Formalismo de lente gravitacional

En relatividad general , una masa puntual desvía un rayo de luz con parámetro de impacto en un ángulo aproximadamente igual a ${\displaystyle b~}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {4GM}{c^{2}b}}}$

donde G es la constante gravitacional , M la masa del objeto que se desvía y c la velocidad de la luz . Una aplicación ingenua de la gravedad newtoniana puede dar exactamente la mitad de este valor, donde el rayo de luz se supone como una partícula con masa y dispersada por el pozo de potencial gravitacional. Esta aproximación es buena cuando es pequeña. ${\displaystyle 4GM/c^{2}b}$

En situaciones en las que la relatividad general puede aproximarse mediante la gravedad linealizada , la desviación debida a una masa extendida espacialmente puede escribirse simplemente como una suma vectorial sobre masas puntuales. En el límite continuo , esto se convierte en una integral sobre la densidad y, si la desviación es pequeña, podemos aproximar el potencial gravitatorio a lo largo de la trayectoria desviada por el potencial a lo largo de la trayectoria no desviada, como en la aproximación de Born en mecánica cuántica. La desviación es entonces ${\displaystyle \rho ~}$

${\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int d^{2}\xi ^{\prime }\int dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z){\frac {\vec {b}}{|{\vec {b}}|^{2}}},~{\vec {b}}\equiv {\vec {\xi }}-{\vec {\xi ^{\prime }}}}$

donde es la coordenada de la línea de visión, y es el parámetro de impacto vectorial de la trayectoria real del rayo desde la masa infinitesimal ubicada en las coordenadas . ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ${\displaystyle d^{2}\xi ^{\prime }dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)}$ ${\displaystyle ({\vec {\xi }}^{\prime },z)}$

Aproximación de lente delgada

En el límite de una "lente delgada", donde las distancias entre la fuente, la lente y el observador son mucho mayores que el tamaño de la lente (esto es casi siempre cierto para los objetos astronómicos), podemos definir la densidad de masa proyectada.

${\displaystyle \Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })=\int \rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)dz}$

donde es un vector en el plano del cielo. El ángulo de deflexión es entonces ${\displaystyle {\vec {\xi }}^{\prime }}$

${\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int {\frac {({\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime })\Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|^{2}}}d^{2}\xi ^{\prime }}$

Ángulos involucrados en un sistema de lentes gravitacionales delgadas.

Como se muestra en el diagrama de la derecha, la diferencia entre la posición angular sin lente y la posición observada es este ángulo de desviación, reducido por una relación de distancias, descrita como la ecuación de la lente. ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$

${\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {\theta }}-{\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\theta }}-{\frac {D_{ds}}{D_{s}}}{\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {D_{d}\theta }})}$

donde es la distancia desde la lente hasta la fuente, es la distancia desde el observador hasta la fuente y es la distancia desde el observador hasta la lente. Para lentes extragalácticas, estas deben ser distancias de diámetro angular . ${\displaystyle D_{ds}~}$ ${\displaystyle D_{s}~}$ ${\displaystyle D_{d}~}$

En el caso de un fuerte efecto de lente gravitacional, esta ecuación puede tener múltiples soluciones, porque una única fuente puede convertirse en un lente gravitacional que genere múltiples imágenes. ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$

Potencial de convergencia y deflexión

El ángulo de deflexión reducido se puede escribir como ${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})}$

${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }{\frac {({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime })\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })}{|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|^{2}}}}$

donde definimos la convergencia

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {\Sigma ({\vec {\theta }})}{\Sigma _{cr}}}}$

y la densidad superficial crítica (que no debe confundirse con la densidad crítica del universo)

${\displaystyle \Sigma _{cr}={\frac {c^{2}D_{s}}{4\pi GD_{ds}D_{d}}}}$

También podemos definir el potencial de deflexión.

