Las simetrías del espacio-tiempo son características del espacio-tiempo que pueden describirse como si exhibieran alguna forma de simetría . El papel de la simetría en física es importante para simplificar las soluciones a muchos problemas. Las simetrías del espacio-tiempo se utilizan en el estudio de soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general . Las simetrías del espacio-tiempo se distinguen de las simetrías internas .
Los problemas físicos suelen investigarse y resolverse observando características que tienen algún tipo de simetría. Por ejemplo, en la solución de Schwarzschild , el papel de la simetría esférica es importante para derivar la solución de Schwarzschild y deducir las consecuencias físicas de esta simetría (como la inexistencia de radiación gravitacional en una estrella esférica pulsante). En los problemas cosmológicos, la simetría desempeña un papel en el principio cosmológico , que restringe el tipo de universos que son consistentes con las observaciones a gran escala (por ejemplo, la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) ). Las simetrías suelen requerir algún tipo de propiedad preservadora, las más importantes de las cuales en la relatividad general incluyen las siguientes:
Estas y otras simetrías se analizarán con más detalle a continuación. Esta propiedad de conservación que suelen poseer las simetrías (mencionada anteriormente) se puede utilizar para fundamentar una definición útil de estas simetrías en sí.
Hall (2004) ha dado una definición rigurosa de las simetrías en la relatividad general. En este enfoque, la idea es utilizar campos vectoriales (suaves) cuyos difeomorfismos de flujo local preservan alguna propiedad del espacio-tiempo . (Nótese que uno debe enfatizar en su pensamiento que esto es un difeomorfismo, una transformación en un elemento diferencial . La implicación es que el comportamiento de los objetos con extensión puede no ser tan manifiestamente simétrico). Esta propiedad preservadora de los difeomorfismos se precisa de la siguiente manera. Se dice que un campo vectorial suave X en un espacio-tiempo M preserva un tensor suave T en M (o T es invariante bajo X ) si, para cada difeomorfismo de flujo local suave ϕ t asociado con X , los tensores T y ϕ*
o( T ) son iguales en el dominio de ϕ t . Esta afirmación es equivalente a la condición más utilizable de que la derivada de Lie del tensor bajo el campo vectorial se anula:
en M . Esto tiene la consecuencia de que, dados dos puntos cualesquiera p y q en M , las coordenadas de T en un sistema de coordenadas alrededor de p son iguales a las coordenadas de T en un sistema de coordenadas alrededor de q . Una simetría en el espacio-tiempo es un campo vectorial suave cuyos difeomorfismos de flujo local preservan alguna característica (normalmente geométrica) del espacio-tiempo. La característica (geométrica) puede referirse a tensores específicos (como el métrico o el tensor de energía-momento) o a otros aspectos del espacio-tiempo como su estructura geodésica. Los campos vectoriales a veces se denominan colineaciones , campos vectoriales de simetría o simplemente simetrías . El conjunto de todos los campos vectoriales de simetría en M forma un álgebra de Lie bajo la operación de corchete de Lie como se puede ver a partir de la identidad:
el término de la derecha generalmente se escribe, con un abuso de notación , como
Un campo vectorial de Killing es uno de los tipos de simetrías más importantes y se define como un campo vectorial suave X que preserva el tensor métrico g :
Generalmente esto se escribe en forma expandida así:
Los campos vectoriales asesinos encuentran amplias aplicaciones (incluso en la mecánica clásica ) y están relacionados con las leyes de conservación .
Un campo vectorial homotético es aquel que satisface: donde c es una constante real. Los campos vectoriales homotéticos encuentran aplicación en el estudio de singularidades en la relatividad general.
Un campo vectorial afín es aquel que satisface:
Un campo vectorial afín preserva las geodésicas y preserva el parámetro afín.
Los tres tipos de campos vectoriales anteriores son casos especiales de campos vectoriales proyectivos que preservan las geodésicas sin preservar necesariamente el parámetro afín.
