquierda y movimiento hacia la derecha. Si los campos también se factorizan, entonces los bloques conformes también se factorizan y los factores se denominan bloques conformes de Virasoro . Los bloques conformes de Virasoro que se mueven hacia la izquierda son funciones localmente holomorfas de las posiciones de los campos ; Los bloques conformes de Virasoro que se mueven hacia la derecha tienen las mismas funciones que . La factorización de un bloque conforme en bloques conformes de Virasoro es del tipo ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s_{L}\otimes s_{R}}^{\text{(s-channel)}}(\{z_{i}\})={\mathcal {F}}_{s_{L}}^{\text{(s-channel, Virasoro)}}(\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{s_{R}}^{\text{(s-channel, Virasoro)}}(\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

donde están las representaciones de las álgebras de Virasoro que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente. ${\displaystyle s_{L},s_{R}}$

Definición de las identidades del barrio de Virasoro

Las identidades conformales de Ward son las ecuaciones lineales a las que obedecen las funciones de correlación, como resultado de la simetría conforme.

En dos dimensiones, las identidades de distrito conformes se descomponen en identidades de distrito de Virasoro que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. Los bloques conformes de Virasoro son soluciones de las identidades de Virasoro Ward. ^{[3] [4]}

Las OPE definen bases específicas de los bloques conformes de Virasoro, como la base del canal S en el caso de bloques de cuatro puntos. Los bloques que se definen a partir de OPE son casos especiales de los bloques que se definen a partir de identidades de Ward.

Propiedades

Cualquier ecuación holomorfa lineal que sea obedecida por una función de correlación también debe ser válida para los bloques conformes correspondientes. Además, bases específicas de bloques conformes vienen con propiedades adicionales que no se heredan de la función de correlación.

Los bloques conformes que involucran sólo campos primarios tienen propiedades relativamente simples. Los bloques conformes que involucran campos descendientes se pueden deducir utilizando identidades de barrio locales . Un bloque de campos primarios de cuatro puntos de canal s depende de las dimensiones conformes de los cuatro campos, de sus posiciones y de la dimensión conforme de canal s . Puede escribirse como donde se mantiene implícita la dependencia de la carga central del álgebra de Virasoro . ${\displaystyle \Delta _{i},}$ ${\displaystyle z_{i},}$ ${\displaystyle \Delta _{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{i}|\{z_{i}\}),}$

Ecuaciones lineales

De la función de correlación correspondiente, los bloques conformes heredan ecuaciones lineales: identidades de Ward globales y locales , y ecuaciones BPZ si al menos un campo es degenerado. ^[2]

En particular, en un bloque de puntos en la esfera, las identidades globales de Ward reducen la dependencia de las posiciones de campo a una dependencia de proporciones cruzadas . En el caso ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N-3}$ ${\displaystyle N=4,}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\})=z_{23}^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}+\Delta _{4}}z_{13}^{-2\Delta _{1}}z_{34}^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}-\Delta _{4}}z_{24}^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{4}}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z),}$

dónde y ${\displaystyle z_{ij}=z_{i}-z_{j},}$

${\displaystyle z={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}}$

es la relación cruzada, y el bloque reducido coincide con el bloque original donde se envían tres posiciones a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)}$ ${\displaystyle (0,\infty ,1),}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)={\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z,0,\infty ,1).}$

Singularidades

Al igual que las funciones de correlación, los bloques conformes son singulares cuando dos campos coinciden. A diferencia de las funciones de correlación, los bloques conformes tienen comportamientos muy simples en algunas de estas singularidades. Como consecuencia de su definición de los OPE, los bloques de cuatro puntos del canal s obedecen

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z){\underset {z\to 0}{=}}z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}z^{n}\right),}$

para algunos coeficientes Por otro lado, los bloques de canal s tienen comportamientos singulares complicados en : son los bloques de canal t los que son simples en y los bloques de canal u que son simples en ${\displaystyle c_{n}.}$ ${\displaystyle z=1,\infty }$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=\infty .}$

