Linear approximation of smooth maps on tangent spaces
En geometría diferencial , el avance es una aproximación lineal de mapas suaves (formulación múltiple) en espacios tangentes. Supongamos que es un mapa suave entre variedades suaves ; entonces el diferencial de en un punto , denotado , es, en cierto sentido, la mejor aproximación lineal de cerca . Puede verse como una generalización de la derivada total del cálculo ordinario. Explícitamente, el diferencial es una aplicación lineal desde el espacio tangente de at al espacio tangente de at ,. Por lo tanto, se puede utilizar para empujar vectores tangentes hacia adelante hacia vectores tangentes . La diferencial de una aplicación también es llamada, por varios autores, derivada o derivada total de .
entre sus espacios tangentes. Tenga en cuenta que los espacios tangentes son isomorfos a y , respectivamente. El pushforward generaliza esta construcción al caso de que sea una función suave entre cualquier variedad suave y .
El diferencial de un mapa fluido.
Sea un mapa suave de variedades suaves. Dado el diferencial de at es un mapa lineal
desde el espacio tangente de at al espacio tangente de at La imagen de un vector tangente bajo a veces se llama empuje hacia adelante de por La definición exacta de este empuje hacia adelante depende de la definición que se use para los vectores tangentes (para las diversas definiciones ver espacio tangente ) .
Si los vectores tangentes se definen como clases de equivalencia de las curvas para las cuales entonces el diferencial viene dado por
Aquí, hay una curva en con y es un vector tangente a la curva en En otras palabras, el avance del vector tangente a la curva en es el vector tangente a la curva en
Alternativamente, si los vectores tangentes se definen como derivaciones que actúan sobre funciones suaves de valores reales, entonces el diferencial viene dado por
Después de elegir dos gráficos , alrededor y alrededor se determina localmente mediante un mapa suave entre conjuntos abiertos de y , y
en la notación de suma de Einstein , donde las derivadas parciales se evalúan en el punto correspondiente en el gráfico dado.
Extendiendo por linealidad se obtiene la siguiente matriz
Así, el diferencial es una transformación lineal, entre espacios tangentes, asociada al mapa suave en cada punto. Por lo tanto, en algunas coordenadas locales elegidas, está representado por la matriz jacobiana del mapa suave correspondiente desde hasta . En general, no es necesario que el diferencial sea invertible. Sin embargo, si es un difeomorfismo local , entonces es invertible y lo inverso da el retroceso de
El diferencial se expresa frecuentemente usando una variedad de otras notaciones como
De la definición se deduce que el diferencial de un compuesto es el compuesto de los diferenciales (es decir, el comportamiento funcional ). Esta es la regla de la cadena para mapas fluidos.
donde y Este último mapa puede a su vez verse como una sección del paquete vectorial Hom( TM , φ ∗ TN ) sobre M . El mapa de paquetes también se denota por y se llama mapa tangente . De esta forma, es un funtor .
Avance de campos vectoriales
Dado un mapa suave φ : M → N y un campo vectorial X en M , generalmente no es posible identificar un avance de X por φ con algún campo vectorial Y en N . Por ejemplo, si el mapa φ no es sobreyectivo, no existe una forma natural de definir tal avance fuera de la imagen de φ . Además, si φ no es inyectivo, puede haber más de una opción de avance en un punto determinado. Sin embargo, se puede precisar esta dificultad utilizando la noción de un campo vectorial a lo largo de un mapa.
Una sección de φ ∗ TN sobre M se llama campo vectorial a lo largo de φ . Por ejemplo, si M es una subvariedad de N y φ es la inclusión, entonces un campo vectorial a lo largo de φ es solo una sección del paquete tangente de N a lo largo de M ; en particular, un campo vectorial en M define dicha sección mediante la inclusión de TM dentro de TN . Esta idea se generaliza a mapas suaves arbitrarios.
Supongamos que X es un campo vectorial en M , es decir, una sección de TM . Entonces, se obtiene, en el sentido anterior, el avance φ ∗ X , que es un campo vectorial a lo largo de φ , es decir, una sección de φ ∗ TN sobre M .
Cualquier campo vectorial Y sobre N define una sección de retroceso φ ∗ Y de φ ∗ TN con ( φ ∗ Y ) x = Y φ ( x ) . Se dice que un campo vectorial X en M y un campo vectorial Y en N están relacionados con φ si φ ∗ X = φ ∗ Y como campos vectoriales a lo largo de φ . En otras palabras, para todo x en M , dφ x ( X ) = Y φ ( x ) .
En algunas situaciones, dado un campo vectorial X en M , hay un campo vectorial único Y en N que está relacionado con φ con X. Esto es cierto en particular cuando φ es un difeomorfismo . En este caso, el avance define un campo vectorial Y en N , dado por
Surge una situación más general cuando φ es sobreyectiva (por ejemplo, la proyección de un haz de fibras). Entonces se dice que un campo vectorial X en M es proyectable si para todo y en N , dφ x ( X x ) es independiente de la elección de x en φ −1 ({ y }). Esta es precisamente la condición que garantiza que un avance de X , como campo vectorial sobre N , esté bien definido.
Ejemplos
Avance a partir de la multiplicación en grupos de Lie
Dado un grupo de Lie , podemos usar el mapa de multiplicación para obtener mapas de multiplicación por la izquierda y por la derecha . Estos mapas se pueden utilizar para construir campos vectoriales invariantes izquierdo o derecho a partir de su espacio tangente en el origen (que es su álgebra de Lie asociada ). Por ejemplo, dado que obtenemos un campo vectorial asociado definido por
Impulso para algunos grupos de mentiras
Por ejemplo, si el grupo de Heisenberg está dado por matrices