Un campo vectorial conforme es aquel que satisface: donde ϕ es una función real suave en M .
Una colineación de curvatura es un campo vectorial que preserva el tensor de Riemann :
donde R a bcd son los componentes del tensor de Riemann. El conjunto de todas las colineaciones de curvatura suaves forma un álgebra de Lie bajo la operación de corchete de Lie (si se omite la condición de suavidad, el conjunto de todas las colineaciones de curvatura no necesita formar un álgebra de Lie). El álgebra de Lie se denota por CC ( M ) y puede ser de dimensión infinita . Todo campo vectorial afín es una colineación de curvatura.
Una forma menos conocida de simetría se refiere a los campos vectoriales que preservan el tensor de energía-momento. Estos se denominan de diversas formas colineaciones de materia o simetrías de materia y se definen por: donde T es el tensor de energía-momento covariante. La íntima relación entre geometría y física puede resaltarse aquí, ya que se considera que el campo vectorial X preserva ciertas cantidades físicas a lo largo de las líneas de flujo de X , siendo esto cierto para cualesquiera dos observadores. En relación con esto, se puede demostrar que cada campo vectorial de Killing es una colineación de materia (por las ecuaciones de campo de Einstein, con o sin constante cosmológica ). Por lo tanto, dada una solución de la EFE, un campo vectorial que preserva la métrica preserva necesariamente el tensor de energía-momento correspondiente . Cuando el tensor de energía-momento representa un fluido perfecto, cada campo vectorial de Killing preserva la densidad de energía, la presión y el campo vectorial de flujo de fluido. Cuando el tensor de energía-momento representa un campo electromagnético, un campo vectorial de Killing no necesariamente preserva los campos eléctrico y magnético.
Como se mencionó al comienzo de este artículo, la principal aplicación de estas simetrías ocurre en la relatividad general, donde las soluciones de las ecuaciones de Einstein pueden clasificarse imponiendo ciertas simetrías al espacio-tiempo.
La clasificación de las soluciones de la EFE constituye una gran parte de la investigación de la relatividad general. Muchos investigadores, en particular Stephani et al. (2003), han estudiado en profundidad diversos enfoques para clasificar los espaciotiempos, como la clasificación de Segre del tensor de energía-momento o la clasificación de Petrov del tensor de Weyl. También clasifican los espaciotiempos utilizando campos vectoriales de simetría (especialmente simetrías de Killing y homotéticas). Por ejemplo, los campos vectoriales de Killing pueden utilizarse para clasificar los espaciotiempos, ya que existe un límite para el número de campos vectoriales de Killing globales y uniformes que puede poseer un espaciotiempo (el máximo es diez para los espaciostiempos de cuatro dimensiones). En términos generales, cuanto mayor sea la dimensión del álgebra de campos vectoriales de simetría en un espaciotiempo, más simetría admite el espaciotiempo. Por ejemplo, la solución de Schwarzschild tiene un álgebra de Killing de dimensión cuatro (tres campos vectoriales rotacionales espaciales y una traslación temporal), mientras que la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (excluyendo el subcaso estático de Einstein ) tiene un álgebra de Killing de dimensión seis (tres traslaciones y tres rotaciones). La métrica estática de Einstein tiene un álgebra de Killing de dimensión siete (las seis anteriores más una traslación temporal).
La suposición de un espacio-tiempo que admita un cierto campo vectorial de simetría puede imponer restricciones al espacio-tiempo.
Los siguientes espacio-tiempos tienen sus propios artículos distintos en Wikipedia:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}({\mathcal {L}}_{Y}T)-{\mathcal {L}}_{Y}({\mathcal {L}}_{X}T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9667c0050594047debabe8b44127cd0f16a75b9)
![{\displaystyle [{L}}_{X},{\displaystyle L}}_{Y}]T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2be8fd57725dc7b92c34e7283a0ee509028510)