En un bloque de cuatro puntos que obedece a una ecuación diferencial BPZ , hay puntos singulares regulares de la ecuación diferencial y es un exponente característico de la ecuación diferencial. Para una ecuación diferencial de orden , los exponentes característicos corresponden a los valores de permitidos por las reglas de fusión. ${\displaystyle z=0,1,\infty }$ ${\displaystyle \Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{s}}$

Permutaciones de campo

Las permutaciones de los campos salen de la función de correlación. ${\displaystyle V_{i}(z_{i})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{i}(z_{i})\right\rangle }$

invariante y, por lo tanto, relacionan diferentes bases de bloques conformes entre sí. En el caso de bloques de cuatro puntos, los bloques de canal t están relacionados con los bloques de canal s mediante ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta }^{(t)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{4},\Delta _{3},\Delta _{2}|z_{1},z_{4},z_{3},z_{2}),}$

o equivalente

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta }^{(t)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _{4}|z)={\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{4},\Delta _{3},\Delta _{2}|1-z).}$

Matriz de fusión

El cambio de bases de bloques de cuatro puntos del canal s al canal t se caracteriza por la matriz de fusión (o núcleo de fusión) , de modo que ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\})=\int _{i\mathbb {R} }dP_{t}\ F_{\Delta _{s},\Delta _{t}}{\begin{bmatrix}\Delta _{2}&\Delta _{3}\\\Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}{\mathcal {F}}_{\Delta _{t}}^{(t)}(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\}).}$

La matriz de fusión es función de la carga central y las dimensiones conformes, pero no depende de las posiciones. El impulso se define en términos de la dimensión por ${\displaystyle z_{i}.}$ ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle \Delta _{t}}$

${\displaystyle \Delta ={\frac {c-1}{24}}-P^{2}.}$

Los valores corresponden al espectro de la teoría de Liouville . ${\displaystyle P\in i\mathbb {R} }$

También necesitamos introducir dos parámetros relacionados con la carga central , ${\displaystyle Q,b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=1+6Q^{2},\qquad Q=b+b^{-1}.}$

Suponiendo y , la expresión explícita de la matriz de fusión es ^[5] ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$ ${\displaystyle P_{i}\in i\mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\Delta _{s},\Delta _{t}}&{\begin{bmatrix}\Delta _{2}&\Delta _{3}\\\Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}=\\&=\left(\prod _{\pm }{\frac {\Gamma _{b}(Q\pm 2P_{s})}{\Gamma _{b}(\pm 2P_{t})}}\right){\frac {\Xi _{+}(P_{1},P_{4},P_{t})\Xi _{+}(P_{2},P_{3},P_{t})}{\Xi _{-}(P_{1},P_{2},P_{s})\Xi _{-}(P_{3},P_{4},P_{s})}}\times \\&\quad \times \int _{{\frac {Q}{4}}+i\mathbb {R} }du\ S_{b}\left(u-P_{12s}\right)S_{b}\left(u-P_{s34}\right)S_{b}\left(u-P_{23t}\right)S_{b}\left(u-P_{t14}\right)\\&\qquad \times S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{1234}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st13}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st24}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u\right)\end{aligned}}}$

donde es una función gamma doble , ${\displaystyle \Gamma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{b}(x)&={\frac {\Gamma _{b}(x)}{\Gamma _{b}(Q-x)}}\\[6pt]\Xi _{\epsilon }(P_{1},P_{2},P_{3})&=\prod _{\underset {\epsilon _{1}\epsilon _{2}\epsilon _{3}=\epsilon }{\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}=\pm }}\Gamma _{b}\left({\tfrac {Q}{2}}+\sum _{i}\epsilon _{i}P_{i}\right)\\[6pt]P_{ijk}&=P_{i}+P_{j}+P_{k}\end{aligned}}}$

Aunque su expresión es más simple en términos de momentos que en términos de dimensiones conformes , la matriz de fusión es en realidad una función de , es decir, una función de que es invariante bajo . En la expresión de la matriz de fusión, la integral es una integral de Barnes hiperbólica . Hasta la normalización, la matriz de fusión coincide con la función hipergeométrica de Ruijsenaars , con los argumentos y parámetros . ^[6] La matriz de fusión tiene varias representaciones integrales diferentes y obedece a muchas identidades no triviales. ^[7] ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}\to -P_{i}}$ ${\displaystyle P_{s},P_{t}}$ ${\displaystyle b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$

