En 1876 Alfred B. Kempe publicó su artículo Sobre un método general para describir curvas planas de enésimo grado por Linkwork, [1] que demostró que para una curva plana algebraica arbitraria se puede construir un vínculo que dibuje la curva. Esta conexión directa entre vínculos y curvas algebraicas se ha denominado teorema de universalidad de Kempe [2], según el cual cualquier subconjunto acotado de una curva algebraica puede trazarse mediante el movimiento de una de las articulaciones en un vínculo adecuadamente elegido. La prueba de Kempe era errónea y la primera prueba completa se proporcionó en 2002 basándose en sus ideas. [3] [4]
Este teorema se ha popularizado describiéndolo como: "¡Uno puede diseñar un vínculo que firme su nombre!" [5]
Kempe reconoció que sus resultados demuestran la existencia de un vínculo de dibujo, pero no sería práctico. Él afirma
No es necesario añadir que este método no sería útil en la práctica debido a la complejidad del enlace empleado, consecuencia necesaria de la perfecta generalidad de la demostración. [1]
Luego pide al "artista matemático" que encuentre formas más sencillas de lograr este resultado:
El método tiene, sin embargo, el interés de mostrar que hay una manera de describir cualquier caso dado; y la variedad de métodos para expresar funciones particulares que ya se han descubierto hace que sea muy probable que en cada caso pueda encontrarse un método más simple. Sin embargo, todavía queda un amplio campo abierto para que el artista matemático descubra los enlaces más simples que describan curvas particulares. [1]
Una serie de animaciones que demuestran el trabajo de vínculos que resulta del teorema de universalidad de Kempe están disponibles para las curvas de parábola, cúbica autointersectante, cúbica elíptica suave y trifolium. [6]
Se han adoptado varios enfoques para simplificar los vínculos de dibujo que resultan del teorema de universalidad de Kempe. Parte de la complejidad surge de los vínculos que Kempe utilizó para realizar la suma y resta de dos ángulos, la multiplicación de un ángulo por una constante y la traslación de la rotación de un vínculo en un lugar a la rotación de un segundo vínculo en otro lugar. Kempe llamó a estos vínculos vínculos aditivos, reversores, multiplicadores y traductores, respectivamente. El varillaje de dibujo se puede simplificar utilizando diferenciales de engranajes cónicos para sumar y restar ángulos, trenes de engranajes para multiplicar ángulos y transmisiones por correa o cable para traducir los ángulos de rotación. [7]
Otra fuente de complejidad es la generalidad de la aplicación de Kempe a todas las curvas algebraicas. Al centrarse en curvas algebraicas parametrizadas, se puede utilizar el álgebra de cuaterniones duales para factorizar el polinomio de movimiento y obtener un vínculo de dibujo. [8] Esto se ha ampliado para proporcionar movimiento del efector final, pero nuevamente para curvas parametrizadas. [9]
Especializar las curvas en aquellas definidas por polinomios trigonométricos ha proporcionado otra forma de obtener vínculos de dibujo más simples. [10] Las curvas de Bézier se pueden escribir en forma de polinomios trigonométricos , por lo tanto, se puede diseñar un sistema de enlace que dibuje cualquier curva que se aproxime mediante una secuencia de curvas de Bézier. [11]
A continuación se muestra un ejemplo de un mecanismo de cadena en serie de un solo acoplamiento, diseñado por Liu y McCarthy, [10] utilizado para dibujar la curva trifolium (izquierda) y la curva hipocicloide (derecha). Utilizando SageMath, su diseño se interpretó en estas imágenes. El código fuente se puede encontrar en GitHub.