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })\ln |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|}$

de modo que el ángulo de deflexión escalado es simplemente el gradiente del potencial y la convergencia es la mitad del Laplaciano del potencial:

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\nabla }}\psi ({\vec {\theta }})}$

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {\theta }})}$

El potencial de deflexión también se puede escribir como una proyección a escala del potencial gravitacional newtoniano de la lente ^[2]. ${\displaystyle \Phi ~}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz}$

Jacobiano de lente

El jacobiano entre los sistemas de coordenadas con y sin lente es

${\displaystyle A_{ij}={\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}}}$

donde es el delta de Kronecker . Debido a que la matriz de derivadas segundas debe ser simétrica, el jacobiano se puede descomponer en un término diagonal que involucra la convergencia y un término sin trazas que involucra la cizalladura. ${\displaystyle \delta _{ij}~}$ ${\displaystyle \gamma ~}$

${\displaystyle A=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1&0\\0&1\end{array}}\right]-\gamma \left[{\begin{array}{c c }\cos 2\phi &\sin 2\phi \\\sin 2\phi &-\cos 2\phi \end{array}}\right]}$

donde es el ángulo entre y el eje x. El término que implica la convergencia magnifica la imagen aumentando su tamaño mientras se conserva el brillo de la superficie. El término que implica el corte estira la imagen tangencialmente alrededor de la lente, como se analiza en los observables de lente débil. ${\displaystyle \phi ~}$ ${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$

La cizalladura definida aquí no es equivalente a la cizalladura definida tradicionalmente en matemáticas, aunque ambas estiran una imagen de manera no uniforme.

Efecto de los componentes de convergencia y cizallamiento en una fuente circular representada por el círculo verde sólido. La notación de cizallamiento compleja se define a continuación.

Superficie de Fermat

Existe una forma alternativa de derivar la ecuación de la lente, a partir del tiempo de llegada del fotón (superficie de Fermat).

${\displaystyle t=\int _{0}^{z_{s}}{ndz \over c\cos \alpha (z)}}$

¿Dónde está el tiempo necesario para recorrer un elemento de línea infinitesimal a lo largo de la línea recta fuente-observador en el vacío, que luego se corrige por el factor ${\displaystyle dz/c}$

${\displaystyle 1/\cos(\alpha (z))\approx 1+{\alpha (z)^{2} \over 2}}$

para obtener el elemento de línea a lo largo de la trayectoria curva con un ángulo de inclinación variable y pequeño y el índice de refracción n para el "éter", es decir, el campo gravitatorio. Esto último se puede obtener a partir del hecho de que un fotón viaja en una geodésica nula de un universo de Minkowski estático débilmente perturbado ${\displaystyle dl={dz \over c\cos \alpha (z)}}$ ${\displaystyle \alpha (z),}$

${\displaystyle ds^{2}=0=c^{2}dt^{2}\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)-\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)^{-1}dl^{2}}$

donde el potencial gravitacional desigual impulsa un cambio en la velocidad de la luz ${\displaystyle \Phi \ll c^{2}}$

${\displaystyle c'={dl/dt}=\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)c.}$

Entonces el índice de refracción

${\displaystyle n\equiv {c \over c'}\approx \left(1-{2\Phi \over c^{2}}\right).}$

El índice de refracción es mayor que la unidad debido al potencial gravitacional negativo . ${\displaystyle \Phi }$

Junte estos y mantenga los términos principales que tenemos en la superficie de llegada del tiempo.

${\displaystyle t\approx \int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}+\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{\alpha (z)^{2} \over 2}-\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{2\Phi \over c^{2}}.}$

El primer término es el tiempo de recorrido por la trayectoria recta, el segundo término es la trayectoria geométrica adicional y el tercero es el retraso gravitacional. Realice la aproximación triangular para la trayectoria entre el observador y la lente, y para la trayectoria entre la lente y la fuente. El término de retraso geométrico se convierte en ${\displaystyle \alpha (z)=\theta -\beta }$ ${\displaystyle \alpha (z)\approx (\theta -\beta ){D_{d} \over D_{ds}}}$

${\displaystyle {D_{d} \over c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}+{D_{ds} \over c}{\left[({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}){D_{d} \over D_{ds}}\right]^{2} \over 2}={D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}.}$