En bloques de puntos en la esfera, el cambio de bases entre dos conjuntos de bloques que se definen a partir de diferentes secuencias de OPE siempre se puede escribir en términos de la matriz de fusión, y una matriz simple que describe la permutación de los dos primeros campos en un bloque de canal s, ^[3] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=e^{i\pi (\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2})}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{2},\Delta _{1},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{2},z_{1},z_{3},z_{4}).}$

Computación de bloques conformes.

De la definición

La definición de OPE conduce a una expresión para un bloque conforme de cuatro puntos de canal s como una suma de estados en la representación de canal s, del tipo ^[8]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{\text{(s)}}(\{\Delta _{i}\}|z)=z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}\sum _{L,L'}z^{|L|}f_{12s}^{L}Q_{L,L'}^{s}f_{43s}^{L'}\ .}$

Las sumas son modos de creación del álgebra de Virasoro , es decir, combinaciones del tipo de generadores de Virasoro con cuyo nivel es . Dichos generadores corresponden a estados básicos en el módulo Verma con la dimensión conforme . El coeficiente es una función de , que se conoce explícitamente. El elemento de la matriz es una función cuyo valor desaparece si y diverge si hay un vector nulo en el nivel . Hasta , esto dice ${\displaystyle L,L'}$ ${\displaystyle L=\prod _{i}L_{-n_{i}}}$ ${\displaystyle 1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots }$ ${\displaystyle |L|=\sum n_{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{s}}$ ${\displaystyle f_{12s}^{L}}$ ${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{s},L}$ ${\displaystyle Q_{L,L'}^{s}}$ ${\displaystyle c,\Delta _{s},L,L'}$ ${\displaystyle |L|\neq |L'|}$ ${\displaystyle |L|=N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |L|=1}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{\text{(s)}}(\{\Delta _{i}\}|z)=z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}{\Bigg \{}1+{\frac {(\Delta _{s}+\Delta _{1}-\Delta _{2})(\Delta _{s}+\Delta _{4}-\Delta _{3})}{2\Delta _{s}}}z+O(z^{2}){\Bigg \}}\ .}$

(En particular, no depende de la carga central ). ${\displaystyle Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}}$ ${\displaystyle c}$

La representación recursiva de Zamolodchikov.

En la representación recursiva de Alexei Zamolodchikov de bloques de cuatro puntos en la esfera, la relación cruzada aparece a través del nomo ${\displaystyle z}$

${\displaystyle q=\exp -\pi {\frac {F({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,1-z)}{F({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z)}}{\underset {z\to 0}{=}}{\frac {z}{16}}+{\frac {z^{2}}{32}}+O(z^{3})\quad \iff \quad z={\frac {\theta _{2}(q)^{4}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\underset {q\to 0}{=}}16q-128q^{2}+O(q^{3})}$

¿Dónde está la función hipergeométrica ? Usamos las funciones theta de Jacobi. ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \theta _{2}(q)=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)}\quad ,\quad \theta _{3}(q)=\sum _{n\in {\mathbb {Z} }}q^{n^{2}}}$

La representación es del tipo

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)=(16q)^{\Delta -{\frac {1}{4}}Q^{2}}z^{{\frac {1}{4}}Q^{2}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(1-z)^{{\frac {1}{4}}Q^{2}-\Delta _{1}-\Delta _{4}}\theta _{3}(q)^{3Q^{2}-4(\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4})}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)\ .}$

La función es una serie de potencias en , que se define recursivamente por ${\displaystyle H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)=1+\sum _{m,n=1}^{\infty }{\frac {(16q)^{mn}}{\Delta -\Delta _{(m,n)}}}R_{m,n}H_{\Delta _{(m,-n)}}(\{\Delta _{i}\}|q)\ .}$

En esta fórmula, las posiciones de los polos son las dimensiones de representaciones degeneradas, que corresponden a los momentos ${\displaystyle \Delta _{(m,n)}}$

