Función de correlación

Correlación en función de la distancia.

Comparación visual de convolución , correlación cruzada y autocorrelación .

Una función de correlación es una función que proporciona la correlación estadística entre variables aleatorias , dependiendo de la distancia espacial o temporal entre esas variables. ^[1] Si se considera la función de correlación entre variables aleatorias que representan la misma cantidad medida en dos puntos diferentes, entonces esto a menudo se denomina función de autocorrelación , que se compone de autocorrelaciones . Las funciones de correlación de diferentes variables aleatorias a veces se denominan funciones de correlación cruzada para enfatizar que se están considerando diferentes variables y porque están formadas por correlaciones cruzadas .

Las funciones de correlación son un indicador útil de dependencias en función de la distancia en el tiempo o el espacio, y pueden usarse para evaluar la distancia requerida entre puntos de muestra para que los valores no estén efectivamente correlacionados. Además, pueden formar la base de reglas para interpolar valores en puntos para los que no hay observaciones.

Las funciones de correlación utilizadas en astronomía , análisis financiero , econometría y mecánica estadística difieren sólo en los procesos estocásticos particulares a los que se aplican. En la teoría cuántica de campos existen funciones de correlación sobre distribuciones cuánticas .

Definición

Para variables aleatorias posiblemente distintas X ( s ) e Y ( t ) en diferentes puntos s y t de algún espacio, la función de correlación es

${\displaystyle C(s,t)=\operatorname {corr} (X(s),Y(t)),}$

donde se describe en el artículo sobre correlación . En esta definición, se ha supuesto que las variables estocásticas tienen valores escalares. Si no es así, se pueden definir funciones de correlación más complicadas. Por ejemplo, si X ( s ) es un vector aleatorio con n elementos e Y (t) es un vector con q elementos, entonces se define una matriz n × q de funciones de correlación con el elemento ${\displaystyle \operatorname {corr} }$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle C_{ij}(s,t)=\operatorname {corr} (X_{i}(s),Y_{j}(t)).}$

Cuando n = q , a veces se centra la traza de esta matriz. Si las distribuciones de probabilidad tienen simetrías en el espacio objetivo, es decir, simetrías en el espacio de valores de la variable estocástica (también llamadas simetrías internas ), entonces la matriz de correlación tendrá simetrías inducidas. De manera similar, si hay simetrías en el dominio del espacio (o tiempo) en el que existen las variables aleatorias (también llamadas simetrías espacio-temporales ), entonces la función de correlación tendrá simetrías espaciales o temporales correspondientes. Ejemplos de simetrías espacio-temporales importantes son:

• la simetría traslacional produce C ( s , s ') = C ( s  −  s ') donde s y s ' deben interpretarse como vectores que dan las coordenadas de los puntos
• la simetría rotacional además de lo anterior da C ( s , s ') = C (| s  −  s '|) donde | x | denota la norma del vector x (para rotaciones reales, esta es la norma euclidiana o 2).

A menudo se definen funciones de correlación de orden superior. Una función de correlación típica de orden n es (los corchetes angulares representan el valor esperado )

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

Si el vector aleatorio tiene sólo una variable componente, entonces los índices son redundantes. Si hay simetrías, entonces la función de correlación se puede dividir en representaciones irreductibles de las simetrías, tanto internas como espacio-temporales. ${\displaystyle i,j}$

Propiedades de las distribuciones de probabilidad.

Con estas definiciones, el estudio de las funciones de correlación es similar al estudio de las distribuciones de probabilidad . Muchos procesos estocásticos pueden caracterizarse completamente por sus funciones de correlación; el ejemplo más notable es la clase de procesos gaussianos .

Las distribuciones de probabilidad definidas en un número finito de puntos siempre se pueden normalizar, pero cuando se definen en espacios continuos, se requiere especial cuidado. El estudio de tales distribuciones comenzó con el estudio de los paseos aleatorios y condujo a la noción del cálculo de Itō .

La integral de trayectoria de Feynman en el espacio euclidiano generaliza esto a otros problemas de interés para la mecánica estadística . Cualquier distribución de probabilidad que obedezca una condición en las funciones de correlación llamada positividad de reflexión conduce a una teoría cuántica de campos local después de la rotación de Wick al espacio-tiempo de Minkowski (ver Axiomas de Osterwalder-Schrader ). La operación de renormalización es un conjunto específico de asignaciones del espacio de distribuciones de probabilidad a sí mismo. Una teoría cuántica de campos se llama renormalizable si este mapeo tiene un punto fijo que da una teoría cuántica de campos.

Ver también

• Autocorrelación  : correlación de una señal con una copia de sí misma en diferido en el tiempo, en función del cambio.
• Correlación no implica causalidad  – Refutación de una falacia lógica
• Correlograma  : imagen de estadísticas de correlación
• Función de covarianza
• Coeficiente de correlación momento-producto de Pearson  : medida de correlación linealPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función de correlación (astronomía)  : función que describe la distribución de galaxias en el universo.
• Función de correlación (mecánica estadística)  : medida del orden de un sistema
• Función de correlación (teoría cuántica de campos)  : valor esperado de los operadores cuánticos ordenados en el tiempo
• Información mutua  – Medida de dependencia entre dos variables
• Teoría de la distorsión de la velocidad  : rama de la teoría de la información que proporciona los fundamentos teóricos para la compresión de datos con pérdida.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Función de distribución radial  : descripción de la densidad de partículas en mecánica estadística

Referencias

1. Amigo, Manoranjan; Bharati, Premananda (2019). "Introducción al análisis de correlación y regresión lineal". Aplicaciones de Técnicas de Regresión. Springer, Singapur. págs. 1–18. doi :10.1007/978-981-13-9314-3_1 . Consultado el 14 de diciembre de 2023 .