En geometría y mecánica discretas , la rigidez estructural es una teoría combinatoria para predecir la flexibilidad de conjuntos formados por cuerpos rígidos conectados por vínculos o bisagras flexibles .
La rigidez es la propiedad de una estructura de que no se dobla ni flexiona bajo la aplicación de una fuerza. Lo opuesto a la rigidez es la flexibilidad . En la teoría de la rigidez estructural, las estructuras están formadas por colecciones de objetos que son en sí mismos cuerpos rígidos, que a menudo se supone que adoptan formas geométricas simples, como varillas rectas (segmentos de línea), con pares de objetos conectados por bisagras flexibles. Una estructura es rígida si no puede flexionarse; es decir, si no hay un movimiento continuo de la estructura que conserve la forma de sus componentes rígidos y el patrón de sus conexiones en las bisagras.
Hay dos tipos de rigidez esencialmente diferentes. La rigidez finita o macroscópica significa que la estructura no se flexionará, doblará ni doblará en una cantidad positiva. La rigidez infinitesimal significa que la estructura no se flexionará ni siquiera en una cantidad que sea demasiado pequeña para ser detectada ni siquiera en teoría. (Técnicamente, eso significa que ciertas ecuaciones diferenciales no tienen soluciones distintas de cero). La importancia de la rigidez finita es obvia, pero la rigidez infinitesimal también es crucial porque la flexibilidad infinitesimal en teoría corresponde a una flexión minúscula en el mundo real y el consiguiente deterioro de la estructura.
Un gráfico rígido es una incrustación de un gráfico en un espacio euclidiano que es estructuralmente rígido. [1] Es decir, un grafo es rígido si la estructura formada al reemplazar las aristas por varillas rígidas y los vértices por bisagras flexibles es rígida. Una gráfica que no es rígida se llama flexible . Más formalmente, la incrustación de un gráfico es flexible si los vértices se pueden mover continuamente, preservando las distancias entre vértices adyacentes, con el resultado de que las distancias entre algunos vértices no adyacentes se modifican. [2] La última condición descarta congruencias euclidianas como la traslación y rotación simples.
También es posible considerar problemas de rigidez para gráficos en los que algunos bordes representan elementos de compresión (capaces de estirarse a una longitud mayor, pero no de encogerse a una longitud más corta) mientras que otros bordes representan elementos de tensión (capaces de encogerse pero no estirarse). Un gráfico rígido con aristas de este tipo forma un modelo matemático de una estructura de tensegridad .
El problema fundamental es cómo predecir la rigidez de una estructura mediante análisis teórico, sin tener que construirla. Los resultados clave en esta área incluyen los siguientes:
Sin embargo, en muchas otras situaciones sencillas aún no siempre se sabe cómo analizar matemáticamente la rigidez de una estructura a pesar de la existencia de una considerable teoría matemática.
Uno de los fundadores de la teoría matemática de la rigidez estructural fue el físico James Clerk Maxwell . A finales del siglo XX se produjo un florecimiento de la teoría matemática de la rigidez, que continúa en el siglo XXI.
"[Una] teoría del equilibrio y las deflexiones de las estructuras sometidas a la acción de fuerzas actúa sobre la dureza de la calidad... en los casos en que la estructura... está reforzada por piezas de conexión adicionales... en los casos de tres dimensiones, por el método regular de ecuaciones de fuerzas, cada punto tendría tres ecuaciones para determinar su equilibrio, de modo que se obtengan 3 s ecuaciones entre e cantidades desconocidas, si s es el número de puntos y e el número de conexiones[sic] Hay, sin embargo, seis ecuaciones de equilibrio del sistema que deben ser cumplidas necesariamente por las fuerzas, debido a la igualdad de acción y reacción en cada pieza. Por tanto, si e = 3 s − 6, el efecto de cualquier fuerza eterna. serán definitivas en producir tensiones o presiones en las diferentes piezas pero si e > 3 s − 6, estas fuerzas serán indeterminadas...." [5]