${\displaystyle P_{(m,n)}={\frac {1}{2}}\left(mb+nb^{-1}\right)\ .}$

Los residuos están dados por ${\displaystyle R_{m,n}}$

${\displaystyle R_{m,n}={\frac {2P_{(0,0)}P_{(m,n)}}{\prod _{r=1-m}^{m}\prod _{s=1-n}^{n}2P_{(r,s)}}}\prod _{r{\overset {2}{=}}1-m}^{m-1}\prod _{s{\overset {2}{=}}1-n}^{n-1}\prod _{\pm }(P_{2}\pm P_{1}+P_{(r,s)})(P_{3}\pm P_{4}+P_{(r,s)})\ ,}$

donde el superíndice in indica un producto que se ejecuta en incrementos de . La relación de recursividad para puede resolverse, dando lugar a una fórmula explícita (pero poco práctica). ^{[2] [9]} ${\displaystyle {\overset {2}{=}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)}$

Si bien los coeficientes de la serie de potencias no tienen por qué ser positivos en las teorías unitarias , los coeficientes de son positivos, debido a la interpretación de esta combinación en términos de sumas de estados en la geometría de la almohada. ^[10] ${\displaystyle H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)}$ ${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)}$

La representación recursiva puede verse como una expansión alrededor de . A veces se le llama -recursión , para distinguirla de la -recursión : otra representación recursiva, también debida a Alexei Zamolodchikov , que se expande alrededor . Ambas representaciones pueden generalizarse a bloques conformes de Virasoro puntuales sobre superficies arbitrarias de Riemann . ^[11] ${\displaystyle \Delta =\infty }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=\infty }$ ${\displaystyle N}$

De la relación al conteo de instantes.

La relación Alday-Gaiotto-Tachikawa entre la teoría de campos conforme bidimensional y la teoría de calibre supersimétrica, más específicamente, entre los bloques conformes de la teoría de Liouville y las funciones de partición de Nekrasov ^[12] de las teorías de calibre supersimétricas en cuatro dimensiones, conduce a expresiones combinatorias para la teoría conforme. bloques como sumas sobre diagramas de Young . Cada diagrama se puede interpretar como un estado en una representación del álgebra de Virasoro, multiplicada por un álgebra de Lie afín abeliana . ^[13]

Casos especiales

Bloques de punto cero en el toroide

Un bloque de punto cero no depende de las posiciones del campo, pero sí de los módulos de la superficie de Riemann subyacente . En el caso del toro

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }},}$

esa dependencia se escribe mejor y el bloque de punto cero asociado a una representación del álgebra de Virasoro es ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle \chi _{\mathcal {R}}(\tau )=\operatorname {Tr} _{\mathcal {R}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}},}$

donde es un generador del álgebra de Virasoro. Esto coincide con el personaje de Los personajes de algunas representaciones de mayor peso son: ^[1] ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

• Módulo Verma con dimensión conforme : ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}}$

${\displaystyle \chi _{P}(\tau )={\frac {q^{-P^{2}}}{\eta (\tau )}},}$

¿ Dónde está la función Dedekind eta ? ${\displaystyle \eta (\tau )}$

• Representación degenerada con el impulso : ${\displaystyle P_{(r,s)}}$

${\displaystyle \chi _{(r,s)}(\tau )=\chi _{P_{(r,s)}}(\tau )-\chi _{P_{(r,-s)}}(\tau ).}$

• Representación completamente degenerada en racional : ${\displaystyle b^{2}=-{\tfrac {p}{q}}}$

${\displaystyle \chi _{(r,s)}(\tau )=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\chi _{P_{(r,s)}+ik{\sqrt {pq}}}(\tau )-\chi _{P_{(r,-s)}+ik{\sqrt {pq}}}(\tau )\right).}$

Los personajes se transforman linealmente bajo las transformaciones modulares :

${\displaystyle \tau \to {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbb {Z} ).}$