(¿Cómo? No hay ninguno a la izquierda. Las distancias de diámetro angular no se suman de manera sencilla, en general). Por lo tanto, la superficie de Fermat se convierte en ${\displaystyle D_{s}}$

${\displaystyle t=constant+{D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}\tau ,~\tau \equiv \left[{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}-\psi \right]}$

¿Dónde está el llamado retardo de tiempo adimensional y el potencial de lente 2D? ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz.}$

Las imágenes se encuentran en los extremos de esta superficie, por lo que la variación de es cero. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\vec {\theta }}\tau ={\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}-\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})}$

que es la ecuación de la lente. Tome la ecuación de Poisson para el potencial 3D

${\displaystyle \Phi ({\vec {\xi }})=-\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}}$

y encontramos el potencial de lente 2D

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})=-{\frac {2GD_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int dz\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}=-\sum _{i}{\frac {2GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\sinh ^{-1}{|z-D_{i}| \over D_{i}|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|}\right]|_{D_{i}}^{D_{s}}+|_{D_{i}}^{0}.}$

Aquí asumimos que la lente es una colección de masas puntuales en coordenadas angulares y distancias. Para valores x muy pequeños encontramos ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}_{i}}$ ${\displaystyle z=D_{i}.}$ ${\displaystyle \sinh ^{-1}1/x=\ln(1/x+{\sqrt {1/x^{2}+1}})\approx -\ln(x/2)}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx \sum _{i}{\frac {4GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}| \over 2}{D_{i} \over D_{is}}\right)\right].}$

Se puede calcular la convergencia aplicando el Laplaciano 2D del potencial de lente 2D

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla _{\vec {\theta }}^{2}\psi ({\vec {\theta }})={\frac {4\pi GD_{ds}D_{d}}{c^{2}D_{s}}}\int dz\rho (D_{d}{\vec {\theta }},z)={\Sigma \over \Sigma _{cr}}=\sum _{i}{4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{i}D_{s}}\delta ({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i})}$

De acuerdo con la definición anterior como la relación entre la densidad proyectada y la densidad crítica. Aquí usamos y ${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\Sigma \over \Sigma _{cr}}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}1/r=-4\pi \delta (r)}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {\theta }}=D_{d}\nabla .}$

También podemos confirmar el ángulo de deflexión reducido definido anteriormente.

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}=\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})=\sum _{i}{\theta _{Ei}^{2} \over |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|},~\pi \theta _{Ei}^{2}\equiv {4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{s}D_{i}}}$

donde es el llamado radio angular de Einstein de una lente puntual . Para una lente puntual única en el origen recuperamos el resultado estándar de que habrá dos imágenes en las dos soluciones de la ecuación esencialmente cuadrática ${\displaystyle \theta _{Ei}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\theta _{E}^{2} \over |{\vec {\theta }}|}.}$

La matriz de amplificación se puede obtener mediante derivadas dobles del retardo de tiempo adimensional.

${\displaystyle A_{ij}={\partial \beta _{j} \over \partial \theta _{i}}={\partial \tau \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\delta _{ij}-{\partial \psi \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\gamma _{1}&\gamma _{2}\\\gamma _{2}&1-\kappa +\gamma _{1}\end{array}}\right]}$

donde hemos definido las derivadas

${\displaystyle \kappa ={\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}+{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{1}\equiv {\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}-{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{2}\equiv {\partial \psi \over \partial \theta _{1}\partial \theta _{2}}}$

que toma el significado de convergencia y cizallamiento. La amplificación es la inversa del jacobiano.