En particular, su transformación se describe a continuación mediante la matriz S modular . Utilizando la matriz S, las restricciones en el espectro de un CFT se pueden derivar de la invariancia modular de la función de partición toroidal, lo que lleva en particular a la clasificación ADE de modelos mínimos . ^[14] ${\displaystyle \tau \to -{\tfrac {1}{\tau }}}$

Bloques de un punto sobre el toroide

Un bloque arbitrario de un punto en el toro se puede escribir en términos de un bloque de cuatro puntos en la esfera con una carga central diferente. Esta relación asigna el módulo del toro a la relación cruzada de las posiciones de los cuatro puntos, y tres de los cuatro campos en la esfera tienen un momento fijo : ^{[15] [16]} ${\displaystyle P_{(0,{\frac {1}{2}})}={\tfrac {1}{4b}}}$

${\displaystyle H_{P'}^{\text{torus}}(P_{1}|q^{2})=H_{P}\left(\left.{\tfrac {1}{4b}},P_{2},{\tfrac {1}{4b}},{\tfrac {1}{4b}}\right|q\right)\quad {\text{with}}\quad \left\{{\begin{array}{l}b={\frac {b'}{\sqrt {2}}}\\P_{2}={\frac {P_{1}}{\sqrt {2}}}\\P={\sqrt {2}}P'\end{array}}\right.}$

dónde

• ${\displaystyle H_{P_{s}}\left(\left.P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}\right|q\right)}$es el factor no trivial del bloque esférico de cuatro puntos en la representación recursiva de Zamolodchikov, escrito en términos de momentos en lugar de dimensiones . ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$
• ${\displaystyle H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}|q)}$es el factor no trivial del bloque de un punto del toro , donde es la función eta de Dedekind , el parámetro modular del toro es tal que , y el campo en el toro tiene la dimensión . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)}$ ${\displaystyle \eta (q)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \Delta _{1}}$

La representación recursiva de bloques de un punto en el toro es ^[17]

${\displaystyle H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=1+\sum _{m,n=1}^{\infty }{\frac {q^{mn}}{\Delta -\Delta _{(m,n)}}}R_{m,n}^{\text{torus}}H_{\Delta _{(m,-n)}}^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)\ ,}$

donde están los residuos

${\displaystyle R_{m,n}^{\text{torus}}={\frac {2P_{(0,0)}P_{(m,n)}}{\prod _{r=1-m}^{m}\prod _{s=1-n}^{n}2P_{(r,s)}}}\prod _{r{\overset {2}{=}}1-2m}^{2m-1}\prod _{s{\overset {2}{=}}1-2n}^{2n-1}\left(P_{1}+P_{(r,s)}\right)\ .}$

Bajo transformaciones modulares, los bloques de un punto en el toro se comportan como

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{P}^{\text{torus}}\left(P_{1}|-{\tfrac {1}{\tau }}\right)=\int _{i\mathbb {R} }dP'\ S_{P,P'}(P_{1}){\mathcal {F}}_{P'}^{\text{torus}}\left(P_{1}|\tau \right)\ ,}$

donde el núcleo modular es ^{[18] [19]}

${\displaystyle S_{P,P'}(P_{1})={\frac {\sqrt {2}}{S_{b}({\frac {Q}{2}}+P_{1})}}\prod _{\pm }{\frac {\Gamma _{b}(Q\pm 2P)}{\Gamma _{b}(\pm 2P')}}{\frac {\Gamma _{b}({\frac {Q}{2}}-P_{1}\pm 2P')}{\Gamma _{b}({\frac {Q}{2}}-P_{1}\pm 2P)}}\int _{i\mathbb {R} }{\frac {du}{i}}\ e^{4\pi iPu}\prod _{\pm ,\pm }S_{b}\left({\tfrac {Q}{4}}+{\tfrac {P_{1}}{2}}\pm u\pm P'\right)\ .}$

Bloques hipergeométricos

Para una función de cuatro puntos en la esfera

${\displaystyle \left\langle V_{\langle 2,1\rangle }(x)\prod _{i=1}^{3}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle }$

donde un campo tiene un vector nulo en el nivel dos, la ecuación BPZ de segundo orden se reduce a la ecuación hipergeométrica. Se hace una base de soluciones a partir de los dos bloques conformes de canal s que están permitidos por las reglas de fusión, y estos bloques se pueden escribir en términos de la función hipergeométrica ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{P_{1}+\epsilon {\frac {b}{2}}}^{(s)}(z)&=z^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+b\epsilon P_{1}}(1-z)^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+bP_{3}}\\&\times F\left({\tfrac {1}{2}}+b(\epsilon P_{1}+P_{2}+P_{3}),{\tfrac {1}{2}}+b(\epsilon P_{1}-P_{2}+P_{3}),1+2b\epsilon P_{1},z\right),\end{aligned}}}$

con otra base está hecha de los dos bloques conformes de canal t, ${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{P_{3}+\epsilon {\frac {b}{2}}}^{(t)}(z)&=z^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+bP_{1}}(1-z)^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+b\epsilon P_{3}}\\&\times F\left({\tfrac {1}{2}}+b(P_{1}+P_{2}+\epsilon P_{3}),{\tfrac {1}{2}}+b(P_{1}-P_{2}+\epsilon P_{3}),1+2b\epsilon P_{3},1-z\right).\end{aligned}}}$

La matriz de fusión es la matriz de tamaño dos tal que

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{P_{1}+\epsilon _{1}{\frac {b}{2}}}^{(s)}(x)=\sum _{\epsilon _{3}=\pm }F_{\epsilon _{1},\epsilon _{3}}{\mathcal {F}}_{P_{3}+\epsilon _{3}{\frac {b}{2}}}^{(t)}(x),}$

cuya expresión explícita es

${\displaystyle F_{\epsilon _{1},\epsilon _{3}}={\frac {\Gamma (1-2b\epsilon _{1}P_{1})\Gamma (2b\epsilon _{3}P_{3})}{\prod _{\pm }\Gamma ({\frac {1}{2}}+b(-\epsilon _{1}P_{1}\pm P_{2}+\epsilon _{3}P_{3}))}}.}$

Los bloques conformes hipergeométricos juegan un papel importante en el enfoque analítico de arranque para CFT bidimensional. ^{[20] [21]}

Soluciones de la ecuación de Painlevé VI

Si entonces ciertas combinaciones lineales de bloques conformes de canal s son soluciones de la ecuación diferencial no lineal de Painlevé VI . ^[22] Las combinaciones lineales relevantes implican sumas sobre conjuntos de momentos del tipo Esto permite deducir bloques conformes a partir de soluciones de la ecuación de Painlevé VI y viceversa. Esto también conduce a una fórmula relativamente simple para la matriz de fusión en ^[23] Curiosamente, el límite de bloques conformes también está relacionado con la ecuación de Painlevé VI. ^[24] La relación entre los límites y los , misteriosa en el lado de la teoría de campos conforme, se explica naturalmente en el contexto de las teorías de calibre de cuatro dimensiones, utilizando ecuaciones ampliadas, ^{[25] [26]} y se puede generalizar a pares de límites más generales. cargos centrales. ${\displaystyle c=1,}$ ${\displaystyle P_{s}+i\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle c=1.}$ ${\displaystyle c=\infty }$ ${\displaystyle c=\infty }$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle c,c'}$

Generalizaciones

Otras representaciones del álgebra de Virasoro

Los bloques conformes de Virasoro que se describen en este artículo están asociados a un cierto tipo de representaciones del álgebra de Virasoro: representaciones de mayor peso, es decir, módulos de Verma y sus clases laterales. ^[2] Las funciones de correlación que involucran otros tipos de representaciones dan lugar a otros tipos de bloques conformes. Por ejemplo:

• La teoría logarítmica de campos conforme implica representaciones donde el generador de Virasoro no es diagonalizable, lo que da lugar a bloques que dependen logarítmicamente de las posiciones del campo. ${\displaystyle L_{0}}$
• Se pueden construir representaciones a partir de estados en los que algunos modos de aniquilación del álgebra de Virasoro actúan diagonalmente, en lugar de desaparecer. Los bloques conformes correspondientes han sido denominados bloques conformes irregulares . ^[27]

Álgebras de simetría más amplias

En una teoría cuyo álgebra de simetría es mayor que el álgebra de Virasoro, por ejemplo un modelo WZW o una teoría con simetría W , las funciones de correlación pueden, en principio, descomponerse en bloques conformes de Virasoro, pero esa descomposición normalmente implica demasiados términos para ser útil. En su lugar, es posible utilizar bloques conformes basados ​​en el álgebra más amplia: por ejemplo, en un modelo WZW, bloques conformes basados ​​en el álgebra de Lie afín correspondiente , que obedecen a las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov .

Referencias

1. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN  0-387-94785-X
2. Ribault, Sylvain (2014). "Teoría de campos conforme en el avión". arXiv : 1406.4290 [hep-th].
3. Moore, Gregory; Seiberg, Nathan (1989). "Teoría de campos conforme clásica y cuántica". Comunicaciones en Física Matemática . 123 (2): 177–254. Código bibliográfico : 1989CMaPh.123..177M. doi :10.1007/BF01238857. S2CID  122836843.
4. Teschner, Jörg (2017). "Una guía para la teoría de campos conformes bidimensionales". arXiv : 1708.00680 [hep-th].
5. Teschner, J.; Vartanov, GS (2012). "Símbolos 6j para el doble modular, la geometría hiperbólica cuántica y las teorías de calibre supersimétricas". arXiv : 1202.4698 [hep-th].
6. Rosellón, Julien (2021). "El núcleo de fusión de Virasoro y la función hipergeométrica de Ruijsenaars". Letras en Física Matemática . 111 (1): 7. arXiv : 2006.16101 . Código Bib : 2021LMaPh.111....7R. doi :10.1007/s11005-020-01351-4. PMC 7796901 . PMID  33479555. 
7. Eberhardt, Lorenz (2023). "Notas sobre transformaciones cruzadas de bloques conformes de Virasoro". arXiv : 2309.11540 [hep-th].
8. Marshakov, A.; Mirónov, A.; Morózov, A. (2009). "Sobre expansiones combinatorias de bloques conformes". Física Teórica y Matemática . 164 : 831–852. arXiv : 0907.3946 . doi :10.1007/s11232-010-0067-6. S2CID  16017224.
9. Perlmutter, Eric (2015). "Bloques conformes de Virasoro en forma cerrada". Revista de Física de Altas Energías . 2015 (8): 88. arXiv : 1502.07742 . Código Bib : 2015JHEP...08..088P. doi :10.1007/JHEP08(2015)088. S2CID  54075672.
10. Maldacena, Juan; Simmons-Duffin, David; Zhiboedov, Alejandro (11 de septiembre de 2015). "Buscando un punto de volumen". arXiv : 1509.03612 [hep-th].
11. Cho, Minjae; Collier, Scott; Yin, Xi (2017). "Representaciones recursivas de bloques conformes arbitrarios de Virasoro". arXiv : 1703.09805 [hep-th].
12. Nekrasov, Nikita (2004). "Prepotencial de Seiberg-Witten del conteo instantáneo". Avances en Física Teórica y Matemática . 7 (5): 831–864. arXiv : hep-th/0206161 . doi :10.4310/ATMP.2003.v7.n5.a4. S2CID  2285041.
13. Alba, Vasyl A.; Fateev, Vladimir A.; Litvinov, Alexey V.; Tarnopolskiy, Grigory M. (2011). "Sobre la expansión combinatoria de los bloques conformes que surgen de la conjetura AGT". Letras en Física Matemática . 98 (1): 33–64. arXiv : 1012.1312 . Código Bib : 2011LMaPh..98...33A. doi :10.1007/s11005-011-0503-z. S2CID  119143670.
14. A. Cappelli, JB. Zuber, "Clasificación ADE de teorías de campos conformes", Scholarpedia
15. Fateev, VA; Litvinov, AV; Neveu, A.; Onofri, E. (8 de febrero de 2009). "Ecuación diferencial para la función de correlación de cuatro puntos en la teoría de campos de Liouville y bloques conformes elípticos de cuatro puntos". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 42 (30): 304011. arXiv : 0902.1331 . Código Bib : 2009JPhA...42D4011F. doi :10.1088/1751-8113/42/30/304011. S2CID  16106733.