${\displaystyle A=1/det(A_{ij})={1 \over (1-\kappa )^{2}-\gamma _{1}^{2}-\gamma _{2}^{2}}}$

donde un positivo significa un máximo o un mínimo, y un negativo significa un punto de silla en la superficie de llegada. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Para una lente de un solo punto, se puede demostrar (aunque sea un cálculo largo) que

${\displaystyle \kappa =0,~\gamma ={\sqrt {\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}}}={\theta _{E}^{2} \over |\theta |^{2}},~\theta _{E}^{2}={4GMD_{ds} \over c^{2}D_{d}D_{s}}.}$

Entonces la amplificación de una lente puntual viene dada por

${\displaystyle A=\left(1-{\theta _{E}^{4} \over \theta ^{4}}\right)^{-1}.}$

La nota A diverge para imágenes en el radio de Einstein. ${\displaystyle \theta _{E}.}$

En los casos en que hay múltiples lentes puntuales más un fondo liso de partículas (oscuras) de densidad superficial, el tiempo de llegada a la superficie es ${\displaystyle \Sigma _{\rm {cr}}\kappa _{\rm {smooth}},}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx {1 \over 2}\kappa _{\rm {smooth}}|\theta |^{2}+\sum _{i}\theta _{E}^{2}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|^{2} \over 4}{D_{d} \over D_{ds}}\right)\right].}$

Para calcular la amplificación, por ejemplo, en el origen (0,0), debido a masas puntuales idénticas distribuidas en tenemos que sumar el esfuerzo cortante total e incluir una convergencia del fondo suave, ${\displaystyle (\theta _{xi},\theta _{yi})}$

${\displaystyle A=\left[(1-\kappa _{\rm {smooth}})^{2}-\left(\sum _{i}{(\theta _{xi}^{2}-\theta _{yi}^{2})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{(2\theta _{xi}\theta _{yi})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}\right]^{-1}}$

Esto generalmente crea una red de curvas críticas, líneas que conectan puntos de imagen de amplificación infinita.

Efecto de lente débil general

En el caso de un efecto de lente débil por una estructura a gran escala , la aproximación de lente delgada puede fallar y las estructuras extendidas de baja densidad pueden no aproximarse bien por múltiples planos de lente delgada. En este caso, la desviación se puede derivar suponiendo en cambio que el potencial gravitacional varía lentamente en todas partes (por esta razón, esta aproximación no es válida para un efecto de lente fuerte). Este enfoque supone que el universo está bien descrito por una métrica FRW perturbada por Newton , pero no hace otras suposiciones sobre la distribución de la masa de lente.

Al igual que en el caso de la lente delgada, el efecto se puede escribir como una aplicación de la posición angular sin lente a la posición con lente . El jacobiano de la transformación se puede escribir como una integral sobre el potencial gravitatorio a lo largo de la línea de visión ^[3]. ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$ ${\displaystyle \Phi ~}$

${\displaystyle {\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}+\int _{0}^{r_{\infty }}drg(r){\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {x}}(r))}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}}$

donde es la distancia comóvil , son las distancias transversales, y ${\displaystyle r~}$ ${\displaystyle x^{i}~}$

${\displaystyle g(r)=2r\int _{r}^{r_{\infty }}dr'\left(1-{\frac {r^{\prime }}{r}}\right)W(r^{\prime })}$

es el núcleo de lente , que define la eficiencia del efecto lente para una distribución de fuentes . ${\displaystyle W(r)~}$

El jacobiano se puede descomponer en términos de convergencia y cizallamiento al igual que en el caso de lentes delgadas, y en el límite de una lente que es delgada y débil, sus interpretaciones físicas son las mismas. ${\displaystyle A_{ij}~}$

Observables de lente débil

En el caso de la lente gravitacional débil , el jacobiano se representa mediante la observación del efecto de la cizalladura en las elipticidades de las galaxias de fondo. Este efecto es puramente estadístico; la forma de cualquier galaxia estará dominada por su forma aleatoria, sin efecto de lente gravitacional, pero la lente gravitacional producirá una distorsión espacialmente coherente de estas formas.