16. Hadasz, Leszek; Jaskolski, Zbigniew; Suchanek, Paulina (2010). "Arranque modular en la teoría de campos de Liouville". Letras de Física B. 685 (1): 79–85. arXiv : 0911.4296 . Código Bib : 2010PhLB..685...79H. doi :10.1016/j.physletb.2010.01.036. S2CID  118625083.
17. Fateev, VA; Litvinov, AV (2010). "Sobre la conjetura de AGT". Revista de Física de Altas Energías . 2010 (2): 014. arXiv : 0912.0504 . Código Bib : 2010JHEP...02..014F. doi :10.1007/JHEP02(2010)014. S2CID  118561574.
18. Teschner, J. (5 de agosto de 2003). "De la teoría de Liouville a la geometría cuántica de superficies de Riemann". arXiv : hep-th/0308031 .
19. Nemkov, Nikita (16 de abril de 2015). "Sobre transformaciones modulares de bloques conformes tóricos no degenerados". Revista de Física de Altas Energías . 1510 : 039. arXiv : 1504.04360 . doi :10.1007/JHEP10(2015)039. S2CID  73549642.
20. Teschner, Jörg. (1995). "Sobre la función de tres puntos de Liouville". Letras de Física B. 363 (1–2): 65–70. arXiv : hep-th/9507109 . Código Bib : 1995PhLB..363...65T. doi :10.1016/0370-2693(95)01200-A. S2CID  15910029.
21. Migliaccio, Santiago; Ribault, Sylvain (2018). "Las ecuaciones de arranque analíticas de CFT bidimensional no diagonal". Revista de Física de Altas Energías . 2018 (5): 169. arXiv : 1711.08916 . Código Bib : 2018JHEP...05..169M. doi :10.1007/JHEP05(2018)169. S2CID  119385003.
22. Gamayun, O.; Iorgov, N.; Lisovyy, O. (2012). "Teoría de campos conforme de Painlevé VI". Revista de Física de Altas Energías . 2012 (10): 038. arXiv : 1207.0787 . Código Bib : 2012JHEP...10..038G. doi :10.1007/JHEP10(2012)038. S2CID  119610935.
23. Iorgov, N.; Lisovyy, O.; Tykhyy, Yu. (2013). "Problema de conexión Painlevé VI y monodromía de c = 1 bloques conformes". Revista de Física de Altas Energías . 2013 (12): 029. arXiv : 1308.4092 . Código Bib : 2013JHEP...12..029I. doi :10.1007/JHEP12(2013)029. S2CID  56401903.
24. Litvinov, Alexey; Lukyanov, Sergei; Nekrasov, Nikita; Zamolodchikov, Alejandro (2014). "Bloques conformes clásicos y Painlevé VI". Revista de Física de Altas Energías . 2014 (7): 144. arXiv : 1309.4700 . Código Bib : 2014JHEP...07..144L. doi :10.1007/JHEP07(2014)144. S2CID  119710593.
25. Nekrasov, Nikita (2020). "Explosiones en la correspondencia BPS/CFT y Painlevé VI". Annales Henri Poincaré . arXiv : 2007.03646 . doi :10.1007/s00023-023-01301-5.
26. Jeong, Saebyeok; Nekrasov, Nikita (2020). "Correspondencia Riemann-Hilbert y defectos superficiales ampliados". Revista de Física de Altas Energías . 2020 (12): 006. arXiv : 2007.03660 . Código Bib : 2020JHEP...12..006J. doi :10.1007/JHEP12(2020)006. S2CID  220381427.
27. Gaiotto, D.; Teschner, J. (2012). "Singularidades irregulares en la teoría de Liouville y las teorías de calibre tipo Argyres-Douglas". Revista de Física de Altas Energías . 2012 (12): 50. arXiv : 1203.1052 . Código Bib : 2012JHEP...12..050G. doi :10.1007/JHEP12(2012)050. S2CID  118380071.