Medidas de elipticidad

En la mayoría de los campos de la astronomía, la elipticidad se define como , donde es la relación entre los ejes de la elipse . En el efecto de lente gravitacional débil , se utilizan comúnmente dos definiciones diferentes, y ambas son cantidades complejas que especifican tanto la relación entre los ejes como el ángulo de posición : ${\displaystyle 1-q~}$ ${\displaystyle q={\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle \phi ~}$

${\displaystyle \chi ={\frac {1-q^{2}}{1+q^{2}}}e^{2i\phi }={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}e^{2i\phi }}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1-q}{1+q}}e^{2i\phi }={\frac {a-b}{a+b}}e^{2i\phi }}$

Al igual que la elipticidad tradicional, las magnitudes de ambas cantidades varían de 0 (circular) a 1 (un segmento de línea). El ángulo de posición se codifica en la fase compleja, pero debido al factor de 2 en los argumentos trigonométricos, la elipticidad es invariante bajo una rotación de 180 grados. Esto es de esperar; una elipse no cambia con una rotación de 180°. Tomadas como partes imaginarias y reales, la parte real de la elipticidad compleja describe el alargamiento a lo largo de los ejes de coordenadas, mientras que la parte imaginaria describe el alargamiento a 45° de los ejes.

La elipticidad a menudo se escribe como un vector de dos componentes en lugar de un número complejo, aunque no es un vector verdadero con respecto a las transformaciones:

${\displaystyle \chi =\{\left|\chi \right|\cos 2\phi ,\left|\chi \right|\sin 2\phi \}}$

${\displaystyle \epsilon =\{\left|\epsilon \right|\cos 2\phi ,\left|\epsilon \right|\sin 2\phi \}}$

Las fuentes astronómicas reales no son elipses perfectas. Sus elipticidades se pueden medir encontrando un modelo elíptico que se ajuste mejor a los datos o midiendo los segundos momentos de la imagen con respecto a algún centroide. ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$

${\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

Las elipticidades complejas son entonces

${\displaystyle \chi ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}+2{\sqrt {q_{xx}q_{yy}-q_{xy}^{2}}}}}}$

Esto se puede utilizar para relacionar los segundos momentos con los parámetros de elipse tradicionales:

${\displaystyle q_{xx}=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle q_{yy}=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle q_{xy}=(a^{2}-b^{2})\sin \theta \cos \theta \,}$

y al revés:

${\displaystyle a^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}+{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle b^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}-{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2q_{xy}}{q_{xx}-q_{yy}}}}$

Los segundos momentos no ponderados anteriores son problemáticos en presencia de ruido, objetos vecinos o perfiles de galaxias extendidos, por lo que es típico utilizar momentos apodizados en su lugar:

${\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

Aquí hay una función de peso que normalmente tiende a cero o se aproxima rápidamente a cero en un radio finito. ${\displaystyle w(x,y)~}$

Los momentos de imagen generalmente no se pueden utilizar para medir la elipticidad de las galaxias sin corregir los efectos observacionales , en particular la función de dispersión de puntos . ^[4]

Cizallamiento y cizallamiento reducido

Recordemos que el efecto jacobiano de lente se puede descomponer en cizallamiento y convergencia . Al actuar sobre una fuente de fondo circular con radio , el efecto de lente genera una elipse con ejes mayor y menor ${\displaystyle \gamma ~}$ ${\displaystyle \kappa ~}$ ${\displaystyle R~}$

${\displaystyle a={\frac {R}{1-\kappa -\gamma }}}$

${\displaystyle b={\frac {R}{1-\kappa +\gamma }}}$

siempre que la cizalladura y la convergencia no cambien apreciablemente con el tamaño de la fuente (en ese caso, la imagen con efecto de lente no es una elipse). Sin embargo, las galaxias no son intrínsecamente circulares, por lo que es necesario cuantificar el efecto del efecto de lente sobre una elipticidad distinta de cero.

Podemos definir la cizalladura compleja en analogía con las elipticidades complejas definidas anteriormente.

${\displaystyle \gamma =\left|\gamma \right|e^{2i\phi }}$

así como la reducción del esfuerzo cortante

${\displaystyle g\equiv {\frac {\gamma }{1-\kappa }}}$

El jacobiano de lente ahora se puede escribir como

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\mathrm {Re} [\gamma ]&-\mathrm {Im} [\gamma ]\\-\mathrm {Im} [\gamma ]&1-\kappa +\mathrm {Re} [\gamma ]\end{array}}\right]=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1-\mathrm {Re} [g]&-\mathrm {Im} [g]\\-\mathrm {Im} [g]&1+\mathrm {Re} [g]\end{array}}\right]}$

Para una cizalladura reducida y elipticidades complejas sin lente y , las elipticidades con lente son ${\displaystyle g~}$ ${\displaystyle \chi _{s}~}$ ${\displaystyle \epsilon _{s}~}$

${\displaystyle \chi ={\frac {\chi _{s}+2g+g^{2}\chi _{s}^{*}}{1+|g|^{2}+2\mathrm {Re} (g\chi _{s}^{*})}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\epsilon _{s}+g}{1+g^{*}\epsilon _{s}}}}$

En el límite de lente débil, y , por lo que ${\displaystyle \gamma \ll 1}$ ${\displaystyle \kappa \ll 1}$

${\displaystyle \chi \approx \chi _{s}+2g\approx \chi _{s}+2\gamma }$

${\displaystyle \epsilon \approx \epsilon _{s}+g\approx \epsilon _{s}+\gamma }$

Si podemos suponer que las fuentes están orientadas aleatoriamente, sus elipticidades complejas promedian cero, por lo que

${\displaystyle \langle \chi \rangle =2\langle \gamma \rangle }$y . ${\displaystyle \langle \epsilon \rangle =\langle \gamma \rangle }$

Esta es la ecuación principal del efecto de lente débil: la elipticidad promedio de las galaxias de fondo es una medida directa del cizallamiento inducido por la masa del primer plano.

Aumento

Si bien el efecto de lente gravitacional preserva el brillo de la superficie, como dicta el teorema de Liouville , el efecto de lente cambia el ángulo sólido aparente de una fuente. La cantidad de aumento está dada por la relación entre el área de la imagen y el área de la fuente. Para una lente simétrica circular , el factor de aumento μ está dado por

${\displaystyle \mu ={\frac {\theta }{\beta }}{\frac {d\theta }{d\beta }}}$

En términos de convergencia y cizallamiento

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\det A}}={\frac {1}{[(1-\kappa )^{2}-\gamma ^{2}]}}}$

Por esta razón, el jacobiano también se conoce como "matriz de ampliación inversa". ${\displaystyle A~}$

La cizalladura reducida es invariante con el escalamiento del jacobiano por un escalar , lo que es equivalente a las transformaciones ${\displaystyle A~}$ ${\displaystyle \lambda ~}$

${\displaystyle 1-\kappa ^{\prime }=\lambda (1-\kappa )}$

y

${\displaystyle \gamma ^{\prime }=\lambda \gamma }$.

Por lo tanto, sólo se puede determinar hasta una transformación , que se conoce como la "degeneración de la hoja de masa". En principio, esta degeneración se puede romper si se dispone de una medición independiente de la ampliación, ya que la ampliación no es invariante bajo la transformación de degeneración antes mencionada. En concreto, las escalas con como . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa \rightarrow \lambda \kappa +(1-\lambda )}$ ${\displaystyle \mu ~}$ ${\displaystyle \lambda ~}$ ${\displaystyle \mu \propto \lambda ^{-2}}$

Referencias

1. Bartelmann, M.; Schneider, P. (enero de 2001). "Lente gravitacional débil". Physics Reports . 340 (4–5): 291–472. arXiv : astro-ph/9912508 . Código Bibliográfico :2001PhR...340..291B. doi :10.1016/S0370-1573(00)00082-X. S2CID  119356209.
2. Narayan, R.; Bartelmann, M. (junio de 1996). "Conferencias sobre lentes gravitacionales". arXiv : astro-ph/9606001 .
3. Dodelson, Scott (2003). Cosmología moderna . Ámsterdam: Academic Press . ISBN. 0-12-219141-2.
4. Bernstein, G.; Jarvis, M. (febrero de 2002). "Formas y cortes, estrellas y manchas: mediciones óptimas para lentes débiles". Astronomical Journal . 123 (2): 583–618. arXiv : astro-ph/0107431 . Código Bibliográfico :2002AJ....123..583B. doi :10.1086/338085. S2CID  730576.